3t I

С.К.Тлеукенов ОБ УСЛОВИЯХ КОНТАКТА У П Р Я Ж СРЕД С ТОНКОЙ ПРОСЛОЙКОЙ

В работе предлагаются условия контакта упругих сред, при­

ближенно описывающие влияние тонких прослоек с линейными и нели­

нейными реологическими свойствами. Граничные условия строятся на основе предположения о квазистатическом нагружении тонких про­

слоек.

1. Условия квазистатического нагружения. При гармонической зависимости волновых процессов от времени; нагружение можно счи­

тать квазистатическим, если- X > > к ( X - длина волны; \/\/ - толщина прослойки). Кроме того, полагается, что к » \ а | , г д е ТС - вектор смещения.

В случае нестационарных процессов нагружение будет квазиста­

тическим, если за время прохождения возмущения через прослойку A t , компоненты тензора напряжения на границах прослойки суще­

ственно не отличаются, т.е. б ц (t + A t ) — б ц ( t ) . Разложим б^: (t + A t) по A t и,полагая A t — k/v0 ( V0- характерная ско­

рость распространения возмущения в прослойке), получим, что на^

гружение прослойки можно рассматривать как квазистатическое, если

Vo Щ\\ 3t I '•

2. Теловия контакта. Условия контакта относительно компонент тензора напряжения определяются из уравнений движения

Эбц

Ь\;

Выделив в (I) слагаемые *•* -и представив их в конечно-раз­

ностном виде oz.

(2) получив первую группу граничных условий

а

Как видно из (2), условия, накладываемые на компоненты на­

пряжения, не зависят от уравнения состояния прослойки. Реологиче- 163

ские свойства прослойки влияют и учитываются граничными условия­

ми относительно компонент вектора смещения. Рассмотрим уравнения состояния, разрешенные относительно компонент тензора деформаций, т.е. уравнения, в которых компоненты тензора деформаций представ­

лены в виде некоторых функций от компонент тензора напряжений.' Деформации предполагаются малыми. При выводе граничных условий, используется представление

flgj „ . u,fr(lQ-Uj(o)

9* - —i • '

⁽³⁾

а. Для анизотропных упругих прослоек 6^- = С^;к£, бк^ , выделяя в 6Z; члена Э ц : /Э.Н. и используя представление (3),

ТТП7ППГВГМ» '

получим:

< - ^ ^ М 6 й . к ^ ц ^ 1 ) .

б. В случае вязкоупругих прослоек, описываемых линейными зависимостями

t

"1 имеем

6

4 " i ^1.^^,5)64(6)^5'-,

(5)

u^= a^+k J K«

Kt

(t,б)б^(4)А*

в. Линейно-вязкоупругая прослойка с определяющей связью вида »

где Б и А суть полиномиальные операторы степеней соответст­

венно и- и w ( и, = w , либо tu-M/ =1) [ I ] , приводит к услови­

ям на контакте

164

г. Тонкая прослойка нелинейно-вязкоупругого тела с уравнени­

ем состояния [ i ]

^ - ^ „ i f ^ E

описывается условием

~9t~

=

lf

+ i t C

b ( J

6

z J ) 6

IZ

. (7);

С^Б, u - константы материала, определяемые экспериментально, д. Если прослойка обладает1 упруго-вязкопластическими свойст­

вами и описывается уравнением [ I ]

9eu_

^H

, Эб^е • /

^ф

\ 1 ч . / ф \ _ | °

Г < 0

Ф-ФСГ);Г^-1-,т:-^5

^н

5^ 5

^г

6

^{1 Г}

^ б

^р

.

б р = 6R K; jv » коэффициент вязкости, Т р - статический пре­

дел текучести, Н цк£ - тензор четвертого ранга с постоянными коэффициентами, то условия относительно компонент смещения имеют вид

о

^ - ^ ^ " ^ ^ ^ ^ ^ - I f e i ( W

В частности, для уравнения состояния Малверна - Пэжины [I] имееи

Зи2_9и2

⁺

к9бй

⁺

^/ф

^(б

^_

^б

^)\

⁽⁹⁾

Ы " 9t

⁺

Т 9t

⁺

^ \

^{V zz p ;}

/'

Индекс (I) у Т0 и б р означает, что при определении этих вели­

чин, используются значения компонент девиатора напряжений в упру­

гой среде I. К каждому из условий (4) - (9) необходимо добавить условия (2).

8. Условия нежесткого контакта впервые предложены в работе [2], В ней получены условия, описывающие однородные и изотропные прослойки и прослойки из вязкой жидкости. В работе [3] были рас-

165

смотрены граничные условия для некоторых типов вязкоупругих про­

слоек.' Условия вида (6), принятые относительно касательных компо­

нент вектора смещения, изучались в работе [4]. Общим для рассмот­

ренных в этих работах условий является их линейность, отсутствие в контактных условиях относительно компонент тензора напряжений инерционного члена и "одномерность". Предположение о квазистати­

ческом нагружении, по-видимому, позволяет более полно учесть влия­

ние прослоек на волновые процессы посредством граничных условий и создает возможность построения этих условий, когда прослойки опи­

сываются уравнениями состояния вида £ ~ | ( б _ ) . В этот класс, в частности, входят и рассмотренные выше некоторые модели нелиней- но~вязкоупругих и нелинейно-вязкоупругопластичавких сред.

Литература

1. К о л а р о в Д., Б а л т о в А . . Б о н ч е в а Н. Ме­

ханика пластических сред, М., 1979.

2. П о д ь я п о л ь с к и й Г.С. Отражение и преломление на границе двух сред в случае нежесткого контакта. - Известия АН СССР, сер.геофиз., 1963, А 4, с.525-831.

3. Т . ' л е у к е н о в С.К. О поглощении энергии и разрыве смеще­

ний на границах с нежестким контактом. - В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 13. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983, т.128, с.166-171.

4. М о л о т к о в Л.А., Х и л о А.Е. Эффективные модели слоистых упругих сред с линейными контактами общего вида. - В кн.: Математические вопросы теории распространения волн.16.

Зап.научн.семин. ЛОМИ, Т.156, с.148-157.

Tleukenov S.K. Conditions of a contact of elastic media with a thin layer.

The boundary condition contact of an elastic medium with a thin layer are the subject of consideration.

Tleukenov S.K. Disposition of the dispersion equation roots for a wave guide being periodical and inhomogeneous with the depth.

The dispersion of canal, surface and normal waves in periodi­

cal inhomogeneous waveguide is condisered.

166