МАТЕМАТИКА
А. Хасаноғлы, Б. Т. Ақпаев*, И.И. Шамралиев**
Үш өлшемдi дененi лазерлiк сәулемен жылытудың бiр мәселесi
( Измир университетi, Измир қ., Түркия)
(* Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Астана қ., Казақстан) (** И. Раззақов атындағы Қырғыз мемлекеттiк университетi, Тоқмақ қ., Қырғызстан)
Жұмыста үш өлшемдi дененi лазерлiк сәулемен жылыту есебi қарастырылады.
Ұсынылып отырған жұмыс [1,2] жұмыстарының жалғасы болып табылады. Есептiң қойылымы және оны шығару кезiндегi идеясы ҚР ҰҒА академигi М. Өтелбаев пен А.
Хасаноғлыға (Измир университетi, Түркия) тиесiлi.
Ω⊂R3 аймағы ∂Ω тегiс шекарасымен берiлген аймақ болсын, яғни Ω - дене. Келесi есептi қарастырайық.
Есеп. Дене температурасының үлестiрiмi бастапқы уақытта u0(x) функциясы арқылы берiлсiн. Ω денесiн t=T >0 уақытта температура үлестiрiмi u1(x), x∈Ω функциясына тең болатындай етiп, лазерлiк сәулемен қыздыру қажет.
Әрине бұл есептiң шешiмi әрқашан бола бермейдi. Бiз есептiң шешiмi бар болатындай шарттарды және жуық шешiмдi табу әдiстерiн iздеймiз.
Бұл есептiң математикалық қойылымы келесiдей:
∂u(x,t)
∂t −∆u(x, t) = 0, (x, t)∈ΩT :={x∈Ω, t∈(0, T]}, u(x, t)|t=0 =u0(x), x∈Ω,
∂u(x,t)
∂n |Γ =m(t)δ(x−ω(t))−φ(t, u, n), Γ :=∂Ω×(0, T].
(1)
Мұндағы, n - векторы Ω бетiне нормаль векторы, Ω - Лаплас операторы, m(t) функциясы лазерлiк сәуленiң интенсивтiлiгi, δ(·) функциясы Γ шекара бетiндегi Дирак дельта - функциясы, ал ω(t) = ω1(t), ω2(t), ω3(t) үзiлiссiз вектор - функциясының мәндерi Γ - да жатады және t уақыт мезетiндегi лазерлiк сәуленiң түсу нүктесiн көрсетедi. φ(t, u, n) функциясы Ω бетiндегi жылудың шығынын бiлдiредi.
Кез келген кiшкене >0 үшiн
m(t) =m0 немесе m(t) = 0
екiмәндi функциясын және ω(t) = (ω1(t), ω2(t), ω3(t)) үзiлiссiз вектор - функциясын ku(x, t)|t=T −uT(x)kL2(Ω)≤
шарты орындалатындай етiп таңдау керек.
Бiз φ(t, u, n)≡0 болған жағдайды қарастырамыз.
Алдымен төмендегi есепке тоқталайық:
∂u(x,t)
∂t −∆u(x, t) +u(x, t) = 0, (x, t)∈ΩT
u(x, t)|t=0 =u0(x), x∈Ω,
∂u(x,t)
∂n |Γ=f(x, t).
(2)
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
Мұндағы, f(x, t) функциясы
f(0, x) =f(x, T) = 0, (3)
шарттары орындалатындай, ΩT - да үзiлiссiз дифференциалданатын функция.
v(x, t) функциясы арқылы
−∆v(x, t) +v= 0, (x, t)∈ΩT
∂u(x,t)
∂n |Γ=f(x, t). (4)
есебiнiң шешiмiн белгiлеймiз. Бұл есептiң шешiмi бар болады.
ω=u−v белгiлеуiн енгiземiз. Онда ω(x, t) функциясы үшiн
∂ω(x,t)
∂t −(∆−E)ω=−∂v(x,t)t , (x, t)∈ΩT
ω(x, t)|t=0 = 0, x∈Ω,
∂ω(x,t)
∂n |Γ = 0,
(5)
ω(x, t)|t=T =uT(x)−v(x, T),
есебi орын алады.
H деп L2(Ω) кеңiстiгiн, ал A деп анықталу облысы D(A) :=
n
u:u(x)∈W22(Ω), ∂u(x)n |∂Ω = 0 o
болатын (−∆ +E) операторын белгiлеймiз. Бұл оператор өз - өзiне түйiндес болып келедi. Сонда (5) есептi мына түрде жазуға болады:
ωt(t) +Aω=g(t),
ω|t=0= 0, (6)
ω|t=T =ωT. (7)
Мұндағы, g(t) функциясы мен ωT элементi ∂v(x,t)∂t мен uT(x)−v(x, T) функцияларына сәйкес келедi. g(t) - ны (7) теңдiгi орындалатындай етiп, таңдап алу қажет. Бұл есептiң жалпы шешiмi белгiлi ([2], теорема 7.1 - дi қара). Осы айтылған жұмыс нәтижесiнен келесi лемманы аламыз.
Лемма1. |AωT|<+∞ болсын және қандайда бiр h(t) вектор - функциясы Z T
0
|h(t)|2H <+∞,
шартын қанағаттандырсын. Онда, егер g(t) вектор - функциясы g(t) =A(E−e−T A)−1
ωT −
Z T
0
e−(T−τ)Ah(τ)dτ
+h(t),
түрiнде көрсетiлсе, бұл функция (6) есептiң шешiмi болады.
Ω аймағы ∂Ω екi рет үзiлiссiз дифференциалданатын шекарасымен берiлген дөңес аймақ болсын. Эллиптикалық шеттiк есептер теориясына сәйкес, егер φ(·)∈W23/2(∂Ω) болса, онда
−∆v(x) +v= 0,
v(x)
n |∂Ω =ψ(x), (8)
Нейман есебiнiң v(·) ∈ W22(Ω) шешiмi бар болады [3]. ψ(x) ∈ W23/2(∂Ω) функциясына (8) есебiнiң v(·)∈W22(Ω) шешiмiн сәйкестендiретiн операторды GN деп белгiлейiк. Бұл оператор сызықты және W23/2(∂Ω) кеңiстiгiн W22(Ω) кеңiстiгiнде бейнелейтiн үзiлiссiз оператор болады.
6
А. Хасаноғлы, Б. Т. Ақпаев, И.И. Шамралиев
Қойылған (3) шартынан мына теңдiктердi аламыз:
v(x,0) =GN(f(x,0)) =GN0 = 0, v(x, T) =GN(f(x, T)) =GN0 = 0,
Сондықтан, (5) - тен және лемма 1 - ден (5) есебiнiң шешiмi бар болады, егер Z T
0
Z
Ω
|p(x, t)|2dx
dt <+∞,
орындалатындай p(x, t) функциясы табылып,
∂
∂t(GNf)(x, t) = ∂
∂tv(x, t) (9)
=
−∆ +˜ E E−eT( ˜∆−E) −1
uT(x)− Z T
0
p(x, τ)dτ
+p(x, t), (10)
теңдiгi орындалса. Мұндағы, E - бiрлiк түрлендiру, ∆˜ операторы анықталу облысы D( ˜∆) :=
n
u:u(x)∈W22(Ω), ∂u(x)n |∂Ω= 0 o
болатын Лаплас операторы.
Немесе, (8) - дi ескерiп, GN
∂
∂tf(·, t)
=p(x, t) +
−∆ +˜ E E−eT( ˜∆−E) −1
uT(x)− Z T
0
p(x, τ)dτ
,
аламыз. Демек, төмендегi тұжырым орынды.
Тұжырым 1.Егер мына p(x, t)−
−∆ +˜ E E−eT( ˜∆−E)
−1Z T 0
p(x, τ)dτ =GN
∂
∂tf(·, t)
(11) +
−∆ +˜ E E−eT( ˜∆−E) −1
uT(x), (12)
теңдеуiнiң шешiмi бар болса, онда f(x, t) функциясы (2) есебiнiң шешiмi болады.
Авторлар ҚР ҰҒА академигi М. Өтелбаев пен түрiк математигi А. Хасаноғлыға есептi шығару кезiнде берген кеңестерi үшiн зор ризашылықтарын бiлдiредi.
ӘДЕБИЕТТЕР
1. Отелбаев М., Гасанов А., Акпаев Б. Об олной задаче управления точечным источником тепла. // Доклады Академии наук. 2010. Том 435. Номер 3. С. 1-3.
2. Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev, Bakytzhan Akpayev, An analysis of inverse source problems with boundary and final time measured output data for heat conduction equations. //
Inverse Problems in Sciences and Engineering, volume 19, 7 october, 2011, pp. 985 - 1006.
3. Ladyzhenskaya O.A., Boundary value problems in mathematical physics. // New York, Springer, 1985.
А. Хасаноғлы, Б. Т. Ақпаев, И.И. Шамралиев
Одна задача нагрева трехмерного тела лазерным лучом
В данной работе рассматривается трехмерная задача полученная при обработке поверхности материала лазером.
A. Hasanoglu, B. Akpayev, I.I. Shamraliev
A problem of three - dimensional laser surface heating
A mathematical model of three - dimensional laser surface heating for the hardening of materials is proposed.
Редакцияға 11.10.2011 қабылданды Басылымға 17.10.2011 жiберiлдi
7
