Қосындылау шектері айнымалы болатын салмақты Харди теңсіздігі

1233

Для 𝑓 , 𝑓 ∑ и последовательности { } преобразования 𝑓, ; ; и 𝑓, ; ; определены следующим образом

𝑓, ; ; ∑

| |

( ∑

)

𝑓, ; ; ∑

( ∑ | |

)

(1) назовём преобразованием Харди и (2) - преобразованием Беллмана, которые отвечают последовательности множеств { } и системам функций { } , { } . Когда { , , , }, , и системы равны { } , то эти преобразования называются соответственно преобразованиями Харди и Беллмана.

Теорема 1

Если < 𝑝 < , 𝑝

, ≤ ≤ , { } , { } - регулярные системы { } - семейство отрезков в таких, что | | (| | количество элементов в ), тогда преобразования 𝑓, ; ; и 𝑓, ; ; ограничены в пространствах и , соответственно, и следующие неравенства верны:

‖ 𝑓, ; ; ‖ ≤ ‖𝑓‖

‖ 𝑓, ; ; ‖ ≤ ‖𝑓‖

В данном случае с зависит лишь от параметров pи q.

Теорема 2

Если < 𝑝 ≤ , 𝑝

, ≤ ≤ , { } , { } - регулярные системы, { } - семейство конечных множеств из , и данные условия удовлетворены:

| | и . , тогда преобразования 𝑓, ; ; и 𝑓, ; ; ограничены в пространствах и , соответственно.

Список использованных источников

1. Stein E. M., Shakarchi R. Fourier analysis: an introduction. – Princeton University Press, 2011. – Т. 1.

2. Tleukhanova, Nazerke Tulekovna. "On Hardy and Bellman transformations for orthogonal Fourier series." Mathematical Notes 70.3.- 2001.-P. 577-579.

ӘОЖ 517.51

ҚОСЫНДЫЛАУ ШЕКТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БОЛАТЫН САЛМАҚТЫ ХАРДИ ТЕҢСІЗДІГІ

Сарсеналы Динара Серікқызы dinara.sarsenali@mail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУМеханика-математика факультетінің 5В060100-Математика мамандығының 4 курс студенті

Ғылыми жетекшісі – А. Темірханова

Айталық, 0 p,qболсын.Қосындының төменгі шегі айнымалы болатын келесі дискретті Харди типтес теңсіздігін:

1

1234

 

p

n p q

n

q

k n a

n n f C k

f n

1

1 1

1

) ( ) ( )

( )

( 



 



 















 







 

^





  



 , f(n)0 (1)

, (n), (n)- ң і і, a(n)- і і і,

0

C (1) ң і і і ң і і .

ң і і і ңі . . , . . . ң [1]

ң ң .

ң і і і ің ^{1 p} і і :

і ң і і і:



 

^









 

 





 



 





1

1 1 1

1

k p k p p

n k

k f

p f p

n ⁽²⁾

 

f_k ^_k1 - і і і:



^ 

1 k

p

fk ;

ң і і і:



 

^





 





 



 





0

0 0

) 1 (

) 1 (

dx x p f

dx p dt t x f

p p p

x

  ^x

f

^p x0 і ^{(0,x) (0,)}

і .

і ң і і і ің і і

   

^b

   

^p

a p q

p b q

a x q

a

dx x x f C dx x u dt t f

1

, 1







 













  

^

1969-1980 . ,

і

p

n

n p n q q

n

n

k k

n f C f v

u

1

1 1

1 1



 



 











 



 







 

^





 

(3)

і і 1983-1994 . і. ң і і ің і

[2-4] і .

2010 [5], [6] . ң і

і і ң і і і ің ң

і і і і . ң і і ің [7-9]

ң і і . і і і

(1) ң і і ің ң і і і і

.

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

2

1235

і і . AB AB AcB

cA

B і і і,

c

- p q і і .

B

A ABA AcB - .

(1) ң і і і  n n,

n n q

p 1

) (

, 

   n 1 (2) ң і і і ,

 n n (3) ң і і і і і .

і і і і і :

1. ^{1 pq} , (1) ң і і і ү і



 











 



 



 

 









^'

1 ' 1

) ( 1

1

1: sup ( ) ( )

p p

n a k n q

n k

k k

A  

і ә і і і. C A₁ .

2. _{0 p q}, 0 p1 , (1) ң і і і ү і







 



  ^

 



^{( ) sup ( )}

sup :

1

) ( 1

1

2 k k

A ^p

n a k n q

n k





і ә і і і. CA2 .

3. _{1 q p} , (1) ң і і і ү і







































 



 











 ^  ^

















_



r p r

k

q

k i

p q

k a n

k i

n

1

' 1 1

' 1 ' 1 1

) ( 1

3: ( ) ( ) ( )

1







і ә і і і.

C 

3 _.

і і і

1. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1952. – P .160.

2. Kufner A., Maligranda L., Persson L-E. The Hardy inequality-About its history and some related results, VydavatelskyServis, Plzen, 2007.– P.162.

3. Kufner A., Persson L-E. Weighted inequalities of Hardy Type World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. – P.357.

4. Opic B., Kufner A., Hardy-type Inequalities. Pitman Researh Notes in Mathematics Series, 219, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1990., -P.423.

5. .

I. // . « . . ». –

2010. - № 4. – . 56-69.

6. .

II. // . « . . ». –

2011. - № 1. – . 5-13.

7. . ., . .

// . - . – 2001. – . 232. – . 298-317.

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

3

1236

8. . ., . .

// . - . – 2008. – . 260. – . 264-

288.

9. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Kernel Operators with Variable Limits Intervals of Integration in Lebesgue Speces and Applications // Math. Inequal. Appl. – 2010. – Vol. 13.

– P. 449-510.

512.552

E І І

. і kuanyshbeksardarbek@gmail.com

. . і ің 2-

і – . .

k - 0 і ,

^k   ^{x , y}

- k і і і x,y і і

,



1

, 

2 -

^k   ^{x , y}

і ң



1

, 

2-

.

 















       



 ,...

2 2 1 1 ,..., , 2

, 1 ,..., 2 2 1 1 ,..., , 2

, 1 2 ,









y y

y y x

x x x k y x k A

k і і і x,y і



₁

, 

₂

. - k і і і x^{1122},y^{1122}

і ,



1

, 

2

, 

1

, 

2 і і ң

.

2 2 1 1

1



  z^^ ₂ t^{1122} ,

^{z , t }   ^{x , y}

^.



1

 

2 _{і ,}

1.

2.

3.

ң і і і і і

(1)

, - і і ,

(1) і і і ің .

(1) і і і ің і

y t t z , 

2 1 2

,1  

t z

1 1 2 1 2

1 ,

,     

t z

 

^{x y}

k A ₂ ,

, ...

2 1

2 1

s

s





 





2 2 1 1i i

i z



  ^ ^{ z}

 

^x,^y ,^ai



ⁱ1,^s



₁ ₂ ..._s.

 l

 





_i^s a_i

 1



Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

4