ХАБАРШЫ - dspace.enu.kz

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ

УНИВЕРСИТЕТI

ЕВРАЗИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л.Н. ГУМИЛЕВА L.N. GUMILYOV EURASIAN

NATIONAL UNIVERSITY

ХАБАРШЫ

1995 жылдың қантарынан жылына 6 рет шығады

II бөлiм

№ 6 (97) · 2013

ВЕСТНИК

выходит 6 раз в год с января 1995г.

II часть

HERALD

Since 1995

II part

Астана

УДК 681 5 9 7558

М.А. Бейсенби, Д.К. Сатыбалдина, Г.А. Ускенбаева

Исследование робастной устойчивости системы управления линейными объектами m×n методом функций А.М. Ляпунова

(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г. Астана, Казахстан)

На основе геометрической интерпретации теоремы второго метода А.М.Ляпунова предлагается новый подход к построению функции Ляпунова в виде вектор - функции, антиградиент которой задаются компонентами вектора скорости (правой частью уравнения состояния) системы. Область устойчивости линейной стационарной системы управления получена в форме простейших неравенств для собственных значений матрицы замкнутой системы с неопределенными параметрами.

Ключевые слова :системы управления, робастная устойчивость, прямой метод Ляпунова, моделирование.

Для современных задач управления характерны все возрастающая сложность объектов управления, требования высокой эффективности и устойчивости в условиях многочисленных неопределенностей и неполноты информации. Системы управления широко применяются практически во всех сферах производства и техники: в машиностроении, энергетике, электронной, химической, металлургической, биологической и текстильной промышленности, транспорте, робототехнике, авиации, космических системах, высокоточной военной технологии и технике и т.д. В этих системах неопределенность может быть обусловлена как наличием неконтролируемых возмущений, действующих на объект управления [1], так и незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени [1,2].

Актуальной проблемой является создание систем управления, обеспечивающих в некотором смысле наилучшую защиту от неопределенности в знании свойств объекта.

Способность системы управления сохранять устойчивость в условиях параметрической или непараметрической неопределенности понимаются как робастность системы. В общей постановке исследование системы на робастную устойчивость состоит в указании ограничении на изменение параметров системы управления [2]. Проблеме исследование робастной устойчивости систем управления посвящено большое число работ [2,5]. В этих работах в основном исследуются робастная устойчивость полиномов, матриц в рамках линейного принципа устойчивости непрерывных и дискретных систем управления. Универсальные методы исследования робастной устойчивости динамической системы отсутствует [4,5,6,7].

В настоящей работе предлагается новый подход к построению вектор-функций Ляпунова [5,8]. Компоненты вектора антиградиента, вектор-функции Ляпунова задаются из геометрической интерпретации теоремы второго метода Ляпунова [9,10] компонентами вектора скорости (правой частью уравнения состояния). Исследование робастной устойчивости системы производится путем конструирования некоторой знакоотрицательной функции, равной скалярному произведению вектора градиентов на вектор скорости [9,10]. Условие устойчивости получаются из положительной определенности функции Ляпунова, в виде системы неравенств по неопределенным параметрам объектов управления и устанавливаемым параметрам регулятора.

Пусть система управления описывается уравнением состояния.

x. =Ax+Bu, x∈Rⁿ, u∈R^m (1)

y=cx, y∈R^` Регулятор описывается уравнением

u=−kxu=−kx (2)

Здесь

A=

a11 a12 ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n ... ... ... ...

an1 an2 ... ann

, B=

b11 b12 ... b1m

b₂₁ b₂₂ ... b_2m ... ... ... ...

bn1 bn2 ... bnm

.

, C =

c11 c12 ... c1n

c₂₂ c₂₂ ... c_2n ... ... ... ...

cl1 cl2 ... cln

,

x=

x1

x₂ ... xn

, y =

y1

y₂ ... y_l

k=

k₁₁ k₁₂ ... k_1n k21 k22 ... k2n

... ... ... ...

k_m1 k_m2 ... k_mn

, u=

u₁ u2

... um

,

u_i=−k_i1x₁−k_i2x₂−...−k_inx_n, i= 1,2, ..., n

Матрица объекта управления А может быть приведена с помощью не особой матрицы Р, столбцами которой являются собственные функций матрицыА, к блочно-диагональной форме [11]

A˜=P⁻¹AP =diag{Λ, J₁, ..., J_m.J₁⁰, ..., J_k⁰ } (3) c диагональными квадратными блоками вида

Λ =diag{λ₁, ..., λ_l}, (4)

J_j =

λ_j 1 ... 0 0 0 λj ... 0 0 ... . ... ... ...

0 0 ... λ_j 1 0 0 ... 0 λj

, N_j×N_jj= 1, ..., m, (5)

J_j⁰ =

αj −β_j β_j α_j

, j = 1, ..., k. (6)

где λ₁, ..., λ_l - вещественные простые, λ_j− вещественные, N_j кратные, λ_j = α_j ±jβ_j− комплексно сопряженные собственные значения матрицы А, причем очевидно l+N1+...+ Nm+ 2k=n.

Покажем, что принятая структура (3) позволяет раздельное управление и исследование каноническими представлениями объекта (4), (5) и (6) соответствующие любому диагональному блоку матрицы A˜.

Для этого подобно(1) запишем

˜

x= ˜A˜x+ ˜Bu=

Λ 0

J 0 J⁰

˜ x+

B˜1

B˜2

B˜₃

˜ u

B˜1

B˜2

B˜₃

˜

u (7)

u=−k˜˜x (8)

где

˜

x=P⁻¹x, ,A˜=P⁻¹APB˜ =p⁻¹B,˜k=kP

и при этом размерности матриц B˜1,B˜2u B˜3 и вектора управления u соответствуют размерностям квадратных матрицΛ, J, J⁰. На основании (7) приняв B˜₂ = 0, B˜₃ = 0нетрудно убедиться, что можем управлять координатами системы (7), соответствующими матрице Λ, сохраняя неизменными координаты системы (7) определяемые матрицами JuJ⁰,соответственно приняв B˜1 = 0 8 B3 = 0 илиB˜1 = 0 и B˜2 = 0. Таким образом, дальнейшая задача сводится к последовательному исследованию робастной устойчивости линейных систем управления для канонических объектов

˙

x1 = Λ˜x1+ ˜B1u (9)

˙

x2 =Jx˜2+ ˜B2u (10)

˙

x3 =J⁰x˜3+ ˜B3u (11)

где

˜ x1 =

˜ x₁

˜ x2

... xl

,x˜2 =

˜ x_l+1

˜ xl+2

... xl+L

, L=N1+...+Nm,x˜3 =

˜ x_l+L+1 xl+L+2

...

˜ xn

,

с матрицами вида (4) – (6). Рассмотрим поочередно задачу исследования робастной устойчивости (9) - (10) методом функций Ляпунова.

Предположим, для простоты записи и наглядности, что

B =

b1

b₂ ... b_n

, u∈R, u=−k^Tx, k=

k1

k₂ ... k_n

Подобно (7) запишем

˜

x= ˜A˜x + ˜bu=

Λ 0

J 0 J⁰

˜ x+

˜b1

˜b₂

˜b3

˜

u, (12)

˜

u=−˜k^Tx˜=−

k˜^T₁k˜^T₂˜k^T₃

x,˜ (13) где

˜

x=P⁻¹x, A˜=P⁻¹A P, b=P⁻¹b, k˜^T =k^TP,

и при этом размерности матриц-столбцов ˜b1,˜b2,˜b3и матриц-строк ˜k^T₁,k˜^T₂,k˜^T₃ соответствуют размерностям квадратных матрицΛ, J, J⁰.На основании(12), (13), (14), приняв k˜^T₂ = 0, ˜k₃^T = 0,не трудно получить характеристический определитель замкнутой системы

λI−( ˜A−˜bk˜^T) |= |λI₁ −(Λ−˜b1˜k₁^T)|.|λI₂ −J| . |λI3−J⁰ |

из которого очевидно, что изменяя коэффициенты матрицы регулятора k˜^T₁ можно управлять собственными значениями матрицы D₁ = (Λ− B˜₁k˜₁^T), сохраняя неизменными собственные значения матрицы J или J⁰,соответственно.

Приняв k˜^T₁ = 0, k˜^T₃ = 0или ˜k₁^T = 0, ˜k₂^T = 0.Таким образом, это позволяет последовательному рассмотрению канонических объектов аналогично (9), (10), (11).

.

˜

x= Λ˜x+ ˜b₁u (14)

.

˜

x= Λ˜x+ ˜b₂u (15)

.

˜

x= Λ˜x+ ˜b₃u (16)

1. Таким образом предположим собственные числа матрицы A₁заданы и равныA˜₁ = diag{s₁, s2, ..., sn }. Такой базис удобен тем, что в нем уравнения системы (14) распадаются на уравнения в независимых подсистем первого порядка относительно компонентов вектора x.

Получим















. .

˜

x₁ = (s₁−˜b₁˜k₁)˜x₁

.

˜

x2 = (s2−˜b2˜k2)˜x2

...

.

˜

x_l = (s_l−˜b_lk˜_l)˜x_l

(17)

Как известно при исследований устойчивости системы уравнения состояния записывается в отклонениях ∆xотносительно некоторого стационарного состоянияX_s(x = ∆x = X(t) − X_s(t)).При этом, вектор скорости (определяемая уравнением состояния) направлена в устойчивой системе всегда к началу координат (нулю). Из геометрической интерпретаций теорем А.М. Ляпунова можем предположить, что векторы градиента направлены в противоположную сторону наибольшего роста искомой функций Ляпунова, но равны они по величине. Функций Ляпунова задаемся в виде скалярной функцийV(x1, x2, ..., xl),а градиент от функций Ляпунова можем представить:

∂V(˜x)

∂˜x =−d˜x₁

dt =−(A₁−˜b₁˜k₁^T)˜x₁

Тогда компонентов вектора градиента от потенциальной функций V(x₁, x₂, ..., x_l), можем представить в виде:

−d˜x₁

dt =−∂V(˜x)

∂x˜1

,−d˜x₂

dt = ∂V(˜x)

∂x˜2

, ...,−d˜x_l

dt = ∂V(˜x)

∂xl

, (18)

Полная производная по времени от функций Ляпунова согласно теореме об асимптотической устойчивости с учетом уравнений состояние (17), в устойчивой системе должно быть знакоотрицательной функцией и определяется как скалярное произведение вектора градиента от функций Ляпунова на вектора скорости системы т.е.

dV(˜x)

dt =−Pl i=1

∂V(˜x)

∂˜xi

d˜xi

dt =−h

(s1−˜b1˜k1) ˜x1]²−[(s2 −˜b2˜k2)˜x2]²−...−

h

(s_l−˜b_lk˜_l) ˜x_l]² =−P_l

i=1(s_i−˜b_ik˜_i)²x˜²_i

(19) Из (19) видно, что полное производное от функций Ляпунова по времени будет всегда знакоотрицательной функцией, т.е. будет выполняться условия асимптотической устойчивости системы при положительной определенности функций Ляпунова. Из (18) получим, что

∂V (˜x)

∂x˜₁ =−

s₁−˜b₁˜k₁

˜

x₁,∂V (˜x)

∂x˜₂ =−

s₂−˜b₂˜k₂

˜

x₂, . . . , . . .∂V (˜x)

∂x˜_l =−

s_l−˜b_l˜k_l

˜ x_l,

Отсюда можем получить функций Ляпунова в виде:

V (˜x) =−

s₁−˜b₁˜k₁

˜ x²₁−

s₂−˜b₂˜k₂

˜

x²₂−. . .−

s_l−˜b_lk˜_l

˜

x²_l (20)

Условия положительной определенности функций Ляпунова имеет вид:















s₁−˜b₁˜k₁

<0

s2−˜b2˜k2

<0 . . . .

s_l−˜b_l˜k_l

<0

(21)

В системе неравенств (21) выражение µ_i = s_i −˜b_i˜k_i, i = 1, . . . , l является собственными значениями матрицы замкнутой системы, и получили известный результат линейного принципа устойчивости µi =si−˜bi˜ki<0, i= 1, . . . , l.

2. Пусть матрица А порядка Lимеет кратные собственные числа: s1-кратности N1, s2- кратности N2, . . . , sm-кратности Nm.Выполнено условие Pm

i=1Ni=L Клетки Жордано для вещественных собственных чисел (I_ms_j = 0, j = 1, . . . , m) имеет вид (5).

Уравнения (15) составим для одного блока Жордано в развернутой форме:











x˙˜i =sjx˜i+ ˜xi+1−˜bik˜ix˜i

x˙˜i+1 =sjx˜i+1+ ˜xi+2−˜bi+1˜ki+1x˜i+1. j = 1,2, . . . , m, i=l+ 1, . . . l+L . . . .

x˙˜i+Ni =sjx˜i+Ni −˜bi+Ni˜ki+Nix˜i+Ni

(22)

Функций Ляпунова строим в виде вектор функций с

компонентами,V_i(˜x), V_i+1(˜x), . . . , . . . V_i+Ni(˜x),а градиенты от компонентов функций Ляпунова представим в виде















−^d˜_dt^xi = ^∂V_∂˜ⁱ_x^(˜x)

i +^∂V_∂˜x^i(˜x)

i+1

−^d˜x_dtⁱ⁺¹ = ^∂V_∂˜ⁱ⁺¹_x ^(˜x)

i+1 +^∂V_∂˜ⁱ⁺¹_x ^(˜x)

i+2

. . . .

−^d˜xi+_dt^Ni = ^∂V_∂˜ⁱ⁺_x^Ni(˜x)

i+Ni

Эту систему можем, подставляя значение из (22) переписать в виде

−s_jx˜i−x˜i+1+ ˜bi˜kix˜i = ^∂V_∂˜ⁱ_x^(˜x)

i +^∂V_∂x^i(˜x)

i+1

−s_jx˜i+1−x˜i+2+ ˜bi+1k˜i+1x˜i+1 = ^∂V_∂˜ⁱ⁺¹_x ^(˜x)

i+1 + _∂˜^∂V_x ^i+1(˜x) i+ 2 ... ... ... ... ....

−s_jx˜_i+ni+b_i+Nik˜_i+Nix˜_i+Ni = ^∂V_∂˜ⁱ⁺_x^Ni(˜x)

i+Ni

(23)

Отсюда из (23) получим полные производные по времени от компонентов вектор-функций Ляпунова

dVi(˜x)

dt =−(s_jx˜i+ ˜xi+1−˜bi˜kix˜i)²

dVi+1(˜x)

dt =−(s_jx˜_i+1+ ˜x_i+2−˜b_i+1˜k_i+1x˜_i+1)² ... ... ... ... ...

dV_i+Ni(˜x)

dt =−(s_jx˜_i+Ni−b_i+Ni˜k_i+Nix˜_i+Ni)²

т.е. полные производные по времени будут знакоотрицательной функцией(24) и удовлетворяет условий асимптотической устойчивости. Также из (23) можем находить значения компонентов вектора градиента:















∂Vi(˜x)

∂˜xi =−(s_j−˜b_i˜k_i)˜x_i;^∂V_∂˜x^i1(˜x)

i+1 =−˜x_i+1

∂Vi+1(˜x)

∂˜xi+1 =−(s_j−˜bi+1˜ki+1)˜xi+1,^∂V_∂xⁱ⁺¹

i+2 =−˜xi+2

... ... ... ... ...

∂Vi+Ni(˜x)

∂˜xi+Ni =−(s_j−bi+Niki+Ni)˜xi+Ni

(24)

Отсюда можем получить компонентов вектор-функций Ляпунова Vi(˜x) =−(s_j −˜bik˜i)˜x²_i −x˜²_i+1

V_i+1(˜x) =−(s_j−˜b_i+1˜k_i+1)˜x²_i+1−x²_i+2 ... .. .. ... ...

V_i+Ni−1(˜x) =−(s_j −b_i+Ni−1˜k_i+Ni−1)˜x²_i+Ni−1 −x²_i+N

i

V_i+Ni(˜x) =−(s_j−˜b_i+N˜k_i+Ni)˜x²_i+N

i

Функцию Ляпунова можем представить в виде скалярной функций V(˜x) =−(s_j−˜b_ik˜_i)˜x²_i −(s_j+ 1−˜b_i+1˜k_i+1)˜x²_i+1

−(s_j+ 1−˜bi+2˜ki+2)˜x²_i+2−...−(sj+ 1−˜bi+Ni˜ki+Ni)˜x²_i+N

i

(25) Отсюда условие положительной определенности функций Ляпунова (25) будет выражаться системой неравенств























−

sj−˜bi˜ki

>0

−

s_j+ 1−˜b_i+1˜k_i+1

>0

−

sj+ 1−˜bi+2˜ki+2

>0 . . . .

−

sj+ 1−˜bi+Nik˜i+Ni

>0 Или можем переписать в виде















sj−˜bi˜k<0

s_j+ 1−˜b_i+1k˜_i+1<0 sj+ 1−˜bi+2k˜i+2<0 . . . . s_j+ 1−˜b_i+Ni˜k_i+Ni<0

(26)

Система неравенств (26) также выражает условие отрицательности собственных значений матрицы замкнутой системы.

3. Пусть матрица объекта управления А размерности 2k имеет комплексно-сопряженные собственные значения λi=αi±jβi, i= 1, ..., k

Уравнения (16) составим для одного блока в развернутой форме:







.

˜

xi =αix˜i+βixi+1−˜bi˜k_ix˜i .

˜

xi+1 =−β_ix˜i+αix˜i+1−˜bi+1k˜i+1x˜i+1

i= 1, ..., k (27) Функций Ляпунова строим в виде вектор-функций с компонентами Vi(˜x)u Vi+1(˜x),

а компоненты градиента от компонентов вектор функций Ляпунова представим ( −^d˜_dt^xi = ^∂v_∂ⁱ_x˜^(˜x)

i +^∂v_∂x˜^i(˜x)

i+1

−^d˜x_dtⁱ⁺¹ = ^∂vi+1_∂˜x^(˜x)

i +^∂v_∂˜ⁱ⁺¹_x ^(˜x)

i+1

i= 1, ..., k (28)

Подставляя из (27) значение систему (28) перепишем в виде ( −α_ix˜_i+β_ix_i+1−˜b_ik˜_ix˜_i = ^∂v_∂˜ⁱ_x^(˜x)

i +^∂v_∂˜x^i(˜x)

i+1

+β_ix˜_i+α_ix˜_i+1−˜b_i+1˜k_i+1x˜= ^∂vi+1_∂˜x^(˜x)

i +^∂v_∂˜ⁱ⁺¹_x ^(˜x)

i+1

(29) Из (29) получим полные производные по времени от компонентов вектор-функций Ляпунова

( _dv

i(˜x)

dt =−(α_ix˜_i+ ˜β_ix˜_i+1−˜b_i˜k_ix˜_i)²

dvi+1(˜x)

dt =−(−β_ixi+αixi+1−˜bi+1˜ki+1x˜i+1)² i= 1, ..., k (30) Полные производные по времени от компонент вектор - функций Ляпунова являются всегда знакоотрицательной функцией и условия асимптотической устойчивости выполняется.

Из (29) можем находить значения компонентов вектор - градиента:

∂Vi(˜x)

∂x˜_i =−(α_i−˜bi˜kix˜i)˜xi;∂Vi(˜x)

∂x˜_i+1 =βix˜i+1

∂V_i+1(˜x)

∂x˜i

=β_ix˜_i;∂V_i+1(˜x)

∂x˜i+1

=−(α_i−˜b_i+1˜k_i+1)˜x_i+1; Получим компонентов вектор- функций Ляпунова в виде

V_i(˜x) =−(α_i−˜b_ik˜_i)˜x²_i −β_ix˜²_i+1

Vi+1(˜x) =−(α_i−˜bi+1k˜i+1)˜x²_i+1+βix˜²_i Функцию Ляпунова в скалярной форме можем представить в виде

V(˜x) =−(α_i−˜b_ik˜_i)˜x²_i −(α_i−˜b_i+1˜k_i+1)˜x²_i+1+β_i(˜x²_i −x˜²_i+1) Здесь можем принять x˜i= ˜xi+1; ˜biki = ˜bi+1k˜i+1,тогда получим

V(˜x) =−2(α_i−˜b_ik˜_i)˜x²_i, i= 1, ..., n

Условия положительной определенности функций Ляпунова будет выражается системой неравенств

αi−˜bik˜i<0, i= 1, ..., k; (31) Условия (31) также выражает отрицательность действительной части собственных значений µi = αi −˜bik˜i, <0, i = 1, ..., k матрицы замкнутой системы. При необходимости можно определить радиус робастной устойчивости.

Таким образом, условием устойчивости линейной замкнутой системы является отрицательный знак вещественной части всех собственных значений матрицы замкнутой системы. Полученные результаты подтверждают линейный принцип устойчивости системы.

ЛИТЕРАТУРА

1 Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1978.-369c.

2 Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. - 303 с.

3 Неймарк Ю.Н. Робастная устойчивость и Д – разбиение // Автоматика и телемеханика.

–1992. - № 7. - C.10-18.

4 Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматическими управления. М.:

Наука, 1983.-458c.

5 Бурносов С.В., Козлов Р.И. Исследование динамики нелинейных систем с неопределенностью и возмущениями на основе метода ВФЛ. I,II // Изд. РАН. Техн.

кибернетика. 1994. №4.-C.56-63; №6.-C.117-125.

6 Lishevski S.E. Robust Control of Nonlineaz Unsertain Systems. Proceeding of the American Control Conference. Azlington, VA June 25-27, pp. 4020-4025, 2001

7 Каменецкий В.А., Пятницкий Е.С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1987. № 2.-C.3-12.

8 Воронов А.А., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Наука,1987.-286c.

9 Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения – М.: Наука, 1967.- 225 с.

10 Малкин И.Г. Теория устойчивости движения – М.: Наука, 1966.- 540 с.

11 Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

REFERENCE

1 Kurzhansky A.B. Control and supervision in the conditions of uncertainty. M.: Nauka, 1978.- 369s.

2 Polyak B.T., Shcherbakov P. S. Robust stability and control. – M.: Nauka, 2002. – 303c.

3 Neymark YU.N. Robastny stability and D – splitting // Automatic equipment and teleme- chanics. 1992 - #7 – 10-18/

4 Besekersky VA. Nebylov A.V. Robust automatic control system. M.: Nauka, 1983.-458s.

5 Burnosov S. V., Kozlov R. I. Research of dynamics of nonlinear systems with uncertainty and indignations on the basis of the VFL method. Prod. Russian Academy of Sciences. Tekhn.

cybernetics.

6 Lishevski S.E. Robust Control of Nonlineaz Unsertain Systems. Proceeding of the American Control Conference. Azlington, VA June 25-27, pp. 4020-4025, 2001

7 Kamenetsky VA. Pyatnitsky E.S. Gradient method of creation of functions of Lyapunov in problems of absolute stability. Automatic equipment and telemechanics. 1987 #2, 3-12.

8 Voronov A.A, V.M Matrosov Method of vector functions of Lyapunov in the stability theory.

– M.: Nauka, 1987.-286s.

9 Barbashin Е.А. Introduction to stability theory – М.: Nauka, 1967.- 225p.

10 Malkin I.G. Theory of stability of movement. – M.: Nauka, 1966. -540s.

11 Lancaster P. The theory of matrices // translated from English. М.:Nauka, 1978, 280p.

Бейсенби М.А., Сатыбалдина Д.К., Ускенбаева Г.А.

m × n сызықты объектiлерiн басқару жүйелерiнiң робасты орнықтылығын А.М.Ляпунов функциялары әдiсiмен зерттеу

А.М. Ляпуновтың екiншi әдiсiнiң теоремасының геометриялық интерпритациясы негiзiнде антиградиентi жүйенiң жылдамдық векторының компоненттерiмен берiлген (күй теңдеуiнiң оң жағы) вектор - функция түрiнде жаңа әдiс ұсынылады. Сызықты стационарлы басқару жүйесiнiң орнықтылық облысы,анықталмаған параметрлi тұйықталған жүйенiң матрицасының өзiндiк мәндерi үшiн қарапайым теңсiздiктүрiнде алынған.

Түйiн сөздер:басқару жүйелер, робастты орнықтылық, Ляпунов тәсiлi, модельдеу.

Beisenby M.A., Satybaldina D.K., Uskenbaeva G.A.

Research of robust stability of a control system for m×n linear objects by method of A.M.Lyapunov functions

On the basis of geometrical interpretation of the theorem of the second method of A.M. Lyapunov new approach to creation of function of Lyapunov in a look a vector - the functions which anti-gradient systems are set by components of a vector of speed (the right member of equation of a condition) is offered. The area of stability of a linear stationary control system is received in the form of the elementary inequalities for own values of a matrix of the closed system with uncertain parameters.

Keywords :control systems, robust stability, superstability, Lyapunov’s direct method, modelling.

Поступила в редакцию 15.10.13 Рекомендована к печати 30.10.13

Об авторах:

Бейсенби М. А.- д.т.н., профессор кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Сатыбалдина Д. К. - к.т. н., доцент кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Ускенбаева Г. А. - PhD докторант кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева