О ТОЧНЫХ ПОСТОЯННЫХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ НОРМ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ. II

Труды Математического института АН СССР 1986, том 173

УДК 517.5

. В. И. Б У Р Е Н К О В

О ТОЧНЫХ ПОСТОЯННЫХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ НОРМ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ. II

Известно, что для функций / (х) одной переменной, заданной на конечном интервале G = (а, Ъ), для любых целых А и « , 0 ^ 4 < / г и любых 1 ^ р, q, г <^ оо существуют такие постоянные А я В, что

| | / < ^ B b^E( G ) < 4 | | / ' ! !^{t p ( G )} + 5 | | / ( » ) | |^{t r ( G )} (1) считаем, что функция / имеет абсолютно непрерывную производную / (^{n _ 1})

н а G). Н и ж е будет рассмотрен вопрос о наименьших возможных постоянных Л и й в ( 1 ) .

Е с л и G— бесконечный интервал, то неравенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда nlq <; (n — k)/p + kir (см. В . Н . Габушин [1]). Оно эквивалентно неравенству с параметром

II /<*> | |V G ) < Ае~» II / | |L p ( G ) + Be- J fin) | |I r ( G ) (2) д л я любых 0 < 8 < о о , где \х = к — ifq + Ир, v = п — к + 1/q — 1/г

(отметим, что (ы > 0, v 0 ) , неравенству с одной постоянной

J /<"> lk

⁹

(

^G

, < V < ^ > ( d / 1

^{t p ( 0 )}

+ d /(«) ||

^{I r ( G )}

)

^{s л « 5 ^ + * >}

i, / i,^ ^

^f

(3) е с л и p, + v ^ > 0 ( [ x + v = 0 — тривиальный случай, так как при этом к — 0, л = 1, = g = оо, г = 1), а также мультипликативному неравенству

II

Х<*>

^{!Ue <G>}

< с

H ^ ü Z ^ C ^ II IlE^iK^, (4) г д е

^n/di+v^v/di+v)

^л

-° '

е с л и \JL > 0 (если v = 0 , то надо считать, что / ЕЕ W%,^r (G)).

В настоящее время д л я G = ( — о о , о о ) или G = (0, о о ) известен целый р я д значений параметров к, n, p, g, г, при которых известна точная постоянная С в неравенстве (4) (см. библиографию в работах В.^ Н . Габушина [1], В . В . Арестова [2], М. Квонга и А . Зетла [3], в книге В . М. Тихомирова [4]).

В случае конечного интервала G неравенство (1) у ж е неэквивалентно н е ­ равенствам (2)-—(4) (неравенство (4) вообще не имеет места). Отметим, что и з (1) д л я конечного интервала G следует, что при nlq < С (п — к)/р + к/г д л я некоторых постоянных Â и В справедливо неравенство

!!/<

^;;) ik^Q!(G) < A r » К

/ И

^{L p ( G )}

+

Вг* « /(»> | |^{М С )} (5 с теми ж е (л и v, но только д л я 0 < е < ; е⁰ (Â и Б зависят от е⁰) . Д л я получе-

38

яия (5) достаточно воспользоваться неравенством (2) д л я G = = ( — 0 0 , oof и тем, что д л я любых 1 ^ р, г ^ оо существует ограниченный оператор п р о ­ д о л ж е н и я T: W^r (G) W^r ( — 0 0 , 0 0 ) .

И з (5) следует, что в (1) п р и указанных значениях параметров и v > 0 inf 5 = 0, где inf берется по всем постоянным В, при которых для некоторой

в

постоянной А справедливо (1). В то ж е время inf А > 0. В связи с этим п о -

А -

л о ж и м

Л * = А% (p, ^g, r)= inf Л,

А

где inf берется по всем постоянным А,' п р и которых д л я некоторой постоян­

ной В справедливо (1) и

B* = Bl^k(p,g, r)= inf В,

В\А=--А*

где inf берется по всем постоянным В, при которых справедливо (1) с А = А* + (В случае бесконечного интервала аналогичным о б р а з о м определенные А*

и В* не имеют смысла: при р >> О А* = 0 (это следует из (2)), В* = о о . } В ряде работ (Л. Недер [5], А . Горни [6], А. П . Черняев [7] и д р . ) п о л у ­ чены неравенства вида (1) п р и некоторых значениях параметров п, к, p, q, г с неточными постоянными А и В, и з которых следуют некоторые оценки с в е р ­ х у для величины Л * . Что касается точных постоянных Л * и В*, то д о н е д а в ­ него времени они были известны] только д л я п = 2 при специальным о б р а з о м выбранных p, q и г. Так, Э. Л а н д а у [8] и Ж . Адамар [9] подсчитали Л * и В * при п = 2, к ~ 1, p = q = г = оо; полученное ими неравенство (с точными постоянными) имеет вид ¹

I I / ' l k^{0 0}( o , i ) < 2 | | / | !^{L o o}( o , i ) + 4-|l/"lk^{0 0}(o,i)- (6), Отметим еще следующий случай, когда легко подсчитать Л * и В*: n = i^r

к — Q, 1 <^ <С ° ° , g = оо, г = 1, неравенство (1) д л я этого случая прини­

мает вид »

II /

1к»<м><

^II /1к^р<од) +

11/

lk(o,D ( 7 )

х

(оно следует из равенства / (х) = / (у) + § /' (t) dt, проинтегрированного у

по у от 0 до 1; точность А* = 1 проверяется на функции / (х) = 1, точность В* = 1 проверяется на последовательности функций / (x) = х^т при m 0 0 ) ^ Кроме того, в тривиальном случае к = 0, 1< ^ д < ^ р < ^ о о имеем А* = 1^г 5 * - 0.

В работе автора [10] п р и ?г = 2 , 3 , . . к = п — 1, 1 <^ р = g = r < ^ оо найдена точная постоянная Л * и даны оценки для 5 * . Соответствующее н е р а ­ венство (с точной постоянной Л * ) имеет вид

I! / < " - « | | г (0,1) < п ^ " " " , ,¹' ' II / IIМ0Д> +

4"

^{II /<П)} I I S » ' « ' ^{(8 >}

Здесь Qn-\\v ~~ многочлен, наименее уклоняющийся от н у л я в метрике L^p (0, 1). При р = оо (8) принимает вид

| | / < - » l k^eB( o , i) <⁴" "^{1 (}2 ~^{1 ) 1} l l / l l t , « u ) +

4-11 /

^{( П )} 11^(одь . ( 9 )

1 Всюду в дальнейшем мы будем считать, что; G = (0,1) (случай G = (а, Ь) сводится к не>- му заменой переменных).

39

в частности, при п — 2 это неравенство (6), а при п = 3 , 4 неравенства

II/" 1к»<0.1> < 1 6 II/11^(0,1) + -^\\Г \ \ Ь М №

||rik

^{0 0}

(o,

¹

)<192 ||/||

^{L a c (}

„,

^{1 )}

+4-l!/

^{< I V )}

lk

^{0 0}

(o,i). ( Н )

И з работ А . И . Звягинцева [11], А . И. Звягинцева и А . Я . Ленина [12]

и М. Сато [13] следует, в частности, что в (10) V² является также точной п о ­ с т о я н н о й (В* = V²) , и, кроме того, следует неравенство с двумя точными п о ­ стоянными

II /' Ik ^ c i )

<

81! /

^{IIL^O.« +}

4г

^{« Г}

lkc(o,D-

И з результатов А . И. Звягинцева [14] вытекает, что V² является точной п о ­ с т о я н н о й и в (11), а также следуют неравенства с двумя точными постоян­

ными

II /'

11^(0, D <

18II / lli^o,

D +

4г II /( I V ) 1к»(од).

!! /" к ^М < 9 6

II / ||

^tee(0

,

г) + ш\\ 1к»(о. « •

В р а б о т а х [11—14] решен также более сложный вопрос о н а х о ж д е н и и н е ­ о б х о д и м ы х и достаточных условий на числа М⁰, М^к и М^п, при которых с у щ е с т в у е т такая функция / , что || /\\^{L o o}(o,i) = ^мо> II /^{( /}° Н ь ^ о д ) = ' М^к, I / ^ Н ь ^ о д ) = М^п (0 < & < n, п = 3 , 4; при л = 4 при некоторых допол­

нительных ограничениях). В [19] А. И. Звягинцевым доказано, что ¹/² является точной постоянной в (9) при любых п.

С. 3 . Рафальсон [15] получил неравенство типа (1) с точными постоянны­

м и д л я весовых норм || /(^s) ||i², ^{P g}, 5 = 0, к, я, со специальным весом p^s, п о ­ з в о л я ю щ и м применить р а з л о ж е н и е в ряд Ф у р ь е — Л е ж а н д р а .

Целью настоящей статьи ² является получение неравенства (1) с одной и л и двумя точными постоянными при п = 2, 3 , . . к = п — 1 и различных p, g, г. Н а и б о л е е полные результаты получены в случае 1 <^ р < ; оо, q = оо и г = 1.

Напомним, что многочлен Q^m{^p (#),, наименее уклоняющийся от н у л я в метрике L^p (0, 1), имеет вид Q^m;p (x) = х^т + a^m. ^^{m _ 1} + . . . + а⁰, где коэффициенты а⁰, . . ., определяются из условия

II Qm; V H V O . 1) = II X^M + + . . . + & < > | | г⁽0 , ! ) • o⁰,...,o^m_¹

Отметим, что многочлен Ç^{m ; p} (x) при p < oo удовлетворяет системе урав­

н е н и й i

S S^l| Ç« ; p( Ê ) |^,"¹s g n Ç^m;^P( g ) d S = 0, J = 0, l . . . , m- 1 . ( 1 2 )

0

Т е о р е м а 1. /Три любых n = 1, 2, . . ., 1 < J /?, g, г ^ oo

A " M Il О II x ' { '

С л е д с т в и е .

4

ⁿ

~l l)f jj, ^ ^

• 5 = Л^п, п - 1 ( o o , g, r) < i^{n i}n- i (p, q, r) < Aⁿ,ⁿ- i (1, <7, 0 = 4^{n _ 1} — ! ) ! •

2 Результаты статьи изложены в диссертации автора [16, приложение 1].

40

Т е о р е м а 2. Пусть 1 p, q, г <^ оо.

1) При n > 1, р < оо

# n , n - l < II 5В | | LR( 0 , l ) - LQ( 0 , 1 ) >

еде 53 — интегральный оператор, определяемый равенством i

'. ( Я Ф ) ( * ) = Ф( * , Е) Ф ( 5 ) « £

О

с ядром

i

I

J (TJ - 5 Г1 | - Çn_1 ; p (т)) Г1 sgn Çn_1;p (n) A,

Y ( 6 ) - l , 2) Л > и n > 1

* < Ê < 1 .

3) При n > 2

m i n 5ⁿ,ⁿ- i = 0, max J5^{n i}n_i = 1.

n,p,q,r n,p,q,r

0,03 < inf - £ * n - i , max В *^{) ? г}_¹= 1 . n,p,q,r n,p,qtr

4) Яргг гг > 1

1 1 X ^ D * 0 ( l / r - l / f f ) + - l

£<9e a+ = a при a > 0 u A+ = 0 гг/ж a 0 5)

6)

- i - < inf l i m S * n - i < 4 ~ > ^{m a x ii m} #*,n+i = 1- I i m 5 Î ,ⁿ- i ( p , ^{0 0}, ^{0 0}) = = ^{S U}P n - i ( A ^{0 0}, oo) = ¹/z- 7) Л / ж и > 1 (если и = 1, mo p < oo)

# * , „ _ ! (p, 0 0 , 1) = 1.

(14)

(15)

( 1 6 )

( 1 7 ) ( 1 8 )

( 1 9 )

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Очевидно, что если / {х) =-

= Çⁿ-i;.^p (х), то неравенство (1) с А = А* обращается в равенство. Д о к а ж е м теперь это неравенство. Пусть сначала 1 < р < оо.

Рассмотрим функцию со (£), имеющую на [0, 1] абсолютно непрерывную производную с о ^¹) (I) и такую, что

о (0) = со (1) = . . . = со(^п~²) (0) = со(^п"²) (1) = 0, i

$û>(Ê)d£ = l . ( 2 1 )

У м н о ж а я равенство ф {х) = ф (I) + § ф' (r)) dn на со и н т е г р и р у я по £ от 0 до 1 и переставляя порядок интегрирования, получим

Ф ( х ) = J ^Ф

а) &

^(?)

M + 1

^{Ф ' ( i ) А(х,}

D di,

41

т д е

f

ê

(23) 0

1

— jj со (r))dn, ж < | < 1 .

П о л а г а я в (22) ф (x) = fi⁷¹"¹) (x) и интегрируя по частям, получим

/<»-!> = (24) г д е

М „^Ф) ( * ) = ( - - 1 Г¹ $ ( О < ^ ) Й) Ф ( Ё ) « , (25) о

i

(Я^йф)(*)

= 5л(*,£)ср(|)^.

(26)

О

И з (24) следует, что

И Hz.,»,« < II А^а Ц i ^ w ^ c a ) II / И LP ( M) + II В* Км-ь⁹ф,D II /<^{п )} 1к^г(о,1)- (27) Выберем функцию со (£), удовлетворяющую перечисленным выше у с л о ­ в и я м так, чтобы норма

1М«1кв(в.1)-ь^в(о,1) = И^п-^{1 )}1 1 м" . ' 1 ) (²⁸>

была минимальна- Д л я этого рассмотрим уравнение Эйлера д л я задачи на условный экстремум

i i S I ö><"-i> (I) \^р' dl ~> min, J со (i) d£ = 1,

о о

имеющее (в предположении существования написанных производных) вид (I оз(^п"1) (I) sgn (o(ⁿ-D ( i ) ) ^ -¹) = а

( а — постоянная). В [10, с. 2 4 — 2 5 ] д о к а з а н о , что

S (S - n)⁷¹-²1 Qⁿ^v (Л) Г¹ sgn < ?ⁿ_^{l ; p} (r)) * )

« D (Ê ) = ( — — 1 ) ^ Ï (29)

S l ^ i ; p ( 4 ) l^P^

И о H "^{( n}-^{1 )}l l t³, ( o , i i ) = „^{g ( , t}~ .^{1 )}' ^ч • ' (30)

' II ^n-i;pllL^p(0,l)

Тем самым теорема доказана при 1 < [ р <^ оо. К р а й н и е случаи = 1 и р = оо охватываются с помощью предельного п е р е х о д а . Здесь надо учесть, что многочлен Çⁿ_^{1 ; p} (я) и его норма непрерывно зависят от р при 1 <^ р <^

<^ оо (см. книгу G. М. Н и к о л ь с к о г о [17, с. 134]).

Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я . Достаточно заметить, что II ( ? m U ЦИЛОД) < II Qm;p 11^(0,1) < || ^Qm;p |k^p(0,l) < II <?m; oo ||L^p(0,l) ^{^\\Q™\} oo I IL ^ O . I ) , (31) и учесть, что Ç^m;]oo (x) = 2"^mR^m (2x — 1), где R^m{x) = 2~^m+1 cos (m arccos x) — многочлен Чебышева 1-го рода; || Q^m] «, \\Lqo ( 0 j 3) = 2 ~^{2 m + 1} и, кроме того,

^ / \ о-m о /о л\ о / \ sin ((w-j-1) arccos .г) т т

<?m;i (ж) = 2^m 5 m (2x - 1), где S^{T O}( a ) = ^ ^т ^ ± — - многочлен Ч е ­ бышева 2-го рода; |] Q^m;1 | |^{L l (}o , i ) = 2 "^{2 m}.

42

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 . 1 . И з неравенства (27) вытекает^

что

ß * n-i < II # с о | | Lr( 0, l ) - > LQ( 0, l )7

где при р < оо функция со определяется равенством (29), Учитывая ( 2 3 )^ж получим 1).

2. Д о к а ж е м правое и з неравенств (16). Д л я оценки || B^tö | |^{L r}( о , D - L (O,I>

воспользуемся интерполяционной теоремой Рисса — Торина, согласно к о ­ торой п р и r ^ q

Il B(ù l| b^r( 0, l ) - > b g( 0, l ) < Н ^ о В ь ^ / ц/ у ^ Г О Д^ о о С О Л ) ! ! Вы \\L^X(0,l)-*L^m(Q,l) ( 3 2 )

при 1/q < ; p < 1/r. Д а л е е , при 1 < ; a < ; o o

Il B<s> ^{| | ь1}( 0 Д ) - £а( 0 Л ) = il II Л (*» î) 1 к^{а | Ж}( д Л ) lkoo,Ê<0,l)'

Согласно (29) функция c o^{( n - 1 )} (£) имеет на [0, 1] не более п — 1 нулей*

Отсюда в силу (20) следует, что со (Е) Ф 0 на (0, 1) (так как в противном с л у ­ чае согласно теореме Р о л л я у со^{1 7 2 - 1}) (£) существовало бы не менее п различ­

ных н у л е й на (0, 1)). Поэтому согласно (23) | Л (x, I) | < ; 1. Следовательно^

. i

II В® lk<o,i)-.L^a(o,D < (^{m a x} А I Л (я, Ê) I dx)^1/a. ( 3 3 )

o<E<i J ^J С д р у г о й стороны, при 1 < ; ß <^ ОО

1

II

В (о Ц^сод^осСод) =

II II

Л (x, I)

II

j g( 0 j l )

(коо^ол)

< ( ш а х $ | A ( * , i ) | d Ê )^{1 / P}\ ( 3 4 ) Отметим, что д л я любой четной относительно £ = ¹/² неотрицательной ф у н к -

i

ции со (I) е L i (0, 1) (Jû>(5)dg = l )

0

1 . ^ I 1 1 I

max Ç I Л £) I d# = max [ ( 4 co(r]) йтПйя + ^ (Ч о) (r])dr)) d z ] —

= max co(n)dri + J co(r])dï]) + (1 - g) ( jj ©Cn)*l + ) ( о ( г ] ) Й п | ] = = v*

= max Г - 1 + ( 2 £ - 1 ) С co(r))dr)l = 6

1 x I 1 1

max Ç | A ( * , g ) | d Ê = max Г [ ( Ссо (т)) dr]) d| + Ç ( Ç © (л) dr|) dgl = - 0< x < l ^ o<x<l N \ J / J W / J

0 0 0 x £

1 1

= m a x [(ß(r\)\x—4\dr] = 4^r max [ CÛ(T])(|S — ц\ + 11 — « — ц\)ац =

1< я< 1 J ^Z 0<ос<1 J 1 0

Рассматриваемая нами функция со (g) является четной относительно £ —

= V²; это следует и з того, что многочлен Q^m-^V (£), наименее у к л о н я ю щ и й с я от н у л я на [ 0 , 1 ] , четен относительно £ = V2 при четных m и нечетен п р и

4 3

нечетных т. В самом деле, согласно (29) 1-1

с о ( 1 - £ ) = а $ (1 — £ — т])--2 j ( ?ⁿ_^{1 ; p} (r]) sgn Çⁿ_^{l : p} (rj) dr] = о

1

1)»-» J (ту - I f "²1 Qn-v,v (1 - Y ) I ' "¹ s g n <?«-I;P (1 - Tf) d t f = i

I

( - $ ft' - ?)ⁿ"²1 <?»-i; v ( 1 - Л ' ) Г ¹ s g n < ? „ -^{1 ; P} ( 1 - î]')dvf =

О

= a J (rf - i ) -²1 Qⁿ^^p (TJ') ] M sgn < ?ⁿ_^{1 ; p} (if) Л ] ' = со (£) 0

(мы использовали еще (12); a = ( — ï )ⁿ~^x (n — 1)).

Теперь и з (32)—(34) следует, что при г <^ q Il В^а I I V O . D ^ O , ! ) < 2 V r - i / l f - i . Е с л и ж е g ^ г, то

Il #о) Ik^r(0,l)-L^Q(0,1) ^ Il ^{B ( ù} 1к^г(0Д)-*Ь^г(0,1) < V 2 .

3 . Д л я доказательства левого и з неравенств (16) п о л о ж и м в неравенстве

\1) с А = Л * и В = £ * f (x) = Q^n;p (х). Заметим, что Q^nîp (х) = х^п —

•— (лг/2) ж ^¹ + aⁿ_²a:ⁿ"~² + . . . (это следует и з того, что Q^n;p (х) =

•= 2 ~^пД^{п ; р} (2# — 1), где R^n;p (у)— многочлен, наименее уклоняющийся от м у л я в Ь^р ( — 1 , 1), который имеет вид R^n;p (у) = у^п + feⁿ_²yⁿ"² + . . .),, поэтому Q^{n;^V = п\, Qn;'^ = п\ (x — V2). Кроме того,

II <?п;Р 1к^Р(0, D < II (* - V2) Çn-i;p ||L^p(0,1) < V2 II Qn-i;p \\^Lp(o^ti) • Т о г д а

n. ^ « ^ H y o . 1 ) - l l ^ l l v c D/ l l^ - x ^ l l v o a ) ^ Bn,n-i ^

> l l x - 4 " ¹ 1 ' ^{1 / 1}

2 " | L^Q( 0 , 1 ) ЪГ ⁼ T " ( ( l + g ) l / « "

4 . При я ^ 3 из (16) следует, что ⁿ_^x V^. Заметим, что при 1 <^ p ^

^ 2 в с и л у (31)

№щркр(0,1) ^ l|gn;²llL²(0,l) 'I ^n-i; p IIL^P (0,1) II #n-i;i 11^(0,1)

Т а к как Qⁿ.²(x)= ' ( #ⁿ (1 — #)ⁿ)(ⁿ> — многочлен Л е ж а н д р а и II Qni2 (X) ||L²(0,1) = ^{N (} J ^ = - i T O

(2тг)! у тг + 1

II ^n;pllL^p(O^tl) (^W} ) 2 4^ - 1 H^n-i;pllL^p(0,l) ^ ( 2 ^ ) 1 1 ^ 2^ + 1 Cl д р у г о й стороны, при 2 ^ p < ; oo в силу (31)

II fln;pllr,^p(oti) ^ H ^ O Q I I L ^ O , ! ) 2 (2w — 2)! ]/"2м— 1 H0n-i;pllL^p(O,l> ^ II ^n-r,2

W )

^{— 4П}( д - 1 ) ! Отсюда с л е д у е т , что

II ^2;PIIL^P(O,I) J / 3 1 < ? I ; P I L^P( O . I )

4 4

и

< i > ^ { ( i + g)'¹'* - ^ f ) > ^f— > 0 , 0 3 ; тем самым при n > 2 inf Bt.n-i > 0,03.

n, p , q, r

5 . Д л я доказательства 7) рассмотрим в неравенстве (1) с А = А*, В =

= 2 ? * , g = o o , r = l

функцию / (ж) = х^т и перейдем к п р е д е л у при m

—> сю,

тогда получим Б * > 1, что в совокупности с (16) приводит к 7).

6. Утверждения 2 ) , 3), 5 ) и 6) следуют и з 4 ) и 7) (остается заметить, что

•Bi,o(Pi Я> ^г) = 0 при q р, поскольку 4 *⁰ (p, g, г) = 1 и очевидно, что н е ­ равенство (1) в этом случае выполняется п р и А = А* ж В — 0).

Остановимся подробнее на вытекающем из теорем 1 и 2 неравенстве с д в у м я точными постоянными

II /<""»

1(^(0,1)

<

^{| | С}

,

⁽

" ~

^{1 ) !}

II /

H^Vo.i) +

II

/^{( п )}lk(o.i). (35)

II ^vn-l;p HL (0,1) ^р

Этот случай (к = п — 1, q оо, г = 1) является исключительным в том смысле, что д л я рассматриваемых п,к, p, q, г он является единственным, когда в ( 2 ) v = 0. В этом случае, как показывает построенный при доказательстве теоремы 2 пример inf В = 1, где inf берется по всем В. д л я которых при н е к о -

в

тором А справедливо неравенство (1) с к = п — 1, q = о о , . г«= 1.

Т е о р е м а 3. Пусть п. = 2 , 3, . . ., 1 < p < о о , М⁰, MⁿJ^u М^п > 0.

Для того чтобы существовала такая функция /, что

И/Ц,(0,1) = Мо,

II Р

¹

-»

¹^(0,1) = М^п-г,

||/(">|k(o,x)

= Mⁿ, необходимо и достаточно, чтобы:

1) если М⁰ = 0, то Mⁿ-i = М^п = 0;

2 ) е с л и М 0 > 0 м A fn- i = 0, m o A fn = 0;

3) если М⁰ > 0, ЛТ^П_1 > 0 и М^п = 0, т о

M n - i < — м⁰; (36)

4 ) е с л и Л / о > 0, Mn_ i > 0, A fn > 0, то

я ^ г < *^0ln~ ~ i^i)l— ^М ° + ^М - Il V n - i ; p 1|ьо(0Д)

1)^! л/г. _ L /Г/г (37)

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Случаи 1) и 2 ) очевидны. В случае 3) н е ­ о б х о д и м о с т ь следует и з теоремы 1. Д л я доказательства достаточности д л я М^п = 0 и Mⁿ_ i и М⁰, удовлетворяющих условию (36), построим соответ­

ствующую функцию / . П о л о ж и м

/с— (п-1)\ ' тогда д л я любых с Z> 0

| | Г | к ( 0 , 1 ) = 0, l / ? - ^ 11^(0.1) = ^ .

Выберем с⁰ так, чтобы || /^{С о} ||^{L p (}o,i) = ^м о - Это в о з м о ж н о , так как || /^с |к^р'.(од) непрерывно зависит от с > 0 и, с одной стороны, в силу (36) || /⁰ | | L^P( O , D <

< М⁰, и, с д р у г о й , l i m || /^С | | L „ ( O , I ) = + ⁰⁰•

45

2 . В случае 4 ) необходимость следует и з теорем 1 и 2 , если дополнительна учесть, что в случае, когда || /("> | |^{L l ( 0},^{1 }} > О,

i i l

IJ fin) (I) Л (*, l) dl IL < sup vrai Ç I /<*> (g) I j Л (x, l)\dl<l\fin) (I) \ dl , поскольку д л я любого 0 < ^ £ < 1 функция I fW (I) ! (1 — I Л (х, I) j )^! неот­

рицательна на [ 0 , 1] и положительна на множестве положительной меры, так как I Л (x, I) I < 1 и I Л (x. I) | = 1 только в точках ( 0 , 0 ) и (1. 1). (Это сле­

д у е т и з того, что функция со (I) при 0 < I < 1 имеет постоянный знак.) 3 . Д о к а ж е м достаточность в случае 4 ) . Пусть сначала М^п <^ М^п^. П о ­ л о ж и м ô = m i n {с, ¹/²} (с > 0 ) ,

f Л*) ) geil) dt x—ô

где

? c W ~ ^{( n} _ У п - 1 ; р ^ ) 1 ⁽ⁿ__ ( 0 — .£)+ - j - C .

Заметим, что

зс+ô

x—ô

где г|)^с

(x)

^{= Mn_ i при}

0 <^

x < ô, г|?^с

(x)

^{= Mn_ i — Mn} при ô < x

<1

^1.

Ф у н к ц и я / с^{П 1 )} ( x ) является абсолютно непрерывной и монотонно убывает, поэтому при любом с ^> О

II 11^(0,1) = M „ _l f I /Г> (i) | |L L ( 0, D = Var ;f (г) = Mn. 0 < x < l

Кроме того, У /^с| | ь^р( о , 1 ) непрерывно зависит от с ^ > 0 и H m I /е | |V 0 ) 1 ) = M y j ^ w « Qn.l i P | |^{V O i l )} < M o в с и л у (37) и

um H/e-lvo.i)= + °^ö. поэтому существует с⁰ такое, что | | /^{С о} ||ь^р(ол) = ^мо-

4 . П у с т ь теперь Mⁿ_ i < М^п и М⁰ > 0. Построим сначала функцию^

Ф (х) > 0 такую, что

i i

§ Ф

(s) efc < М⁰, max

ф

(x) = Af „-i, ^ | q/ (я) | do: = Mⁿ,

О 0 < х < 1 ⁰

Д л я этого д л я любого 0 ô < 1 подберем такую непрерывно дифферен­

ц и р у е м у ю периодическую функцию \|э (х) > 0 с периодом 1, что г|) ( 0 ) =

— г|) (1) = 0 , г|) ( V²) = 1, на ( 0 , V²) она строго монотонно возрастает, н а i

( V², 1) она строго монотонно убывает и (ж) = ô. Обозначим к = о

= [Mⁿl2Mⁿ-i], а =

{ A f

ⁿ

/ 2 A f

ⁿ

- . i } .

Отметим, что

/с

+ а ^

V

²

,

в частности,

ß

при & = 0 а > V². Выберем число 0 < ß < 1 из у с л о в и я § | \|/ (x) \ dx —-

о

i

= Var а|) (ж) = 2а (это м о ж н о сделать, так как 2а < 2 , a ÇI ib' Ы I dx = 2] . 46

Е с л и a > V², то ß > V² (если ß < V², то J11|/ ( s ) | Är = ф (ß) < \|> ( V²) =

= l < 2 a ) .

П о л о ж и м (p(x) = Mⁿ_iif((/c + ß) я ) , тогда m a x ф(я) = Afn_i m a x \|> (ж) =

= A fⁿ_^b так как при сделанных п р е д п о л о ж е н и я х к + ß > V2- Д а л е е ,

5 Iф' И I

^{dx = (к}

+ ß)

^{Mn- i}

J |д|/ (& + ß)

x)\dx = Мп-}

$ I г|/

(2/)

I

dy =

О О О

1 ß

= Mn-i (k\\y(y)\dy + ^\y (у) I dy) = 2М^п-^г (к + a) = Mⁿ о

ш, кроме того,

Ь м ^hV м

T

0 0 0

при достаточно малом о.

Рассмотрим теперь семейство функций /⁰ (я) = ^ _^ ²^ ^ (# — £)^п~² ф (£) d£ -f- о

+ с, д л я которых при любом с ^ 0

II / Г " IIL^O,!) = max Ф (х) = Мп-г, || /Г> «tl (o,i) = II ф' lk<o,i) = Мп.

0 < х < 1

К р о м е того,

i

| | / o | | L^œ( o ^ ) < - ^ ^ y^r^ © ^ <^Mo и Hm 11^11^(0,1) = + « > , следовательно, можно подобрать с⁰ так, что II/^{О о} Нь^фд) —

С л е д с т в и е . Если для f выполнены условия

| | / l^Vo , i ) < a , | | Я "⁾| 1 ы о^>1 ) < Р , (38) то

tap II l l w o . D = | | п^{( > ,}-| 1 ) 1 а + ß' ⁽³⁹⁾ С. Б . Стечкиным [18] и его учениками рассмотрены вопросы о наилучшем

п р и б л и ж е н и и оператора дифференцирования Dn в различных с и т у а ц и я х для функций, заданных на всей оси или п о л у о с и . Мы рассмотрим следующее наилучшее приближение оператора дифференцирования Dⁿ:

E

W=

^Ы

И

Т

к^\ог^ь COD'

* Д е H l l

^t

( n

^{+ 1}

)

^{( 0 1 )}

= N

^{( n + 1 )}

l k ( o , i ) -

Т е о р е м а 4 .

оо, Л Г <

E(N) =

*?n; р . Ц , ( 0 , 1 )

1, N> ^{n !}

(40)

# п ; р Ц , ( 0 , 1 )

Лри N > n!/|| Çⁿ;pllb^p(o.D» ¹ < P < ⁰⁰ ' оператор Tⁿ, определяемый

4 7

равенством

4 8

\f{l)\Qn;^P(l)\^p-^l^nQⁿ.^p(l)âl

TrJ = « ! J Ï , ( 4 1 )

$ie»:p(Ç)l^P*

0

является оператором, наименее уклоняющимся от Dⁿ в указанном выше смысле*

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т а к как

I / W 1 1 ^ ( 0 , 1 ) < II Tf | |^{Ь о о}( о, 1 ) ^{+ «} (Dⁿ ~ T)f их(0.г) < » Т ||^{Ь р ( 0}д)->С(о,1> II / l k^p( o , i ) + + « Dⁿ - T I ( „^{+ 1 )} H / ( ' - D Имсх) < N II / (о,i) + £ (ЛГ) К /<»⁺*> Иадд,,

Li(o,i) — ^ 0 0 ( 0 , 1 ) P

то E (N) ^ В (N), T%eB(N)= inf B, inf берется по всем 5 , д л я которых B:A=N

выполняется (1) (при соответствующем выборе параметров) с А — N.

Учитывая, что п р и N

тг!/||

^{Qn]p | | LP( O , Dн е} существует таких В, что выполня­

ется неравенство (1), получим, что В (N) = оо и E (N) = оо.

Д а л е е , так как в рассматриваемом с л у ч а е , как отмечено выше, inf В =

= 1, то В (N) > 1 и E (N) > 1.

С д р у г о й стороны, д л я оператора Т^п, определяемого равенством ( 4 1 ) , (Dⁿ — Т^п) / = 5В/^(п+1> и согласно р а с с у ж д е н и я м , проведенным п р и д о к а ­ зательстве теоремы 2 ,

Il Dⁿ - Т^п II⁽ⁿ⁺¹⁾ < p 53 | k^{( 0}, , ) - .^Wo , i ) = 1- откуда следует, что 2 ? ( i V ) < ^ l , что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е . В с и л у (12) Т^п (х^к) = 0 п р и к = 0 , 1, . . . , п — 1^г Г^п (х^п) = ni. П р и 1 < р < оо

V.

Гх/ = 2( 1 + р) $ [ / ( l _ g ) _ / ( g ) ] (1 - 2^ - 1 dg, о

п р и р = = о о соответствующий оператор получается п у т е м предельного п е р е ­ х о д а и имеет вид 7 \ / = / (1) — / ( 0 ) .

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Габушин В. Н. Неравенства для норм функции и ее производных в метриках L^v.—

Мат. заметки, 1967, № 3 , с. 291—298.

2. Арестов В. В. О некоторых экстремальных задачах д л я дифференцируемых функций одной переменной.— Т р . МИАН СССР, 1975, т. 138, с. 3—28.

3. Kwong M., Zettl A. Norm inequalities for derivatives.— Lect. N o t e s Math., 1981, N 8 4 6 , p. 227—243.

4. Тихомиров В. M. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.

5. Neder L. Abschätzungen für die Arneitungen einer reellen Funktion eines reellen Argu­

m e n t e s . — Math. Ztschr., 1930, B d . 3 1 , S. 356—365.

6. Gorny A. Contribution a l'étude des fonctions derivable d'une variable reelle.— Acta m a t h . , 1939, v o l . 7 1 , p. 317—358.

7. Черняев А. П. Оценки констант в неравенствах С. M. Никольского и их приложе­

н и я . — В кн.: Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск: Н а у к а , 1973, с. 222—226.

8. Landau Е. Einige Ungleichungen für zweimal differentierbare F u n k t i o n e n . — P r o c . Lon­

don Math. S o c , 1913, v o l . 13, p . 4 3 — 4 9 .

9. Hadamard / . Sur le module m a x i m u m d'une fonction et de ses dérivées. — C. r. Acad. s e i . Paris, 1914, v o l . 4 1 , p . 6 8 — 7 2 .

10. Буренков В. И. О точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных про­

изводных на конечном интервале.— Тр. МИАН СССР, 1980, т. 156, с. 2 2 — 2 9 . * i

11. Звягинцев А, И, О неравенствах типа Колмогорова для низших п.— В кн.: X V В о р о ­ неж, зимняя математическая школа. Воронеж, 1981, с. 4 1 . Рукопись деп. в В И Н И Т И 16.12.81, № 5691-81 Д е п .

12. Звягинцев А. И.у Ленин А. Я. О неравенствах Колмогорова между верхними г р а н я ­ ми производных функций для п = 3 . — Латв. мат. ежегодник, 1982, вып. 26, с. 176—

181.

13. Sato М. The Landau inequality for bounded intervals w i t h | | /( 3 ) || finite.— J. Appro- x i m . Theory, 1982, v o l . 34, N 2, p. 159—166.

14. Звягинцев А. И. Неравенства Колмогорова для n = 4. — Латв. мат. ежегодник, 1982,.

вып. 26, с 165—175.

15. Рафалъсон С. 3. Одно неравенство м е ж д у нормами функции и ее производных в ин­

тегральных метриках,— Мат. заметки, 1983, т. 33, № 1, с. 7 7 — 8 2 .

16. Буренное В. И* Исследование пространств дифференцируемых функций с н е р е г у ­ лярной областью определения: Докт. дис. М.: МИАН СССР, 1982. 312 с.

17. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1974, 223 с.

18. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов.— Мат. заметки, 1967, т. 1, № 2, с. 137—148.

19. Звягинцев А . И. О точных константах в неравенствах для норм функции и ее.

производных на конечном интервале: Канд. дис. Минск: БГУ,- 1984. 109 с.