1
СИНТЕЗ КИБЕРНЕТИЧЕСКИХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ
Т.Т. Оморов, Г.А. Кожекова
Институт автоматики и информационных технологий НАН КР, г. Бишкек, пр. Чуй 265, [email protected]
Введение. Технический прогресс во всех отраслях экономики в существенной мере определяется от степени применения современных технологий управления, в частности, кибернетических автоматических систем различного назначения. В свою очередь эффективность таких систем находится в прямой зависимости от уровня развития не только технических и программных средств автоматики, но и от степени совершенства принципов, методов и алгоритмов управления.
§ 1. Синтез кибернетических САУ с эталонной моделью
В рамках классической и современной теории управления разработано множество методов [1-8]: частотные методы; методы, основанные на функциях Ляпунова и обратной задачи динамики; аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР); модальное управление;
метод структурного синтеза регуляторов; методы теории инвариантности и систем с переменной структурой; методы теории H∞; принцип гарантируемой динамики и другие. Они нашли широкое применение при проектировании систем автоматического управления (САУ) в различных областях техники и отраслях промышленности. В то же время можно отметить ряд проблем, связанных с их применением. В частности, решение задач управления многомерными объектами с использованием первичных – инженерных показателей качества приводит к сложным вычислительным процедурам.
Применение косвенных интегральных критериев в задаче оптимизации автоматических систем привело к необходимости многократного повторения процедур синтеза из-за отсутствия однозначных функциональных зависимостей между инженерными показателями качества и весовыми коэффициентами. Полученные оптимальные законы управления в отдельных случаях может оказаться технически или программно трудно реализуемыми.
Теория оптимального управления, основу которой составляют принцип максимума, динамическое и математическое программирование, является фундаментальной базой для построения методов и алгоритмов синтеза автоматических систем при наличии технических и технологических ограничений. Однако, их использование связано с рядом трудностей, в числе которых можно отметить: необходимость решения краевых задач, которые в большинстве случаев решаются только численно; большая размерность решаемых задач («проклятие размерности»). Отмеченные проблемы частично связаны с тем, что в последние годы наблюдается некоторый
2
разрыв между теорией и практикой автоматического управления из-за чрезмерной математизации многих направлений современной теории управления в ущерб инженерно-технической сущности задач управления.
Поэтому практическое использование известных методов и развитие современной теории управления показало актуальность проблемы разработки новых конструктивных методов и алгоритмов синтеза систем управления многомерными объектами на основе новых подходов, обеспечивающих тесную связь между теоретическими разработками и потребностями практики с учетом созданных к настоящему времени возможностей современных компьютерных средств и технологий. В докладе рассматриваются проблемы, связанные с развитием метода синтеза кибернетических автоматических систем, изложенного в [9].
Как известно, качество САУ определяется n-мерным вектором ошибки управления
1 2
T
e( t ) e , e , ..., en :
e( t )g( t )y( t ), t
t ,0 , (1) где y(t), g(t) − векторы выхода управляемого объекта и соответствующего задающего воздействия в момент времени t; t0 – начальный момент управления.Основу указанного метода составляет следующая теорема [9].
Теорема. Пусть e ( t )i 0 0, i1,n, и для каждого t0 и t> t0 выполняются условия
0
0
t
i i
t
e ( )e ( )d ,
i1,n. (2) Тогда модули невязок e ( t )i c течением времени убывают иi 0
t
lim e ( t ) ,
i1,n.
Анализ показал, что функциональные соотношения (2) являются критериальными условиями и могут быть использованы для построения алгоритмов синтеза регуляторов САУ и идентификации динамических систем. При выполнении условий (2) переходные процессы по ошибке управления e ( t )i , i1,n, убывают монотонно. Это свойство используется для синтеза САУ с заданными показателями качества.
1.1. Алгоритм синтеза САУ
3
Общий алгоритм синтеза САУ на основе условий (2) включает следующие этапы:
Шаг 1. Задание модели объекта управления в форме переменных состояния.
Шаг 2. Задание цели управления и формулировка требований к проектируемой системе управления.
Шаг 3. Задание структуры регулятора.
Шаг 4. Формирование критериальных условий, обеспечивающих выполнение цели управления.
Шаг 5. Формирование эталонной модели замкнутой системы управления, обеспечивающей выполнение заданных требований к системе управления.
Шаг 6. Определение параметров регулятора.
Шаг 7. Моделирование синтезированной системы управления.
1.2. Модель объекта управления
Векторное уравнение управляемого объекта задается в отклонениях в пространстве состояний:
e( t ) Ae( t ) Bu( t ), (3)
0
e( t )0 e ,
где
1 2
T
u( t ) u ( t ),u ( t ),...,u ( t )m – m-мерный вектор стабилизирующего управления; e0 – вектор начального отклонения фактического состояния y(t)
объекта от желаемого состояния g(t); вещественные матрицы A
aij n n , i n m
B b .
Предполагается, что объект обладает свойством управляемости и все компоненты вектора ошибки управления e(t) доступны для измерения.
Цель управления. Она состоит в поддержании желаемого движения g(t)
управляемого объекта с заданными показателями качества. В качестве последних используются точность стабилизации требуемого состояния и быстродействие системы.
1.3. Структура регулятора
Закон управления u(t) определяется линейной обратной связью:
u( t )K e( t ), (4) где матрица регулятора
4
11 12 1
21 22 2
1 2
m m
n n nm
k k ... k k k ... k K ... ... ... ...
k k ... k
.
Формирование критериальных условий. Вначале составляются критериальные функции:
0 t
i i i
J ( t )
e e d , i1,n.В соответствии с приведенной выше теоремой цель управления достигается, если выполняются критериальные соотношения (2), т.е.
i 0
J ( t ) , i1,n, t
t ,0 . (5) 1.4. Формирование эталонной моделиДинамику эталонной модели замкнутой САУ представим в виде следующего векторного уравнения
e( t ) e( t ), t
t ,0 . (6)где
1 2
T
e( t ) e , e , ..., e n - вектор состояния эталонной модели; Λ – вещественная матрица:
ij n n .Задача состоит в определении желаемой матрицы замкнутой системы
* *
ij n n
, обеспечивающей заданные требования к проектируемой САУ.
Для нахождения такой матрицы (Λ*) будем использовать критериальные условия (2).
С учетом (6) критериальные функции Ji(t), принятые в качестве показателя оценки качества, имеют вид
0 0 0
2
1 1
t t t
n n
i ij i j ii i ii i j
j t t j t
i j
J ( t ) e ( )e ( )d e ( )d ( )e ( )e ( )d ,
i1,n, (7)т.е.
i ˆi i
J ( t )J ( t ) J ( t ),
где 2
0
t
i ii i
t
ˆJ (t )
e ( )d , 1 0
n t
i ii i j
j t
i j
J ( t ) ( )e ( )e ( )d .
5
Очевидно, что если
i 0
ˆJ (t ) , i1,n, (8)
i 0
J ( t ) , i1,n, (9) то гарантированным образом обеспечивается выполнение критериальных условий (5).
Пусть диагональные элементы матрицы Λ являются постоянными (λii=const) и имеют отрицательные значения, т.е. ii 0, i1,n. Тогда функции
ˆJ (t )i будут удовлетворять ограничениям (8). Теперь найдем условия, при выполнении которых будут выполняться соотношения (9). Для этой цели потребуем, чтобы динамика недиагональных элементов λii матрицы Λ описывалась следующими уравнениями:
1
ij( t ) ij e ( t )e ( t ) ,i j
i, j1,n, i j. (10) С учетом соотношений (10) выражения для J ( t )i имеют вид
1 0
n t
i ij ij ij
j t
i j
J ( t ) ( ) ( )d ,
i1,n. (11) Можно показать, что справедливо следующее соотношение:
0
2 2
0 5 0 t
ij ij ij ij
t
( ) ( )d , [ ( t ) ( t )],
i, j1,n. (12) С учетом (12) выражение (11) можно записать в виде2 2
0 1
0 5
n
i ij ij ij
j
J ( t ) , ( t ) ( t ) ,
i1,n. (13) Пусть ij( t )0 0, i j. Тогда, из выражения (13) для функции J ( t )i видно, что условия (5) выполняются, если
ij 0,
i, j1,n, i j. (14) Составим nn-матрицу
11 12 1
21 22 2
1 2 3
0 0
0
n n
n n n
f ( t ) f ( t ) ... f ( t ) f ( t ) f ( t ) ... f ( t )
F( t ) ,
...
f ( t ) f ( t ) f ( t ) ...
где элементы f ( t )ij определяются правой частью уравнений (10):
6
f ( t )ij ij1e ( t )e ( t ),i j i, j1,n, i j. (15) Тогда векторное уравнение самонастройки параметров эталонной модели замкнутой САУ можно записать в виде
( t ) F( t ),
t
t ,0 , (16) ( t )0 0,где матрица начальных условий
0 11
0
0 11
0 nn
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... .
0 0 0 ...
При этом ii0 0, i1,n.
Необходимо отметить, что алгоритм формирования уравнения самонастройки (16) отличается от процедуры его построения, предложенной в [9].
Так как, динамика эталонной модели (6) в соответствии с условиями (2) обеспечивает еѐ устойчивость и выполнение цели управления, установившееся решение векторного уравнения (16) является желаемой матрицей замкнутой системы:
*
t
lim ( t ).
(17)
§ 2. Определение параметров регулятора
Предположим, что путем решения уравнения (16) получена матрица Λ*. Векторное уравнение проектируемой замкнутой системы управления с учетом заданной структуры закона управления u(t), определяемого формулой (4), имеет вид
e( t ) ( A BK )e( t ). (18) Для того чтобы динамические свойства синтезируемой САУ соответствовали свойством эталонной модели должно выполняться матричное соотношение
A BK *. (19)
7
Отсюда для определения искомой матрицы регулятора К имеем следующее уравнение
BK*A. (20) Допустим, что для В существует обратная матрица B ,1 то искомую матрицу К* регулятора можно записать в явной форме:
1
* *
K B A . (21) В случае, когда матрица В является неквадратной, но существует обратная матрица ( B B )T 1, можно получить квазирешение:
1
T *
K ( B B ) ( A ). (22) Заключение. Моделирование синтезированной САУ. С целью проверки достижения заданного качества управления проводится компьютерное моделирование спроектированной системы и построение переходных процессов с найденным законом управления u(t). В случае, если не удовлетворяются заданные инженерные требования, в частности, к времени регулирования, то варьируются настроечные параметры регулятора (αij) так, чтобы обеспечивалось требуемое быстродействие проектируемой САУ. При этом используется свойство монотонности переходных процессов, которое позволяет целенаправленное изменение настроечных параметров регулятора.
Изложенная процедура проектирования автоматических систем управления кибернетическими объектами можно использовать и для построения контуров адаптивного управления и идентификации ДС.
Литература:
1. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1967, 1968. –Кн.1, 2, 3.
2. Porter B., Crossley T.R. Modal Control. – London: Taylor&Francis, 1972.
3. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред. А.А.
Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.
4. Петров Б.Н. Теория автоматического управления: Избранные труды. – Т. 1. – М.: Наука, 1983. – 430 с.
5. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and H∞ control problems. // IEEE Trans. Automatic Control. 1989.
– V. 34. – № 8. – P. 831-847.
6. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем:
Нелинейные модели. – М.: Наука, 1988. – 328 с.
7. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. – М.: Энергия, 1971. – 112 с.
8
8. Оморов Т.Т., Курманалиева Р.Н. Многокритериальный синтез систем упр-авления по показателям качества и сложности. – Бишкек: Илим, 2007. – 136 с.
9. Оморов Т.Т., Кожекова Г.А. Синтез систем управления многомерными объектами по критериальным ограничениям. // Известия НАН КР. – Бишкек:
Илим, 2009. – № 1. – С. 45-51.
