Труды Математического института АН СССР 1974, том 131, стр, 33—38
В. И. Б У Р Е Н К О В
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОБОЛЕВА И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
При получении неравенств между нормами производных функции / (х) многих переменных важную роль играет представление этой функции через интегралы, содержащие функцию / (х) и ее производные. Такое ин
тегральное представление было получено С. Л. Соболевым (см. [1], стр.
269; [2], стр. 470 — для функций, имеющих обычные производные до по
рядка г включительно; [3], стр. 8, [4], стр. 487 — для функций, имеющих обобщенные производные до порядка г включительно). Окончательный вариант интегрального представления приведен в [5] на стр. 62.
Пусть К — открытый шар радиуса h с центром в начале координат, и пусть область Q — звездна относительно шара К. Обозначим далее через со {х) какую-либо бесконечно дифференцируемую функцию, равную нулю вне К. Интегральное представление С. Л. Соболева имеет следующий вид:
если функция / (х) имеет в области Q все обобщенные производные
порядка г (| к | = кг + . . . + кп = г), то почти для всех х ŒQ
/(*)= 2 **lMv)fijl)dy+ 2 l^^D
kf(y)dy. (1)
|k|<r К |fr|=rVx I я—2/1
Здесь х* = х\х . . . Хпп; если х Œ К, то Vx = К; если х Œ Q — К, то ух — область, образованная шаром К и той частью конуса с вершиной в точке х, касательного к шару К, которая лежит между х и шаром К.
В дальнейшем область Vx для любого ж Е Й мы будем для краткости называть «конусом». Далее
&*(»)= 4- 2 c^lf^Wy*-*} (2)
k<ß
|31<r-l
( к < : ß означает, что kt ^ ßf, i = 1, . . . , п), где Cßyh — некоторые по
стоянные числа (биномиальные коэффициенты и их комбинации),
и = J (Ù (у) dy. (3)
к
3 Тр. Математ. ин-та, т. GXXXI 33
Наконец, если проследить за выкладками, проведенными в [5], то нетруд
но получить, что
1 I У—х |
— ограниченные, непрерывные при х =/= у функции (к\ = к±\ . . . &J, (г/ — xf = (у± — хг)Ь . . . (уп — хпУ").
В книгах В. И. Смирнова [6, стр. 370] и Л. А. Люстерника и В. И. Со
болева [7, стр. 115, 116] приведена другая форма записи интегрального представления (1):
/(*)= 2 h(x)^(y)D
kf(y)dy+ 2 S Л
(*',!1 D
Hf(y)dy, (5)
где bk (х) и Z?fe (о:, у) — некоторые] функции, выражающиеся через со (х).
При г = 1 формула (5)] получается специальным интегрированием по ча
стям в интеграле \ (o(y)f(y)dy, а при г ]> 1 путем повторного применения формулы (5) при г = 1*. к
В статье В. П. Ильина [8, стр. 68] и в книге Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова] [9, стр. 337] в случае, когда Q — выпуклая область, полу
чено следующее равенство:
/о-sàgJi/H»-д£дiß*:? r < *~':~'""^w». <в)
где d = d (х, у) — длина отрезка луча, идущего из точки х через точку у до границы области Q.
В дальнейшем метод интегрального представления функций был раз
вит В. П. Ильиным [10, 11]. В интегральных представлениях В. П. Ильи
на функция / (х) выражается через интегралы, содержащие только / (х) и производные дгг//дхГ{, i = 1, . . . , п (или производные определенного порядка и разности от этих производных). Подобные интегральные пред
ставления используются также в работах Кальдерона [12], Смита [13], О. В. Бесова [14, 15], О. В. Бесова и В. П. Ильина [16].
Отметим еще интегральное представление для Q = Еп, использован
ное в работе Ароншайна, Муллы и Шептыцкого [17]:
/ (х) = 2 С\ 2 \ DkyG2r (х - у). Dkî (y) dy, (7)
1=0 \k\=lEn
где G2r (х) — прообраз Фурье функции (2п)~п^ (1 + | g |2)~r (G%r (х — у) — фундаментальное решение уравнения (1 — А)ги — 0,^ А — оператор Лапла
са). Равенство (7) есть следствие тождества
I1 - Н £ | ) Z=o |fr|=Z
* Отметим, кстати, что из (5) следует, что Ъ^ (х) суть многочлены степени | к [. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно, в (5) положить последовательно / (х) = xlf
0 < | / | < г - 1.
В книге Нагумо [18, стр. 82] для финитных в Q функций приведено представление вида
п \к\=г О \Х — У\
где ап — площадь поверхности n-мерного единичного шара.
В настоящей работе мы получим интегральное представление типа представления (1) как непосредственное следствие формулы Тейлора
1
fW= 2 -^^!(У)(х-у)к + г 2 -^•[{l-t)r-1D'!(y + t(x-y))x
\k]<r |ft|=r о
Х(х — yfdt. (9) Для этого мы проинтегрируем равенство (9) по у ЕЕ К
К\ fc | < Г К 1
+
г2 тг^
1-^
1^^*'^-^*-^*^}-
(10)|Л|=г ' К о
Первое слагаемое, как и в формуле (1), представляет многочлен, причем этот многочлен выписан явно, а во втором слагаемом в интеграл входят значения производных Dk f (z) для z G Vx. В дальнейшем мы преобра
зуем второе слагаемое к виду интеграла типа потенциала.
Пусть х е= Q, J E Vx. Обозначим через d2 = d2 (x, у) длину содержа
щегося в Vх отрезка луча, идущего из точки х через точку z/, a через dx = d± (х, у) = max {\х — у\, dx (х, у)}, где dy (x, y) — длина отрезка упомянутого выше луча, содержащегося в Vx — К. Нетрудно проверить, что d2 е с т ь наибольший корень уравнения
d» + 2d(a:,
ïjEf|) + l*l
>-
A l=
0'
а аг = max {| я — i/ |, di}> где di— наименьший корень этого уравнения (круглые скобки обозначают скалярное произведение).
Т е о р е м а . Пусть Q — область звездная относительно шара К радиуса h с центром в начале координат, а функция f (х) имеет в Q обоб
щенные производные Dkf, \k\^Zr. Тогда для почти всех х справедливо ра
венство (аналог формулы Тейлора)
| к Ю
где функция
iff —ci?
w (x, y) = удовлетворяет неравенствам
0^w{x, y)^2h{\x\ + h)
n
ьГ\
XŒQ, VŒVX,xŒK,yŒK.
3*
\A~ /
(13) (14)
З а м е ч а н и е . Формула (11) остается справедливой и в случае, если К не шар, а любая выпуклая область, содержащаяся в Q (в этом слу
чае 2h обозначает диаметр области К). При г = 1 и Q = К формула (11) совпадает с формулой (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала функция f(x) имеет в Q непре
рывные производные до порядка г включительно.
Выведем более общую, чем (11), формулу. Пусть о (х) — какая-либо измеримая функция, заданная в Еп и равная нулю вне шара К (например,
со (х) = 1 в К, со (х) = 0 вне К). Доопределим, кроме того, функции Dkf, | А | ^ г, нулем вне Q.
Умножим равенство (9) на со (у) и проинтегрируем по Еп (по существу, по К), тогда
|*1<г if 1
+ г
2 ^ И ^ - О ^ ^ ^ + Ч ^ - ^ ^ - ^ о ) ^ ) ^ ^ } , (15)
где
х = \ (*(y)dy=^(ß(y) dy.
К
кПреобразуем стоящие в (15) интегралы
1
h=\ J ^-t)
r-
1D
Kf(y + t(x-y))(x-yf^(y)dydt,
для чего сделаем замену переменных у + t (х — у) = z. Учитывая, что
/ а* (х — z)k -, dz
(х — у) == — , dy = , получим
JK= { D*f(z)(x — z)kdz{<u
î
z — ix \ dt 1—t l'(l__t)n+l
Заменяя теперь f __ на р, имеем
En ' | x - z |
Заметим, что при фиксированном з; G Й функция
ОО < * * ( * , Z )
»(*,*) = ^ w (* +p j - i z z l . j p " -1 dp = J c o ^ + p j i ^ j p - M p (16)
обращается в нуль вне конуса Vx, поэтому окончательно
^ I
х—
zI
36
Если о (у) = 1 в К и (Ù (у) = 0 вне ÜT, то
откуда и следует искомое равенство (11). Неравенство (13) получается из (12), так как
% - d^{\x\ + h)n- {\х\ - h)n ^п(\х\ + hf-^h.
Неравенство (14) очевидно.
Переход от г раз непрерывно дифференцируемых функций к функци
ям, имеющим обобщенные производные, осуществляется с помощью сред
них функций (см. [5, стр. 62—63]).
При доказательстве теоремы мы получили следующее интегральное представление:
fW
=4 { 2 ТГ \
D*f M (* - У)"® (У) dy +
| k | = r vx i » l
здесь функция и? (#, у) определена равенством (16) (в (16) такой же инте
грал, как и в формуле (4)), где со (х) — любая измеримая ограниченная в шаре К функция.
Если, наконец, функция со (х) г — 1 раз непрерывно дифференцируема в К и равна на границе нулю вместе со своими производными до порядка г — 1 включительно, то
/(*> = - Н 2
t^-\f(y)D
k[(x-yf<o(y)]dy +
\r^^\n«m(*-y?^dy\, do
№\=r Vx \ У\
что представляет собой исходную формулу (1) с явно выписанным много
членом.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. С. Л. Соболев. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имею
щих производные, интегрируемые с квадратом.— ДАН СССР, 1936,1 (10), № 7(84), 267—270.
2. С. Л. Соболев. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений.—
Матем. сб., 1937, 2 (44) : 3, 4 6 5 - 4 9 9 .
3. С. Л. Соболев. Об одной теореме функционального анализа.— ДАН СССР, 1938, 20, № 1, 5 - 1 0 .
4. С. Л. Соболев. Об одной теореме функционального анализа.— Матем. сб., 1938f
4 (46) : 3, 4 7 1 - 4 9 7 .
5. С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950. Новосибирск, 1962.
6. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 5. М., Физматгиз, 1959.
7. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. М., «Наука», 1965.
8. В. П. Ильин. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов.— Труды МИАН СССР, 1953, 53, 6 4 - 1 2 7 .
9. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных про
странствах. М., Физматгиз, 1959.
10. В. П. Ильин. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в гс-мерной области.— Труды МИАН СССР, 1962, 66, 227—363.
11. В. П. Ильин, В. А. Солонников. О некоторых свойствах дифференцируемых функ
ций многих переменных.— Труды МИАН СССР, 1962, 66, 205—226.
12. А. P. Calderon. Lebesgue spaces of differentiable functions. Conf. on Partial Dif
ferential Equations, Univ. California, 1960.
13. К. T. Smith. Inequalities for formally positive integrodifferential forms.— Bull, Amer. Math. S o c , 1961, 67, 368—370.
14. О. В. Бесов. Продолжение функций из пространств Llp и Wlp,— Труды МИАН СССР, 1967, 89, 5 - 1 7 .
15. О. В. Бесов. О коэрцитивности в неизотройном пространстве С. Л. Соболева.-—
Матем. сб., 1967, 73 (115) : 4, 5 8 5 - 5 9 9 .
16. О. В. Бесов, В. П. Ильин. Расширение класса областей в теоремах вложения.-*
Матем. сб., 1968, 75 (117) : 4, 4 8 3 - 4 9 5 .
17. А;. Aronszafn, F. Mulla, P. Szeptycki. On spaces of potentials connected with LP classes.— Ann. Inst. Fourier, 1963, 13, N 2, 211—306.
18. Митио Нагумо. Лекции по современной теории уравнений в частных производ
ных. Пер. с японск. М., «Мир», 1967.
