N E W S
OF TH E N A T IO N A L A C A D E M Y OF SCIEN C ES OF TH E R EPU B LIC OF K A Z A K H ST A N S E R IE S O F A G R IC U L T U R A L S C IE N C E S
ISSN 2224-526Х
V olum e 3, N um ber 33 (2016), 93 - 97
FICTITIOUS DOMAIN METHOD
FOR THE LINEAR STATIONARY MODEL OF OCEAN
L. M . T u k e n o v a , A. S k a k o v a
T. Ryskulov New economic university, Almaty, Kazakhstan
Keywords: fictitious domain method, the linear problem, alternative forms and methods of teaching, cuboid, the integral identity, Young and Schwartz inequality, Galerkin method , the Holder inequality.
A bstract. The article deals with topical issues of the solution of linear problems of the method of fictitious domains for problems of mathematical physics, using Young and Schwarz inequality and the existence of a solution is proved by Galerkin method uniqueness.
МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО СТАЦИОНАРНОГО МОДЕЛИ ОКЕАНА
Л . М . Т у к е н о в а , А. Ж . С к а к о в а
Новый экономический университет им. Т. Рыскулова, Алматы, Казахстан
К лю чевы е слова: метод фиктивных областей, линейная задача, альтернативные формы и методы обу
чения, прямоугольный параллелепипед, интегральное тождество, неравенство Юнга и Шварца, метод Галеркина, неравенства Гельдера.
А ннотация. В статье рассматриваются актуальные вопросы решение линейных задач методом фиктив
ных областей для задачи математической физики, применяя неравенство Юнга и Шварца Существования решения доказывается методом Галеркина единственность.
Л инейная задача, описы ваю щ ая течение в океане, сводится к реш ению в области f i = (0, H ) х fij, Qj ^ R2 в следую щ их уравнениях
д 2 vj , д %
H z — 1 + M v1 - ^ = f ^ (1)
д x 3 d x 1
д2 v2 А д £
^ 0 ~ т ^ т + V ^ v 2- ^— = f 2 , (2)
dx3 dx2
H .dv, dv2 дЕ
I (д т +д:_)^3 =
0д т =
0 (3)* дx1 cx2 дx3
= 0, п р и x 3 = 0 и x 3 = H , (4)
с граничны м и условиям и
д у п д у 2 д x 3 д x 3
vx = v 2 = 0, н а y = (0, H ) x y v (5)
Задачи (1)-(5) будем решать методом фиктивных областей. Дополним исходную область Q до некоторый D , в качестве которой можно взять, например, прямоугольный параллелепипед.
Введем обозначения:
D = (0 ,H ) x Q 2, Q 0 = Q 2 \ f ij , Q = (0 ,H ) x Q j, D 0 = (0 ,H ) x f i 0, D 0 o>Q = D.
Боковые границы D и Q не пересекаются. В области D рассмотрим вспомогательную задачу
М0
dx3
d 2v | е д % 1 2 + M v f - ь
dx1 н /
d x 3 dx 2
d v d v Vd x 1
+ - 2 dx
d x 3 = 0, 2
Q.
d 2 v1 1 A i d ^ 1 M0 “d ^ --- M v1 - ^ ~ - 0
d x 3 s dx.
1
s
M A v d g *
d x 2
d v 1 + d v 2 Л 0 dx1 dx2
d x3 = 0 , D0
с граничными условиями dv" dv"
d x 3 d x 3
п р и x 3 = H и x 3 = 0,
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
vs = v2 = 0, на боковой границе У2 = [0, H ] x у 0 области D .
На границе у исходной области предполагаем выполненными следующие условия согла
сования
М d v " . . d v f . .
— — - c o s ( n x 1) Н---— c o s ( n x 2 )
s d x 1 d x 2
M d ' ^ c o s ( n x 1) + d v ^ c o s ( n x 2 )
d x 1 d x 2
d v " d v "
M — 2 c o s (/n x 1) Н---2 c o s ( n x 2 )
" d x 1 d x 2
d v " d v "
M — 2 c o s (/^ x 1) Н---2 c o s ( n x 2 )
d x 1 d x 2
c o s (/n x 1)
- ^ c o s (/n x 1)
- ^ c o s ( n x 2 )
- ^ c o s ( n x 2 ) Н , v - = v
у у
(11)
где n - нормаль к боковой границе области Q , знаки «+», «-» означают, что предельные значения функции на границе у берутся соответственно изнутри и извне.
Введем множества
C 2 = | v = (v j, v 2) е C2(D ) , v у = 0, -d ^ = 0 п р и x 3 = H и x 3 = 0, Jd i v v d x 3 = 0>.
I d x 3 i I
в
в
у
у
у
уН
V 2(D ), V2(D ), V2( D ) - зам ы кание C2 в норме пространств L 2( D ) и W2 (D ), W22 (D ) соответствен но.
О пределение 1. О бобщ енны м реш ением задач (6)-(11) назы вается вектор функции 0 1
V = (Vi , V2 ) £ V 2 ( D ) , удовлетворяющий следующему тождеству
H
J dx 3 J(
Моd v s д фд х 3 д х 3 +
H
/lN v"V (p )d x 1d x 2+ J d x 3 J ( N + dx3 dx3 "
— V v"V (p )d x 1d x 2 = J f ( p d x, (12)
где У ф е V 1(D ), f = f f 2) .
Л е м м а 1. П усть f е V2 ( D ) . Т огд а сущ ествует единственное обобщ енное реш ение задач (1.6)-(1.12), и для него им еет место оценка
д v s
1
+
—V
v "д х 3 L 2 ( D ) " L 2 ( Do) < C l f l 20 -1 (13) V 2 (D))
Д о к а з а т е л ь с т в о . В ы водим оценку (13). Д ля этого ум нож им уравнения (6)-(9) н а v " скалярно в L 2 ( D ) , используя граничны е условия и условия согласования, прим еняя неравенство Ю нга и Ш варца, вы ведем (13). С ущ ествование реш ения доказы вается м етодом Г алеркина, единственность следует из (13).
О п р ед ел ен и е 2. С ильны м реш ением задач (6)-(11) назы ваю тся функции
" 0 l 2 " 2
v " е V 2( D ) О W2 (D o ) , V s е W ( —) , удовлетворяю щ ие (6)-( 11) почти всю ду в соответ
ствую щ ей мере.
Т е о р е м а 1. П усть у и у 2 дваж ды непреры вно диф ф еренцируем ы и f е L 2( D ) . Т огда су щ ествует сильное реш ение задач (6)-(11) и д ля реш ения справедлива оценка
д 2 v "
д х 32
+ v e
L 2( D )
1
2 +—
L2(0,H ;W,2(Q1)) " 2 + И ..._ . + и ... - < C | . / | | l2( D ) . ( 1 4 )
llL2(0,H ;W22(Qo)) w2 (Q 1 ) w2 ( Qo)
Д о к а з а т е л ь с т в о . В ведем обозначения
11 11 11
~ s =
J
v " d x 3 = ( ~ s , ~ s ) = (J
v 1d x 3,J
v 2d x 3) . И нтегрируем (6)-(9) по x 3 е (0, H ) , получим уравнениеA~s д~~" = / n A / - —— = f 1,
dXj
д с " ~ ~ M / " - ^ = ./2, Г =
d x 2
(15)
д / " д/.
+ ■
дх1 дх2 = 0,
i i
f = J
f d x 3 Q 1,2
2
"
в
л ~ е - 3 x 1 д Т
дx2
= 0,
= 0, д~1е д к 1 д x 2
+ д~2е л 2 = 0,
(16)
на у вы полняю тся условия согласования
— У1 д ~ е
= v
д п - E S S - м етрический тензор.
У0
= — Dv£
е д п
=
0
.■ - E S
Д ля реш ения задач (15)-(18) сп раведлива следую щ ая оценка [2]
ll~
^22(fi1) +^ ~ И
W22(fi0)+i
Теперь снова, обращ ая (15), (18), вы водим оценку
+ W22(fi0) < С f
(17)
(18)
(19)
^ 2 , ,s
д v 1 s
+ — v дx 33 L2) D) s
+ v e < C < ю .
L2(0, H ;W22 (fi0)) L2(0, H ;W22(fij) (20) Н еравенство (19), (15) гарантирует оценку (16). Т еорем а доказана.
З а м е ч а н и е 11. О ценка (13) позволяет перейти к пределу при е ^ 0 в интегральном тож дестве (12). И з (13) следует, что из последовательности |v e | м ож но вы делить подпосле-
0 1
довательности слабосходящ ихся в V 2 ( D ) . О бозначим ее предел v . П ереходя к пределу в (1.13) получим, что v является обобщ енны м реш ением задач (1.)-(5). И з оценки (14) следует, что сильное реш ение задач (6)-(11) сходится к сильном у реш ению задач (1)-(5) при е ^ 0 . П усть
vE1, v El - реш ение задач (6)-(11) соответствую щ им парам етрам е 1, е 2 им еет место следую щ ая Т ео р е м а 2. П усть вы полнены условия теорем ы 1. Т огда д ля реш ения задач (6)-(11) справед
л и в а оценка
2
v ff1 - v £2 1 < С 1( е 1 + е 2),
w2(q 141
где C i - не зависит от е 1, е 2 . В ведем обозначения v S1 - v Sl = о . В силу (6)-(11) ф ункция о удовлетворяет соотнош ения
д о д ф
H
—0 j d x 3 j
0 fi2 дx3 д*3
H
d x 1d x 2 + — j d x 33 j V o V(pdx1d x 0 Q,
H
+
+
H H
— j d x 3 j V v S1 V<pdx1d x 2 - — j d x 3 j V v SlV(pdx1d x 10
= 0.
20 П олож им cp = о
s в
£
£
2
0 0
M 0 J d a d x 3
2
d x 3 + M V a
2 h 1 1
+ m Jd x 3 J Va (— V v " 1 --- Vv S 2 ) d x 1d x 2 ) = 0
3 *41 llL2(0,H;L2(Q1)) 3 Q ! " . ^ 1 2
L2 (Q 2) 0 Q 0 1 2
Оценим третье слагаем ое с пом ощ ью н еравенства Г ельдера и с учетом оценки (14) имеем
н 1 1 1 н H
Jd x 3 J ( — V v " 1 --- V v " 2 ) Va d x 2 d x 1 < — J V v " 1 0 Q 0 C1
H H
J | | V a d x 3 < C
0 L2(Qa)
Т еорем а 2 доказана.
J V v ‘
V 0 12(Q 0) +
1 0 2
1 n w
d x 3 + — J V v £ L2(Q 0) " 2 0
d x3 L2(Q 0) У
\ 1/2 V v " 2 d x 3
12 (Q 0) < Ф 1 + " 2 ) .
ЛИТЕРАТУРА
2
2
[1] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1970. - 288 с.
[2] Антонцев С.А., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск: СО РАН Наука, 1983. - 305 с.
[3] Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей для задачи математической физики. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 156 с.
[4] Бугров А.Н., Смагулов Ш. Метод фиктивных областей для краевой задачи уравнений Навье-Стокса //
Математические модели жидкости. СО АН СССР ИТПМ. - Новосибирск, 1978. - С. 79-89.
[5] Смагулов Ш. Метод фиктивных областей для краевой задачи уравнений Навье-Стокса: Препринт. - Новоси
бирск: ВЦ СО АН СССР № 68. - 20 с.
REFERENCES
[1] Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible fluid. Moscow: Nauka, 1970. 288 p.
[2] Antontsev S.A., Kazhikhov A.V., Monakhov V.N. Boundary value problems in the mechanics of inhomogeneous liquids. Novosibirsk. Russian Academy of Sciences: Science, 1983. 305 p.
[3] Vabishchevich P.N. The method of fictitious domains for problems of mathematical physics. Moscow: Vol. Moscow State University, 1991. 156 p.
[4] Bugrov A.N., Smagulov Sh. fictitious domain method for the boundary value problem of the Navier-Stokes equations //
Mathematical models of fluid. ITAM SB RAS. Novosibirsk, 1978. P. 79-89.
[5] Smagulov Sh. fictitious domain method for the boundary value problem of the Navier-Stokes equations, Preprint.
Novosibirsk: Computing Center of the USSR Academy of Sciences N 68. 20 p.
СЫ ЗЬЩ ТЬЩ СТАЦИО НАРЛЫ М ОДЕЛ1НЩ М ¥ Х И Т ^ А АРНАЛГАН Ж АЛГАН ДОМ ЕН ЭД1С1
Л. М. Тукенова, А. Ж. С какова
Т. Рыскулов атындагы Жана экономикалык университету Алматы, ^азадстан
Тушн сездер: жалган домен эдга, сызыктык есеп, окытудын альтернатива тYрлерi мен эдютеру тжбурышты параллелепипед, интегралды тендеу, Юнг жэне Шварц т е н и з д т , Галеркин эдюу Гельдер тен- а з д т .
А ннотация. Макалада жалган домен эдга бойынша математикалык физиканын тендеулерш шешуде Юнг жэне Шварц т е н а з д т н колдана отырып шешудщ езекп мэселелерi карастырылган.
Поступила 25.04.2016г.
