УДК 666.982.4
КАБЫЛБЕКОВА У. М.
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ
При исследований нелинейных задач важное значение имеет средства анализа, позволяющие определить, характеризуется ли определенная система или под система тем, что на ее траекториях сохраняется энергия. Существует много физических примеров сохраняющихся величин: количества автомобилей в потоке, неосновных носителей заряда в полупроводниках, электромагнитной энергии в электромагнитном импульсе радиопередачи, степень гидратации цементных вяжущих и диффузионные явления в гетерогенных веществах. Системы или устройства с этими свойствами часто называют
«консервативными» или системами «без потерь» энергии и обычно состоят из таких элементов: как катушка индуктивности, конденсаторы, которые представляют электрические модели механических величин, аналогами которых являются соответственно массы и пружины, линии передачи, а также физико-химические процессы (степень гидратации) [1 ].
Следует заметить, что процессы происходящие выше указанных системах и устройствах существенно отличается, но дифференциальные уравнения одинаковы, а следовательно динамические свойства и переходные процессы, происходящие в них, одни и те же. Однако для заданного дифференциального уравнения в частных производных не всегда бывает легко определить, сохраняется ли энергия. В подобном случае следует убедиться в возможности получения этой системы из плотности лагранжиана ( представляющей собой функцию от зависимой переменной и некоторых ее производных [2c ]. Для того чтобы понять основную идею рассмотрим на примере структурообразования легкого бетона, где процесс набора прочности сопровождается различными видами диффузии создающие условия возникновения дислокации, которые в свою очередь является предшественником роста новой фазы [1,2].
Известно, что прочность легкого бетона определяется не столько прочностью цементного камня, сколько прочностью заполнителя. Кроме того, в процессе твердения пористые заполнители интенсивно влияют на процесс твердения цементного теста, поглощая и отдавая влагу, соответственно структурообразование легкого бетона происходит в несколько стадий [3,4]. На первой стадии гидратация цементной массы обусловлена диффузией ионов в водном растворе, которая через некоторое время образует плотный контакт с исходным веществом, c образованием совокупностей ячеек со стенками, состоящими из малорастворимых эттрингитов и заполнений, содержащих пересыщенные растворы различных солей [4]. На второй стадии происходит частичное разрушение ячеистой структуры: распад метастабильных гидратов и снижение концентраций ионов кальция в растворе. В дальнейшем, по мере уменьшения содержания свободной воды, рыхлые гидраты отдают воду клинкеру с образованием системы C-S-H.
Это приводит к открыванию пор заполнителей, при этом содержание ХСВ (химически связанная вода) из-за распада гидратов алюмината кальция уменьшается, а содержание свободной воды увеличивается за счет ее выхода из пор заполнителей. Освободившаяся вода проникает внутрь непрореагировавших частиц клинкера и вызывает сравнительно медленные химические реакции, которые сопровождаются растрескиванием зерен за счет набухания, отчасти контракции, Эти вторично образующиеся кристаллогидраты на определенной стадии разрушают первичную оболочку (дислокация), представляющий само диффузию собственных атомов, вытесненных в междоузлие из узлов. Обычно, ввиду
более слабой химической связи атомов примеси с решеткой, процесс диффузии примесных атомов протекает быстрее, чем само диффузия, представляющие медленные химические реакции, что обусловливает начало, ткан растворимых микрокристаллов. В данном случае, это гелеподобное вещества (водоалюмосиликаты) в перенасыщенном ионном растворе, которые чрез некоторое время превращается в кристалл, окаймляя частицы непрогидратированного до конца цемента. При этом из-за возможного появления взаимодействия между диффундирующими атомами уменьшается энергия активации диффузии [2], сопровождаемые появлением дефектов. Наличие дефектов решетки (примесные атомы, вакансии, дислокации, границы зерен и т.д.) способствует ускорению диффузии, так как вблизи них появляются искажения кристаллической решетки, что уменьшает закрепления в ней атомов. Однако часто внедрение инородных атомов приводит к образованию новой фазы (нового химического соединения) что, наоборот, замедляет процесс диффузии, так как диффундирующие атомы могут объединяться с внедренными атомами и принимать участие в дальнейшем росте новой фазы. Их движение будет все более осложняться по мере увеличения толщины этой фазы. Эти обстоятельства говорят о том, что структурообразование бетона можно представить, как система с реакцией и диффузией.
Процесс гидратации и связанный вместе с ним механизм диффузии носит схематический характер. Реально цементные вяжущие и заполнители в структуре легкого бетона содержит не два компонента образующие быстрые и медленные гидраты, а много компонентов с различной активностью энергии связи. Поэтому представляется правдоподобным, что формирование структуры бетона имеет не один экстремум, а носит колебательный характер и представляет затухающий ритмический процесс типа автоколебательных химических реакций [ ]. Источником колебаний является свободная энергия экзотермической реакции с аналогичными по динамике и физике протекания процессами описанными в частности, в книге И. Пригожина [ 6 ].
Откуда следует, что интерпретация колебаний как образования и разрушения структур приводит к выводам хорошо согласующимися с уравнением движения дислокации (1).
(1)
где значения представлены в нормализованных единицах. Уравнение может рассматриваться как нелинейное обобщение линейного волнового уравнения (
).
в том же смысле, как уравнение
(2)
является нелинейным обобщением уравнения линейной диффузии вида ( ), которое идентично уравнению криволинейных поверхностей [1].
Уравнение (2), как и уравнение (1) имеет множества различных приложений, включая распространения дефектов в кристалле, гидратация цементных вяжущих, распространения электромагнитных волн (линии передачи) и то же самое электрической цепи состоящей из активного сопротивления R, емкости C и индуктивности L. Как было отмечено выше, внешнее сходство процессов происходящих в них, позволило в ряде случаев использовать общие идеи для построения модели явления [ 4 ].
В первом приближении, рассмотрим модели Маркина-Чизмаджева (МЧ-модель [ ] для распространения нервного импульса,
(3)
Здесь (ионный ток) задается заранее в виде функции пространственной переменной и времени и можно представлять моделью нейрона «накопление и сброса», согласно
которой вся клетка аппроксимируется как единый переключатель соединенный параллельно с конденсатором [ 1 ].
Чтобы понять реальную ситуацию, рассмотрим дифференциальную электрическую цепь, состоящей из активного (R), индуктивного (L) и емкостного (С), к которой можно применить закон Кирхгофа для напряжения и силы тока, В результате получаем следующую систему:
(4)
Первое из этих уравнений является дифференциальной формой закона Ома, а второе
представляет собой ток смещения в диэлектрике. Этот ток смещения, а также ионный ток , способствуют уменьшению реактивных составляющих тока - J , P
характеризующая реактивно-емкостную проводимость. Следует заметить, что ток смещения в диэлектрике и ионный ток , связаны между собой законами сохранения для магнитного потока и электрического заряда, примером которой является модель линии передачи, где индуктивность проводника подобно сопротивлению и емкости соединительной линии также, распределена по всей его длине [8].
Распределенная RLC- модель провода, именуемая моделью линии передачи, наиболее точно аппроксимирует реальную ситуацию. Основное свойство линии передачи заключается в том, что сигнал распространяется по связующей среде как волна.
В распределенной RC- модели сигнал диффундировал от источника до цели, при этом его поведение будет описываться уравнением диффузии для :
(5)
где, – ионный ток (диффузией ионов в водном растворе).
Если предположить, что проводимость утечки равна 0, что справедливо для большинства диэлектриков) и убрать ток получим волновое уравнение
(6)
где соответственно сопротивление, емкость и индуктивность на единицу длины.
Подобно сопротивлению и емкости соединительной линии, индуктивность проводника также распределена по всей его длине (сеть проводников в полуизолирующей среде).
Таким образом, в волновой модели сигнал распространяется (по связующей среде) посредством попеременной передачи энергии между электрическим и магнитным полем, или между емкостным и индуктивным режимами.
В данном случае, эта попеременная передача энергии (влаги) между пористыми заполнителями и цементным тестом, сопровождаемые диффузионными явлениями, создающие условия возникновения дислокации, которые в свою очередь является предшественником роста новой фазы [1].
Установлено, что при твердении бетона уменьшение влажности бетона определяется соотношением химически связанной (ХСВ) и свободной воды (ССВ) характеризуемые примесной диффузией и самодиффузией, в зависимости от этапа структурообразования (явления поглощения воды заполнителем и последующего « высвобождения» ее может повторяться несколько раз, особенно при повышенных содержаниях фаз, образующих гидраты малой устойчивости).
Результирующее влияние на содержание ХСВ очевидно и может быть выражено уравнением [4]
(7)
где - Установившееся содержание химически связанной воды (ХСВ), при котором процесс гидратации прекращается;
– содержание ХСВ в текущий момент времени.
f (w)–функция, характеризующая зависимость скорости гидратации от отклонений концентрации, условий равновесия.
-коэффициент ускорения или замедления реакции в зависимости от этапа структурообразования (в первом приближении определяется значением реакционной поверхности в данный момент структурообразования). При >0 содержание ХСВ согласно уравнению (7) увеличивается; при <0 уменьшается, при =0 процесс гидратации прекращается. Поэтому явление возникновения и распада структур можно описать, задав единственной кривой (Рис.1).
Рисунок 1. Изменения коэффициента структурообразования
Кривую удобно представить математически как решение дифференциального уравнения. Положив, что является суммой затухающих колебаний – «2» и медленно меняющихся средних значений «1», запишем уравнение в форме
(8)
Параметры уравнения определяются по экспериментальным данным: в частности, (т - длительность первого выброса), - логарифмический декремент затухания.
Это дает основание, что структурообразование бетона на легких заполнителях можно представить как демпфированное волновое уравнение [ 1 ]
(9)
При это уравнение сводится к линейному волновому уравнению (6), ( ), соответствующей установившееся значение химически связанной воды (=0 ), при
приближается к линейному уравнению диффузии (6), ( ),соответствующей увеличению содержания ХСВ согласно уравнению (7);
Заметим, что левая часть уравнения (9) может быть получена из плотности Лагранжа, соответствующей плотности энергии и полной энергии Дифференцируя этот интеграл энергии по времени, интегрируя первый член по частям (в предположении, что амплитуда волн стремятся нулю при
демпфированное волновое уравнение, мы получаем
=
=
= (10)
Отсюда видно, что при величина Е уменьшается с течением времени, что характеризует уменьшения влажности и может служить обоснованием выбора в качестве параметра затухания (демпфирования) как и в уравнении (8) для коэффициента ускорения и замедления реакции. Таким образом, коэффициент в уравнении (10) хорошо согласуетсяся с коэффициентом затухания в уравнений (8). Перенеся члены, которые были получены из плотности Лагранжиана (консервативные члены), в левую часть уравнения, а все остальные члены (диссипативные члены) – в правую часть мы можем провести анализ дифференциального уравнения в частных производных типа (9).
Отсюда следует заключить, что структурообразование бетонных изделий относиться системе с сохранением энергии, а сохраняющейся величиной является степень гидратации которая может продолжаться годами, так как система реакция/ диффузия всегда имеет место даже в процессе эксплуатации, в зависимости от условии окружающей среды.
Литература
1. Горчаков Т.И., Ю.М. Баженов. Строительные материалы, –М.: – 1986.300с
2. Белов В.М., Михайлов Н.В., Распределение влаги в бетоне по видам ее связи с твердой фазой. Физико-химическая механика дисперсных структур, - Москва: Наука,1986.12-87с.
3. Кабылбекова У.М. Исследование процесса гидратации бетона на пористых заполнителях.
Сборник КазХТИ. Т.З.-Чимкент1993.12с.
4. Скотт Э. Нелинейная наука рождение и развитие когерентных структур. Скотт Э.- Москва.;
Физматлит 2007.400с.
5. Верещагин И.К. Физика твердого тела. / И.К. Верещагин, С.М. Кокин. Учебное пособие для ВТУЗов. – М.: – 2001.220с
6. Пригожин И.Г., Никелис. Самоорганизация в неравномерных системах.-Мир,1979.372с.
7. Петров К.С. Радиоматериалы, радиокомпоненты и электроника.- Питер.:2004.500с
8. Жан М. Рабаи., Ананта Чандракасан. Цифровые интегральные схемы. – Москва, Санкт- Петербург, Киев.:-2007.900с
