ҤЗІЛІССІЗ СИГНАЛДАРДЫ ДИСКРЕТТІ МӘНДЕРІ АРҚЫЛЫ ҚАЛПЫНА КЕЛТІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ

УДК 517.52

ҤЗІЛІССІЗ СИГНАЛДАРДЫ ДИСКРЕТТІ МӘНДЕРІ АРҚЫЛЫ ҚАЛПЫНА КЕЛТІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ

Ахажанов Т.Б., Иманов Р.Б., renat.imanov@mail.ru Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ҧлттық университеті, Астана

Ғылыми жетекші – ф.м.ғ докторы, профессор Н.А.Бокаев

Детерминалды сигнал (лат. determinarе — анықтау) — уақыт бойынша ӛзгерісі алдын ала белгілі болатын сигнал. Детерминал сигнал уақыт бойынша белгілі зандылықпен ӛзгереді. Олар үздіксіз, дискретті, периодты, периодсыз болып бӛлінеді. Детерминал сигналдың қарапайым тҥрлері: гармоникалық сигнал немесе импульстер тізбегі.

Дискретті сигнал — бӛлек-бӛлек ҥзілісті сигналдардан тҧ ратын сигнал. Ҥзіліссіз (аналогты) сигналдарды кодалау, яғни сандық сигналдарга айналдыру ҥшін оларды ҥзіп, дискреттейді. Дискретті сигналдар периодты, периодсыз болып және тҥрлеріне қарай

тіктӛртбүрышты, үшбұрышты, қоңырау тәрізді, экспоненсиалды болып бӛ лінеді.

Сурет 1. Дискретті сигнал.

Сигнал мәндері тек қана Т ақырлы интервалында нӛлден ӛзгеше болса,онда сигнал финитті деп аталады.Егер сигналдың спектральды X(f) функциясы яғни Фурье тҥ рлендіруі кейбір ішкі ақырлы жиілік интервалында нӛ лге айналса, онда сигнал финитті спектрмен берілген деп аталады.Егер х(t) сигналы тек қана t≥0 аргумент мәндері ҥшін анықталса, онда ол каузалдық деп аталады. T_c ақырлы уақыт интервалдарында жататын барлық ҥзіліссз

s(t) сигналдарын s(nT) сҧ рыптауымен (есептеуі) N ақырлы санындағы жеткілікті дәлдікпен жіберуге болады. Уақыт бойынша хабарларды дискретизациялау дегеніміз сигнал мәндерінің шапшаң есептемейтін жиынын анықталған уақыт моментіндегі ҥзіліссіз сигнал мәндері туралы ақпараттар жататын есептелінетін (дискретті) жиынымен алмастырудан қҧралған процедураны айтады. Ҥзіліссіз сигналдарды жіберудегі дискретті жағдайда уақыт қысқартылуы мҥмкін. Бҧ л хабарды жіберуде алатын байланыс каналының ағымы T_c дан N_u ға дейін алады. Мҧндағы _u - сҧрыптауды жіберу ҥшін қолданылатын импульс ҧзындығы.Финитті, шенелген спектрмен сигналдар ҥшін ең қарапайым болып табылатын дискретті жағдай В.А. Котельников теоремасы (есептеу, сҧрыптау теоремасы) негізінде қисынға келтірілген.

Сұрыптау теоремасы. Егер F_m - ге қарағанда s(t) функциясының спектріндегі жиілік ең жоғары болса,онда s(t) функциясы 1 секундқа қарағанда бірі бірінен артық

2F_m 8

кем қалмайтын моменттегі ӛзінің мәндер тізбегімен толығымен анықталады да және қатар тҥрінде былай беріледі.

  n 



sin 2F_mt  ^

 n   ^{ }



^{ 2Fm }

s(t)  s  (1)

 

 n 

n  ^2Fm 

2F t  

m  

 ^{2Fm }

Мҧндағы 1  T шамасы уақыт осіндегі есептеулер арасындағы интервалды білдіреді, ал 2F_m

n  nT - сҧ рыптау уақыты, s( n )  s(nT ) - есептеу моментіндегі сигнал мәндері.

2F_m 2F_m

(1) қатар Котельников қатары деп аталады да, ал {s(nT)} сҧ рыптау (есептеу) сигналы кейде уақыттық спектр сигналы деп аталады.

u (t)  sin



²F_m (t  nT )



_{ sin}_m (t  nT ) функциясына келесі қасиеттер орындалады:

n

2F_m (t  nT ) _m (t  nT )

а) t=nT нҥктесінде функция 1 ге тең,осы нҥктеде sin x функциясының аргументі 0 ге тең,

x

ал оның мәні 1-ге тең болады;

б) k  n t=kT нҥктесінде синустың аргументі 2F (kT  nT )  2F (k  n)T  (k  n) 1

2F  (k  n) мынаған тең, ал синустың ӛ зі

m m

2F_m ^m

нӛлге тең, онда функциямыз u_n (kT )  0 в) u_n (nT ) функциясы жолақ жиілігінде

f  F_m u_n (nT ) функциясының спектральды

тығыздығы бірқалыпты және 1  ге тең болады.Бҧ л негіз Фурье тҥ рлендіруінің уақыттық 2F_m

жҧбы және ӛ зара Фурье- Найквиста жиілік теоремасы негізінде жасалған. Сигналдарды жылжыту туралы теоремаға сәйкес Фурье тҥрлендіруінің спектральды тығыздығы сызықты және U _n () мынаған тең болады.

 1

e

^{ jnT}

 Te

^{ jnT}  



2F_m

U m

n () 

0  

 m

.

Сурет 2. u_n(t) функциясының уақыттық және жиіліктік қойылуы.

9

Сурет 3. (1) Котельников қатарының графиктік интерпретациялық қойылуы.

(1) Котельников қатарында u_n(nT) базистік функциясында жалпыланған Фурье қатарының барлық қасиеті орындалады және сондықтан s(t) функциясын тек қана есептеу нҥктесінде емес кез келген уақыт моментінде анықтаймыз.

Екі ӛлшемді сигналдарды ӛңдеуде бір ӛлшемді жағдайда табылмайтын кӛптеген геометриялық және топологиялық проблемалар пайда болады. f  L¹ (R ² ) екі ӛлшемді интегралданатын функцияның Фурье тҥрлендіруі былайша анықталады:

^ 

f ( ,

2) 



^{f (x , x 2} ) exp[i( x

2x ₂)]dx dx

2 (2)

1 1 1 1 1



Жарық қарқындылығы және камера ӛлшемдері негізінен суреттің тіктӛртбҧ рышты массив элементтерінің тҥрінде беріледі де біз оны пиксель деп атаймыз. Бір

ӛлшемд і сҧ рыптау теоремасы екі ӛлшемді массив элементтеріне дейін кеңейтіледі. Шексіз тіктӛртбҧрышты тор мәндері ҥшін

x₁ және x2 осьтерін бойынша сҧ рыптаулардың

T

¹

және

T

² қадамдары берілсін. Дискретті бейне, алынған сҧ рыптау f (x₁ , x₂ ) мәндерінің тор тҥйіндерінде жергіліктендірілген Дирактың дельта- функциясының қосындылары арқылы

беріледі:

 

f _d (x₁ , x₂ ) 



^{f (n}1T₁ , n₂T₂ ) (x₁  n₁T₁ ) (x₂  n₂T₂ ). (3)

n₁  n₂ 

Екі ӛ лшемді дельта-функциясының Фурье тҥ рлендіруі тӛмендегідей болады:



 (x  n T ) (x

2 n T )



^{^} ( ,

2) = exp[i(n T   n T 

2

)]. (4)

1 11 2 2 1 1 11 2 2

Сондықтан f _d  ның Фурье тҥ рлендіруі екі ӛлшемді Фурье қатары болады.

^  

f d ( ,

2 )



f (n T , n T ) exp[i(n T   n T 

2 )]. (5)

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

ⁿ1 n₂

ол ₁ осі бойынша 2 / T₁ периодты және  ₂ осі бойынша 2 / T₂ периодты болады.

Лемма 1.

x

¹ және

x

² осьтері бойынша

T

^{1 және}

_T

2 қадамдармен алынған сҧ рыптауларға сәйкес дискретті f бейнесінің Фурье тҥ рлендіруі тӛмендегідей

формуламен анықталады:

^

^

1 ^{ } 2k₁ 2k₂

f d ( , 2 ) 



^{f (  ,}2 ^{ ). (6)}

1 T T k  k  ¹ T T

1 2 1 1 1 2

Келесі теорема Уиттекер-Котельников-Шеннонның формуласының екі ӛлшемді сигналдар ҥшін орындалатындығын кӛрсетеді.

10

^ Теорема 1. Егер f сигналының f Фурье тҥ рлендіруінің тҧ ғыры    

аралығында болса, онда келесі формула орындалады:

[ , ] [

, ]

T₁ T₁ T₂ T₂

 

f (x₁ , x₂ ) 



^{f (n}1T₁ , n₂T₂ )h_T1 (x₁  n₁T₁ )h_T2 (x₂  n₂T₂ ) (7)

n₁  n₂ 

мҧндағы h (t)  sin(t / T ) .

T t / T

Келесі теоремада периодты сигналдар қарастырылады.

Теорема 2. f (t1 , t₂ ) сигналы t₁ айнымалысы бойынша L1 периодты және t2

N₁ N ₂^{^}

айнымалысы бойынша L периодты болсын, және n  ,n  болғанда, f  0

2 1 2 ² 2 ⁿ¹ⁿ²

болсын. Онда f (t₁ , t₂ ) сигналы

ҥшін тӛмендегідей теңдік

орындалады.

 (N₁ 1)  k₁ L₁  (N ₂ 1)  k ²

L

2 

sin t   sin t  

   

N1 N2  k₁ L₁ k₂ L₂  L₁^{ 1} N₁  1 ^ L₂^{ 2} N ₂ 1 ^



^{    }

f (t , t 2

)  f  ,  (8)

1  N

1 1 N ₂ 1 ^    k L     k L 

k 0 k1 2 0  ^ _(N 11) sin  ^t 1 ^{1 1  (N} 2 ^{1) sin}  ^t 2^ 2 2 ^

L₁



N₁  1 ^{ } N ₂ 1 ^



    L

2  

0  t₁  L₁ , 0  t₂  L2 .

Бҧ л теорема егер кӛ рсетілген шарттар орындалса,онда периодты f (t₁ , t₂ ) сигналы мынадай

 k L k

2L 

f  ^{1 1} , ² , мҧндағы ( k  0,1,..., N ; k  0,1,... N ).

2 2



N₂ 1

 1 1

 N1 1 

дискретті мәндері арқылы толық анықталатындығын кӛ рсетеді.

Бір айнымалы сигналдар ҥшін Уиттекер-Котельников-Шеннон теоремасы [1],[2] жҧмыстарда келтірілген, бір айнымалы периодты сигналдар ҥшін бҧл теорема [3],[4] жҧмыста келтірілген.

Қолданған әдебиеттер тізімі

1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов:Пер. с англ. – М.: Мир, 2005 - 617 с.

2. Зорич В.А. Математические анализ II том. М.:Наука, 1984, 640 с.

3. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов:Пер.с англ./Под ред. И.Б.Фоменко – М.:Связь 1980, – 248 стр.

4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2003. –

608 с.