E-mail: bekbolot2009@yandex.ru Введение

1

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ РОБАСТНОЙ СИСТЕМЫ

Т.Т. Оморов, У.Б. Жунушалиев, Б.О. Джолдошев

Национальная академия наук КР, Институт автоматики и информационных технологий НАН КР, г. Бишкек, КР, Чуйский пр., 365-А. E-mail: bekbolot2009@yandex.ru

Введение. При проектировании систем автоматического управления (САУ) в современной теории управления на основе методов и предложенных алгоритмов принципа гарантируемой динамики [1] в некотором целевом пространстве системы управления исходя из технических и технологических требований задается некоторая допустимая область для управляемых процессов. Структура и параметры искомой системы отыскиваются так, чтобы переходные процессы, вызванные действием внешних задающих и возмущающих воздействий, не выходили за пределы заданных допустимых областей. Такой подход к синтезу САУ является более естественным, так как позволяет непосредственно учитывать инженерные требования к проектируемой системе, в частности, такие требования как: точность и быстродействие. Основная идея при этом состоит в том, что при возможных допустимых вариациях параметров объекта переходные процессы в проектируемой САУ должны оставаться в пределах заданных допустимых областей (множеств) гарантированным образом. Границы этих множеств задаются инженерными показателями качества.

Постановка задачи. Рассмотрим нестационарный объект управления, описываемый векторным уравнением в отклонениях:

     

 

t x ,t



t ,t



, x

, t ˆ u t ˆ x t x

k 0 0

0  











(1)

где x(t)



x₁(t),x₂(t),,x_n(t)



^T– вектор состояния; ^u(t)



^u₁^(t),u₂^(t),^,u_m^(t)



^T_{– вектор}

управления; Aˆ(t), Bˆ(t)вещественные матрицы:

^Aˆ(t)



^aˆij^(t)



nxn ^{, Bˆ(t)}

 

^bˆil^(t) mxn^.

Допустим, что объект управления обладает свойством управляемости, а вектор состояния доступен для измерения.

Предположим, что для элементов матрицы Aˆ(t), Bˆ(t) известны их максимальные aˆ^_ij, bˆ^_lj и минимальные _aˆ^_ij,b^ˆ_lj значения:

 aˆ , aˆ min aˆ , i,j 1,n. max

aˆ

k 0 k

0 t t ,t

ij ij

t , t t

ij

ij   









2

 bˆ , bˆ min bˆ, l 1,m. max

bˆ

k 0 k

0 t t ,t

il il

t , t t

il

il   









Тогда матрицы Aˆ(t), Bˆ(t) можно представить в виде суммы постоянных A

 

aij n_n, B

 

bil _mn и переменных

 

_{ij nn} B~(t)



b_il(t)



_mn

, ) t ( a~

) t ( A~

  

 матриц:

    

ij

  

n n

 

~(t)



bi (t)



_{n m}

ˆ t ,

t aˆ

~ t ˆ t

    











 _ , (2)

где

. n , 1 j , i , m , 1 l 2 ,

b b b

2 , a

a_ij a^ij  ^ij _il  ^il  ^il  

 ^{ }





При этом для элементов матрицы Aˆ(t), Bˆ(t) справедливы соотношения:

,

 

 

t b , 1,m,

~b

, n , 1 j , i , a t

~a

i i

ij ij













 



(3) где положительные величины

_{ij ij ij} ~b_i

 

t bˆ_i

 

t b_i ,

a ) t ( aˆ ) t (

a~     .

Теперь исходное уравнение объекта (1) с учетом представления (2) имеет вид

^x

 

^{t }



^~

 

^t



^x

^{ }

^{t }



^~

^{ }

^t



^u

 

^{t ,} (4) Поскольку уравнение объекта задано в отклонениях вектор ошибки управления

).

t ( x )

t (

e 

Пусть задана структура закона управления:

u(t)Ke(t)Kx(t)_{, (5)}

где Kmn мерная матрица регулятора:

3

. k k

k

k k

k

k k

k

k k k K

mn 2

m 1 m

n 2 22

21

n 1 12

11

m 2 1



















































Обозначим через p вектор-параметр регулятора, имеющий размерность rmn:

].

k ,..., k , k [ ] p ,..., p p [

p _{1, 2 r}  _{1 2 m}

Предположим, что требования к качеству системы управления заданы в виде следующих ограничений на переходные процессы e_i(t), i 1,n, обусловленные не нулевым начальным условием (e(t₀)0,где 0 – n-мерный нулевой вектор, все элементы которого равны нулю):

 



^{t ,t}



^{, ,}

t

, б t )

t ( x ) t ( e

N , 1

k i

0 i i

i

 





(6) где б_i

 

t – положительные непрерывно дифференцируемые функции, задающие границы соответствующих допустимых областей:

       



t ,t



. t

, б t t

e : R e t E

k 0 i

i 1 i i

, N , 1

i 









При этом допустимое подмножество для вектора e(t) запишется как

 

^t



^{e R : e}

 

^{t E}

 

^{t , i 1,n}



E   ⁿ _i  _i  .

Введем подмножество

   



^{p R : e t E t ,}



^,

P  ^r _i  _i i 1,N

определяющее допустимую область в пространстве параметров проектируемой системы.

Задача синтеза формулируется следующим образом. Определить вектор-параметр р закона управления (5) для объекта, описываемого уравнением (4) так, чтобы pP_.

Решение задачи синтеза. Рассмотрим возможность решения сформулированной задачи на основе принципа гарантируемой динамики [1].

Сформулированная задача синтеза решается в два этапа: на первом осуществляется описание допустимого подмножества P, а на втором этапе производится поиск и определение искомого вектор-параметра _p_P.

4

Утверждение 1. Пусть в начальный момент времени e_i(t₀)E_i(t₀). Тогда для того, чтобы при t t⁰ e_i(t)E_i(t)достаточно для всех t



t₀,t_k



выполнения соотношения

   

τ e τ dτ б

   

t б t dτ, t



t ,t



.

e _{0 k}

t

t

i i t

t

i i

0 0









^{ }

(7) На основе условий (7) можно сформулировать следующее утверждения *2,3+.

Утверждение 2. Пусть e(t₀)E(t₀) . Тогда вектор ошибки управления e(t)E(t) _,

если выполняются условия

^{), , t}



^{t ,t}



^.

),

k 0 i

- i

i i

N 1,

(t i

б (t) e -

б (t (t) e



 





 

 

(8)

Для описания подмножества P будем использовать результаты утверждения 2. Для этой цели с учетом уравнения объекта (1) и закона управления (5) векторное уравнение замкнутой САУ запишем в виде:

^x

 

^t ^D^x

 

^t ^D~

   

^t ^{x t ,} ₍₉₎

где матрица

     

~ t ,

~ t t D~ ,

D   

 

^{t ~a}

 

^{t ~b}

 

^{t k ,}

d~ , k b a

d

m

1 n

1 j

j i

m

1 n

1 j

ij ij

j i ij

ij

 

 

 





















В координатной форме уравнение (9) можно записать в виде ^x

 

^{t d x}

 

^{t n d~}

   

^{t x}_j ^{t , t}



^t₀^,t_k



^{, j 1,n .}

1 j

ij j

n

1 j

ij

i 







  





 (10)

Задача состоит в получении условий, при выполнении которых процессы ^{xi(t)Ei(t), i1,n.}

Уравнения замкнутой системы (10) относительно ошибки управления имеет вид

 

^{t d e}

 

^{t ~d}

   

^{t e t , t}



^{t ,t}



^{, j 1,n .}

e _{j 0 k}

n

1 j

ij j

n

1 j

ij

i 







  





 (11)

Для получения условий, подобных соотношениям (11), предварительно запишем следующие выражения:

       

   

   

d~

   

t e t , t

e d t

d t

e t d~ t

e d t

e

n

1 j

i j

n

1 j

j ij j

ij i

ii t t e n

1 j

j ij n

1 j

j ij 0

i

i j

 





 



 



      



5

       

   

   

d~

   

t e t , t

e d t

d t

e t d~ t

e d t

e

n

1 j

i j

n

1 j

j ij j

ij i

ii t

t e n

1 j

j ij n

1 j

j ij 0

i

i i

 





 





 



      



или

 

^{t d e}

 

^{t d~}

   

^{t t}

 

^{t ,}

d _i

n

1 j

i j

n

1 j

j ij j

ij i

ii 







 

 



   

d~

   

t t

 

t . t

e d t

d _i

n

1 j

i j

n

1 j

i ij j

ij i

ii 







 

 



В результате условия (11) можно записать в виде

или

     

~d

   

t t

 

t t

d~ t e d t

d _i

n

1 j

i j

n

1 j

i j

j ij i

ii j

ij i

ii 



  



 







     

~d

   

t t

 

t t

d~ t e d t

d _i

n

1 j

i j

n

1 j

i j

j ij i

ii j

ij i

ii 



  



 





 .

Последние неравенства эквивалентны следующим соотношениям



^{d d~}

 

^t



^e

^{ }

^t i

^{ }

^{t d}ii i

^{ }

^{t ~d}ii

^{   }

^t i ^{t , i 1,n ,} n

1 j

i j

j ij

ij         







 ₍₁₂₎

или

   

  

^{t a b k}

  

^t



^{~a (t) ~b}

 

^t



^k

 

^{t , i 1,n.}

t e k

t

~b )

t (

~a k

b a

i ii ii

ii i

ii ii ii i

n

1 j

i j

j m

1 n

1 j

j i

ij m

1 n

1 j

j i ij



































 



 





 



 

  

    















(13)

Обозначим левую часть (13) через ^L_i1

 

^p , а правую часть через

^L

_i2

  ^p

, и определим верхние границы (12) или (13)

6

 

^{p a b k ~a b~ k}

 

^{t ,}

L

n

1 j

i j

j m

1 n

1 j

j i ij

m

1 n

1 j

j i ij

1

i

  

  





 



















 



  

 



 



  















 

^p

  

^{t a b k}

  

^t



^{~a b~ k}

 ^{ }

^{t .}

L_i2 _i  _ii  _{ii ii} _i  _ii^  _ii^  _ii _i

Полученный результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Утверждение 3. Пусть x_i(t₀)E_i(t₀) . Тогда x_i(t)E_i(t) , если для каждого t



t0,tk



будут выполняться соотношения:

L_i1

 

p L_i2

 

p , ⁱ^1,n

.

₍₁₄₎

Заметим, что полученные условия корректны только тогда, когда их правые части соотношений (13) неотрицательны: L_i2(p)0.

В результате подмножество

   



^{p R : L p L p 0 , i 1,n.}



^.

P  ^r _i1  _i2  

Следует отметить, что для упрощения анализа условий допустимого качества управления (13) или (14) целесообразным является специальное построение функций ~

 

t

i . В частности, если принять, что

 

^t _{i i}

 

^{t , i 1,N}

i  

 , (15) то функция i

 

^t имеют экспоненциальный характер:

 

t _i e ^t , i 1,N

i

i 







  ^ . (16) где



_i^

 0 ,

_а



_i

   0 .

При этом нетрудно доказать, что неравенство (18) упрощается и имеет вид:

 



^{a b k a~ b~ k}



j



i

^

^aii ^bii^kii

^ 

^a~ii ^b~ii ^kii

 

i ^{, i 1,N.} n

1 j

j i

j i ij j il

ij         ^  ^  







^  ^{   }

(17)

Выполнение условий (14) или (17) обеспечивает одновременно и свойство асимптотической устойчивости замкнутой САУ, если все _i 0, поскольку при этом

 







 t

0 t lim _i

,

7

а переходные процессы e_

 

t E_i

 

t .

Для определения вектор-параметра, принадлежащего допустимому подмножеству Р, т.е. ^pP, можно использовать известные численные методы [6,10,12] или вычислительную процедуру, изложенную в [1,2].

Алгоритм синтеза. Таким образом, алгоритм синтеза линейной стационарной

обратной связи для нестационарной системы состоит из следующих этапов.

Шаг 1. Задание модели объекта в виде векторного уравнения (1).

Шаг 2. Задание структуры закона управления объектом в виде (5).

Составление вектора-параметра p[p₁,p₂,...,p_r]_.

Шаг 3. Определение функций б_i(t), i 1,N задающих границы допустимого множества E(t) для вектора ошибки управления е(t) на основе требований к качеству управления  



₁^,₂^,...,_N



_.

Шаг 4. Формирование системы неравенств (17), определяющих описание допустимой области Р в пространстве параметров искомого регулятора.

Шаг 5. Анализ соотношений (17) с целью нахождения вектор-параметра P

p .

Заключение. Получено описание допустимого подмножества P в пространстве параметров регулятора, гарантирующей замкнутой многомерной системе управления заданные прямые (инженерные) показатели качества. Анализ этого подмножества позволяет определить искомый вектор-параметр p регулятора для линейной нестационарной системы.

Литература:

1. Оморов Т.Т. Принцип гарантируемой динамики. – Бишкек: Илим, 2001.

2. Оморов Т.Т., Курманалиева Р.Н. Джолдошев Б.О. Синтез безинерционной управляющей подсистемы для нестационарной линейной системы. // Известия КГТУ им. И. Раззакова. №11, – Бишкек, 2007. – С. 124- 128.

3. Zakian V. New formulation for the Method of Inequalities. – Proc. IEE, 1979. v.126, № 6, pp. 579–584.