PDF journal.neark.kz

https://doi.org/10.47533/2020.1606-146X.155

а. К. ЕрдЕнова^1,2, Қ. Әлімхан², н. тасБолатұлы^1,3*, с. с. алишЕва²

1астана халықаралық университеті, нұр-Сұлтан, Қазақстан

2Л.н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті, нұр-Сұлтан, Қазақстан

3Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, алматы, Қазақстан КЕШІГУІ БАР ЖОҒАРЫ РЕТТІ СЫзЫқТЫ ЕМЕС ЖҮЙЕЛЕРДІ

ҮзДІКСІз ГЛОБАЛДЫ БАқЫЛАУ

Бұл мақалада уақыт бойынша кешігуі бар жоғары ретті сызықты емес жүйелер класын күй кері байланыс арқылы кең ауқымды ізге түсіру мәселесі қарастырылады. Бұндағы зерттелетін жүйенің ерекшелігі сызықты еместіктің жоғары шекарасындағы шектеулілік дәрежесі үзіліссіз интервал аралығында алынуы мүмкін. Таңба (сигнум) функциясын енгізу арқылы және қуат инте- граторын қосудың жалпылама әдісін қосып, сәйкес Ляпунов функциясын таңдау арқылы уақыт бойынша кешігетін сызықты еместікте үстемдік ететіндей реттелетін және уақыт кешігуіне тәуелсіз ізге түсіру контроллерін құрамыз. Әзірленген контроллер нәтижесінде алынатын тұйық циклдік жүйенің барлық күйлері кең ауқымды шектелген және шекті уақыттан кейін ізге түсіру қателігі жеткілікті мөлшерде аз болуын қамтамасыз етеді. Ұсынылған жобалаудың тиімділігі мен дұрыстығын көрсету үшін сандық мысал келтірілген.

түйін сөздер: шығысты практикалық бақылау, күй кері байланысы, Ляпунов функциясы Кіріспе. Қазіргі кезде практикалық ізге түсіру мәселесіне көп көңіл бөлінуде, себебі оны асимптотикалық ізге түсірумен салыстырғанда практикалық қолданысы кеңірек және жүйелерге қойылатын талаптар біршама жеңіл болып табылады. Мы- салы, [1-4] еңбектерде анықталмаған сызықты емес жүйелерді шығыс кері бай- ланыс арқылы практикалық ізге түсіруді қарастырылған, ал [5,6] жұмыстарда анықталмаған жоғары ретті сызықты емес жүйелерді күй кері байланыс арқылы практикалық ізге түсіру мәселесін зерттеді. Алайда қолданыстағы жұмыстардың көпшілігінде уақытша бақылау көрсеткіштері ескерілмеген. Жалпы айтқанда уақытша өнімділігі бар практикалық ізге түсірудің із жүзіндегі қолданыстары бой- ынша көбірек қызығушылық тудырады, алайда басқарудың күрделілігіне байланы- сты ондай мәселерді шешу үлкен қиындық туғызады. Уақыт бойынша кешігудің бо- луы жүйенің жұмысына айтарлықтай әсер ететіндігі белгілі, ал бұл басқару жүйесі жұмысының нашарлауына және орнықсыздануына әкеледі. Сондықтан кешігуі бар жүйелердің практикалық маңызы зор және соңғы жылдары оған көп көңіл бөлінуде.

Жалпы айтқанда кешігуі бар жүйелер үшін басқаруды жобалау әдісін екі категорияға бөлуге болады: кешігуге тәуелді және кешігуге тәуелсіз. Кешігуі бар жүйелерге негізделген шолуларға қарасақ әлі күнге дейін шешімін таппаған көптеген зерттеу сұрақтары туындайды.

Төмендегі түрдегі жоғары ретті сызықты емес жүйелер классын шығыс кері байланыс арқылы кең ауқымды практикалық ізге түсіру мәселесін қарастырамыз:

* E-mail корреспондирующего автора: tasbolatuly@gmail.com

z t z t z t z t z t

i n

i i

p

i n n

i

.

( ) ( ) ( ), ( ),..., ( )

,...,

= +

(

− −

)

= −

+1 1 1

1 1

φ τ τ

,,

( ) ( ) ( ), ( ),..., ( )

.

z t u t z t z t z t

y z

n

p

n n n

= n +

(

− −

)

=









 φ ₁ τ₁ τ

 1

(1)

мұндағы z t( )=[ ( ),...,z t₁ z t_n( )]^T ∈Rⁿ жүйенің күйі (немесе шешімі), z_n+1( ) : ( )t = u t ∈R кіріс контроллері, τ_i∈R⁺, i=1,...,n күйдің уақыт бойынша кешігуі және ол келесі шартты қанағаттандырады: τ≥max{ ,...,τ₁ τ_n}, жүйе z( )θ =ξ θ₀( ), ∀ ∈ −θ [ τ, ]0 бастапқы шартын қанағаттандырады, мұндағы ξ θ₀( ) - берілген үзіліссіз функция, φ_i:Rⁿ×Rⁿ→R i, =1,n - белгісіз үзіліссіз функция, p R p

q p

i∈ odd = ≥







≥1 : q , i=1,...,n - жүйенің жоғары дәрежесі, мұндағы р және q тақ бүтін сандар. p_i = 1 болған жағдайда (1) жүйе үшбұрышты формадағы уақыт бойынша кешігуі бар сызықты емес жүйеге келеді, оларды басқару конструкциясы кері қадам әдістемесі негізінде алынған біршама зерттеулер бар ([4], [7,8] және т.б.). p_i > 1 болғанда (1) жүйенің Якобиандық сызықтандырылуы координата басында басқарылмайтындығын байқауға болады, ал ол өз кезегінде кері байланыс негізінде сызықтандырылады.

Бұл жұмыстың негізгі нәтижелері келесідей: біріншіден берілген (1) жүйенің сызықты еместік өсу шарты әлсіретіліп, басқару конструкциясына сигнум функция- сын еңгізу арқылы бірнеше маңызды леммалар мен тұжырымдар алынады; екіншіден, қуат интеграторын қосу тәсілінің негізінде ізге түсіру контроллерінің схемасы жасалы- нады. Алынған контроллер нәтижесінде пайда болған тұйық жүйенің барлық күйлері шектелген және шекті уақыттан кейін ізге түсіру қателігі өздігінен аз болатындығын көрсетеміз.

Математикалық алғышарттар. Алдымен осы мақалада қолданылатын негізгі белгілеуерді берейік.

Белгілеулер: R⁺ - барлық теріс емес нақты сандар жиыны, Z t( )∈Rⁿ векторы үшін Z t_i( )=[ ( ),..., ( )]z t₁ z t_i ^T ∈Rⁱ, i=1,n−1, Z t_n( )=z t( )=[ ( ),...,z t₁ z t_n( )]^T ∈Rⁿ. z t( ) дегеніміз z(t) векторының Евклид нормасы, ол былай анықталады: z t z t_i

i n

( ) = ( )

∑

= ² 1

және z t( )_! = z t( + ) ,∀ ≥t

− ≤ ≤τ θ

θ

0

sup 0 үшін. h(0) = 0 шартын қанағаттандыратын үзіліссіз h R: ⁺ →R⁺ функциясы Κ^∞ функция деп аталады, егер ол қатаң өспелі болса және

s

h s

→+∞

lim ( )= +∞ болса. sign z таңба функциясы былай анықталады:

sign z z

z z

=

>

=

− <







1 0

0 0

1 0

, ,

,

Кез келген α ∈R⁺ және z ∈ R үшін [ ]z ^α функциясы sign z z( ) ^α түрінде анықталады.

φ:Rⁿ→R функциясы C^k функциясы деп аталады, егер оның дербес туындыла- ры бар және k (1≤ < ∞k ) ретке дейін үзіліссіз болатын болса. C⁰ - функцияның үзіліссіздігін, C^∞ - функцияның тегістігін, яғни оның кез келген ретті дербес ту- ындылары бар болатындығын білдіреді. Сонымен қатар, функциялардың (немесе функционалдардың) аргументтері қолайлылық үшін алынып тасталады, мысалы, φ( ( ))x t деген функция болса, оны φ( ), ( ),x φ φ⋅ деп жазылуы мүмкін.

Алдымен шығысты практикалық ізге түсірудің анықтамасын берейік.

Айталық, (1) жүйенің y_r(t) тірек сигналы [0, ∞] аралығында уақыт айнымалысы бойынша C¹ - шектеулі болсын, онда күй контроллері арқылы шығысты кең ауқымды практикалық ізге түсіруді былай тұжырымдаймыз:

Кез келген e > 0 оң нақты саны үшін

u=u z y t( , _r( )) (2) үзіліссіз контроллері құрылады және ол төмендегі шарттарды қанағаттандырады:

1) (1)-(2) тұйық жүйенің барлық күйлері [0, +∞] аралығында анықталған және кең ауқымды шектеулі болады;

2) Кез келген z( )0 ∈Rⁿ үшін T > 0 ақырлы уақыты табылып, (1)-(2) тұйық жүйенің y(t) шығысы

y t( )−y t_r( ) = z t₁( )−y t_r( ) <ε, ∀ ≥ >t T 0 (3) шартын қанағаттандыратын болса, онда тұйық-циклдық жүйенің шығысы кең ауқымды практикалық ізге түсіріледі.

Шығысты кең ауқымды практикалық ізге түсіру мәселесін шешу үшін келесі бол- жамды жасайық.

Болжам 1. Әрбір i=1,...,n үшін C C₁, ₂≥0 және w ≥ 0 белгілі тұрақтылары табы- лып, келесі шарт орындалады:

φ_i τ _n τ_{n j} ^rrω τ

j i

j j

z t z t z t C z t z t

i

( ( ), (_{1 1}),..., ( )) ₁ ( ) j ( )

1

− − ≤ ⁺ + −

∑

=

jj i

r r

i

j C

=

+



∑









 +

1

2 ω

(4)

мұндағы r₁ келесі түрде анықталады:

r r r

p i n

i i

i 1

1 1

1 2 3 1

= = ⁻ + = +

−

, ω, , ,...,

(5)

r r

i j

+ ω - саны белгілі бір нүктеде емес, қайсыбір интервалда мән қабылдайды.

Болжам 2. y_r(t) тірек сигналы үзіліссіз дифференциалданатын болса және соны- мен қатар, D > оң белгісіз тұрақтысы табылып келесі теңсіздік орындалады:

y t_r( )+ y t^⋅_r( ) ≤D, ∀ ∈ +∞t [ ,0 )

Енді ізделінді контроллерді құру үшін қажетті бірнеше лемманы қарастырайық.

Лемма 1.[9] x∈R y, ∈R p, ≥1 тұрақтылары үшін келесі теңсіздік орындалады:

x y^{p p} x^p y^p x y ^p x^p y ^p x y

p

p p

+ ≤^{2 −1} + ^,

(

+

)

^{1 ≤ 1 + 1 ≤2 −1}

(

⁺

)

^{1 .}

Егер p∈R_odd^≥1 болса, онда x−y ^p≤2^p−1 x^p−y^p , x ^p y ^p x y

p

p p

1 1 1 1

− ≤2 −

−

. Егер 0< ≤p 1 болса, онда

(

x + y

)

^p≤ x ^p+ y ^p. Мұндағы p a

b a b

= ≤1, >0, >0 тақ бүтін сандар болса, онда x^p+y^p ≤2^1−p x+y^p болады.

Лемма 2. Айталық, c, d оң тұрақтылар болсын. Онда кез келген γ( , )x y >0 нақты айнымалы функциясы үшін келесі теңсіздік орындалады:

x y c

c d x y x d

c d x y y

c d c d c d c d

≤ + +

+

+ − +

γ( , ) γ ( , )

Лемма 3. Берілген m, n оң нақты сандары және a(x, y) оң анықталған функция . үщін төмендегі теңсіздікті қанағаттандыратын c(x, y) оң тұрақтысы табылады:

a x y x y c x y x n m n

m

m n c x y a x y y

m n m n

m

n m n

n m

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

≤ +

+ +









+ + ++n

. Лемма 4.[10] Айталық, a

b∈R_odd^≥1 , b≥1 болғанда келесі теңсіздік орындалады:

x y sign x x sign y y

p q

p

q q p p q

− ≤2⁻ −

1 1 1

( ) ( ) , (6) Лемма 5. [10]. f x( )=sign x x( ) ^p, p≥1 функциясы (−∞ +∞; ) аралығында үздіксіз дифференциалданады және оның туындысы төмендегі теңдікті қанағаттандырады:

⋅ −

f

^{( )x} = ^{p xp 1} .

Лемма 6. Егер f:[ , ]a b →R a( ≤b) монотонды шектеулі және f a( )=0 шартын қанағаттандыратын болса, онда f x dx f b b a

a b

( ) ( )

∫

^{≤ − .}

Ізге түсіру контроллерін жобалау.

Қойылған мақсатқа жету үшін алдымен келесідей координат түрлендіруін еңгізейік:

x t z t Z t k n

Z t sign

k k r

k k r

k k

k k

( ) ( ) ( ( )) , ,

( ( )) ( (

=

[ ]

⁻

[ ]

⁼

= −

− −

σ σ

α α

1 1 1

xx t g x t k n

u t t

y x y

k p

k r

k r

n r

k

k k

( ))) ( ) , , ,

( ) ( )

1

1

1 1

1

+ +

=

=

= +









σ σ

 α



(7)

мұндағы s - σ≥ +ω

≤ ≤ 1 i n

ri

max{ } шартын қанағаттандыратын оң тұрақты,

α_k:R^k →R k, =1,n , g_k >1 -оң тұрақтысы бар виртуалды контроллер деп аталады.

Бірізділік үшін p₀ =g₀=1,α₀( )t =0 деп есептейміз.

[9] еңбектегі түрлендіруді қолдансақ және айталық, s - жұп оң анықталған тұрақты сан болса, онда x t₁( )=z₁^r1 ≥0

σ

қарама-қайшылыққа келеміз, сондықтан sign таңба функциясын (7) координат түрлендіруіне еңгізу арқылы x t₁( ),...,x t_n( ) барлық мүмкін мәндерін табуға болады. p_k ∈R_odd^≥1 тақ бүтін сан және α_k(Z t_k( )) өрнегінен sign

(

α_k(Z t_k( ))

)

^{= −}sign x t

(

_k( )

)

болатындығын аламыз. Демек келесі теңдік орынды болады:

α_k Z_k t ^rσk sign x_k t sign x_k t ^pk g_k^r

k

− − − − −

[

1 1

]

^{= −}

(

1

)

⁻

(

1

)

⁻

1

1 1

( ( )) ( ) ( ) ^{σσ σ}

σ

x t

sign x t g x t g x t g

k

r r

k k k k k

k k

−

− − − − −

=

= −

( )

^{= − = −}

1

1 1 1 1 1

( )

( ) ( ) ( ) _jj

j i k

i k

i r

z t ⁱ

=

−

=

−

∏

∑

^_ ^{1 }_

[ ]

1 1

( )

σ (8)

r_i≤ + ≤r_i ω σ болатындығын ескерсек және 5-лемманы қолданып (8) теңдеуден келесідей қорытынды жасауға болады:

[

α₁( ( ))x t₁

]

^σr1,...,

[

α_n⁻₁(X_n⁻₁( ))t

]

^rσn .

Функциясы t бойынша үздіксіз дифференциалданады, онда осының негізінде x t₁( ),...,x t_n( ) күйі t бойынша үздіксіз дифференциалданатын болады және бұдан түрленген жүйені аламыз. x t₁( ),...,x t_n( ) күйі t бойынша үздіксіз дифференциалдануы (7) түрлендіру арқылы нақты контроллерін құруды қамтамасыз етеді.

Ляпунов функциясын құрайық.

W_H Z t_k s ^r _k Z_k t ^r

Z t

z

k k k

k k

k

( ( )) ( ( ))

( ( )) (

= ^_

[ ]

⁻

[

^{− −}

]

^_

− −

σ σ

α

α _{1 1}

1 1

tt

r_k p_k

ds

)

∫

,

− ₊ 2σ ₁ σ

W_D t n k x l dl_k n k x l dl

t t

k t

t

k

k k

( )=( − + ) ( ) + −( ) ( )

−

∫

−

∫

+

1 ^{2 2}

τ τ 1 , k=1,n ; τ_n+1=0

Бұл W_H t W_D t

k( ), k( ) функциялары төмендегі тұжырыммен сипатталады.

Тұжырым 1. [10] k=1,n үшін W_H t

k( ) және W_D t

k( ) функциялары үздіксіз диффе- ренциалданады және келесі теңдікті қанағаттанырады:

∂

∂ =

[ ]

∂

∂ = −

[ ]

W Z t − −

z t x t

W Z t

z t s

H k

k

k r

H k

i

r

k

k k

k

( ( ))

( ) ( )

( ( )) ( )

2σ ω

σ

σ

kk k

k k

k k

k

k k r

r p

Z t

z t

Z t ds

r

−

[ ]

^×

× −

− −

− ₊

− −

∫

^α

σ

σ σ σ α

1 1

2 1

1 1

2

( ( ))

( ( )) ( )

kk k

i

k k r

D t

p

z t Z t i k

dW dt

k

k

+ ⋅ ∂ − −

∂ ^_

[ ]

^_ ^{= −}

=

1

1 1 1 1

σ α ^σ

( ) ( ( )) , ,

( ) ( 2

2n−2k+1x²_k − − +n k 1 x t_k² − _k − −n k x t_k² − _{k 1}

















) ( ) ( τ ) ( ) ( τ + ).



(9)

2 2

2

1 1

( )( ) 2

( ) ( ( )) (

σ ω σ

σ σ ω

σ ω α

− − −

− −

⋅ −

− − ≤

r r

r k

k k k r

H k

k k

k k

k

r z t Z t W Z (( ))t x t( )

r k

≤2¹⁻k ⋅ ⁻

σ 2σ ω

σ

V₁ W_H W_D

1 1

= + болатындай V₁-ді таңдап аламыз. Оның уақыт бойынша туындысын тауып, 1-тұжырымды қолдансақ мынаны аламыз:

V x x z x f

r

p r

p p r

⋅ − − − − − −

=

[ ]

⁺

[ ] (

⁻

)

⁺

[ ]

1 1

2

1 1

2

2 1 1

1 2

1

1

1 1

σ ω 1

σ

σ ω σ

σ ω

α α σ _{11 1}² ₁² ₁

1 2

2

2 1

1

+ − − − −

− − −

( ) ( )

( ) ( ).

n x nx t n x t

τ τ

(10)

1-болжам мен 3-лемманың негізінде келесі бағалау орындалады:

x C x x x t

C

r r r r

1 2

1 1

2

1 1 1

1 1 1 1

2

[ ]

^{≤ }_ ^{+ − }_^≤

≤ +

− − − − + +

σ ω σ

σ ω σ

ω σ

ω

φ ( τ ) σ

σσ ω σ

ω σ

ω

σ ω σ

− − ⋅ + σ ω

 













⋅ +

+

− − − −

r r

C x x

r

r r

1 1 2 2

2

1 2

2 2 1

1 1

1 22

1 1 1

2 1

2

(t−τ ) := β x +x t( −τ1) (11)

Енді бірінші a₁ виртуалды контроллерді былай таңдап алайық:

α₁^p1( )z₁ = −sign x g( )_{1 1}^r1σ+ω x₁^r1σ+ω (12) мұндағы g₁=(3n− +1 β₁)^r1+ >1

σ

ω . (11) мен (12) теңдіктерді қолданып (10) теңдікті бы- лай жазуға болады:

V nx n x t x t x z

r

p p

⋅ − −

≤ − − −

(

− + −

) [ ] (

⁻

1 1

2

1 2

1 1

2

2 1

2

2 1

1

1

1 1

( ) ( τ ) ( τ ) ^{σ ωσ} α

))

^.

Бұдан рекурсивті қадамға көшсек, (k–1)-ші қадамда

Vk n k xi n k x t x t

i k

i i i i

i

⋅

−

=

−

+

=

≤ − − +

( ) ∑

^{− − +}

(

^{− + −}

)

1 2

1 1

2 2

1 1

2 ( 1)^kk ( τ) ( τ ) x_k ^r z_k^p _k^p

k

k k

−

−

− −

∑

¹

[ ]

^{1 2σ ωσ −1}

(

^{−1 −α} −⁻¹¹

)

^. (13) Келесі қадамда V_k V_k W_H W_D

k k

= ₋₁+ + болайтындай етіп, V_k-ны таңдаймыз. Оның уақыт бойынша туындысын (1)-ші теңдеудің шешімінің төңірегінде тауып, (13) теңдеу мен 1-тұжырымды қолдансақ мынаны аламыз:

Vk n k xi n k x t x t

i k

i i

i k

i i

i

⋅

=

−

= +

=

≤ − − +

(

²

) ∑

^{2− − +1}

∑

^{− + −}

1 1

2 1

2

( ) ( τ ) ( τ 1)

1 1 1

2

1

2 2

2 2 1

k

k k k k

r

n k x t n k x x zk

k

−

+

− −



∑





−

− −^{( ) (} −^{τ )}+⁽ − + ⁾ +

[ ]

^{σ ωσ ++ − −}

− −

−

− −

(

−

)

⁺

[ ]

⁺

+

[ ]

⁺

[ ]

1

2

2

1 2

p k p

k r

k p

k r

k k

r

k k

k k

k

x

x f x

α ^{σ ωσ} α

σ ω σ

σ ω kk

k k k k

k k

z r p

k s

p k

p k k r

k r

r p

−

− −

+

(

− ⁻

)

^{− − + − −}

−

1

1 1

1

1

1

1 σ 2

σ σ σ

σ

α σ

σ [ ] [α ] dds

x f

z

k k

i k

z

i p

i i

k r i

k

σ σ

α

−

∫

∑

×

×

(

⁺ +

)

_∂^{∂ }_^{ − }_^

=

−

1

1 1

1 1

[ ]

(14)

Ары қарай a_k виртуалды контроллерін құру үшін (14) теңдеудің оң жағындағы соңғы үш мүшесіне сәйкес шектеуші бағалау беру керек. Ол келесідей 3 дәйектің негізінде қол жетімді болады.

Дәйек 1: b_k оң тұрақтысы табылып,

x_k z x

r k

p k p

r k

k r

k k

k k

−

− −

−

− +

−

[ ]

^{1 2σ ωσ −1}

(

^{−1 −α −11}

)

^{≤21 −1σω 12σ ω}− −^{σ −1 xxk ≤1}₂^{xk2−1+βk1xk2} (15) Дәйек 2:

x_k f x x x x t

r

k k k k i

i k

i i

i

[ ]

^{− −}k ^{≤ + − + +}

(

⁻

)

=

−

=

−

∑

2

2

1

2 2

1 2

1 2

2

1 3

1 2

1 2

σ ω

σ β τ

1 1 1

2

2

1 1

2

1

1 2

2

k

k k

i i

i k

k k

x t

x t x t

−

+

=

−

−

∑

∑

+ − +

+

(

−

)

⁺

(

⁻

)

( τ )

τ τ (16)

Дәйек 3:

2 ₁

1

1

1

σ

σ α

σ σ σ

σ σ

− −











⋅

+ −

−

+

+

−

r p

∫

s ds x

k k r

k r

r p z

i

k k

k k

k k

[ ] [ ] _{11 1}

1 1

2 1 2

2

3

1 3 1

2

p i

i k

r i

k

k k k

i i

i f k

z x x

x

(

+

)

_∂^{∂ }_^{ }_^{ ≤ + +}

+

= −

−

∑

^{[α ]σ β} −

==

−

=

−

= +

∑

⁺

∑

^{− +}

∑

− ⁻ 1

2

2 1 1

2 1 1

1 2

2

1 2

k

i i

i k

i i

i k

x t( τ ) x t( τ ) (17)

Алынған нәтижелерді (14) қойып, мынаны аламыз:

Vk n k xi n k x t x t

i k

i i

i k

i i

i

⋅ k

= = +

=

≤ − − +

(

¹

) ∑

^{2− −}

∑

^{− +} − ⁻ 1

2 1

2 1 1

1

( )^_ ( τ)

∑ ∑

( τ )^_ ⁺

[ ]

⁺

+

(

− + +

)

⁺

[ ]

− −

− − +

x

n k x x z

k r

k p

k k k

r k

k k

k

2

2 2

2 2 1

σ ω σ

σ ω σ

α

β

(

^pk₁₁−^α_k^pk

)

⁽¹⁸⁾

мұндағы β_k =β_k1+β_k2+β_k3 . Осылайша a_k виртуалды контроллерін келесі түрде таңдап алайық:

α_k^pk(Z_k)= −sign x g( _k) _k^rkσ+ω x_k ^rkσ+ω (19) мұндағы g_k =(3n−3k+ +2 β_k)^rk+ >1

σ

ω - оң тұрақты. Бұл индуктивті қадамды аяқтайды.

Бұдан

Vk n k xi n k x t x t

i k

i i

i k

i i

i

⋅ k

= = +

=

≤ − − +

(

¹

) ∑

^{2− −}

∑

^{− +} − ⁻ 1

2 1

2 1 1

1

( )^_ ( τ)

∑ ∑

( τ )^_⁺

[ ]

^{xk 2σ ω− −σ rk}

(

^{zkp+k1−αkpk (20)}

)

k = n болғанда V_n:Rⁿ→R⁺ Ляпунов функционалы үшін V_n W_H W_D

i n

i i

( )⋅ =

(

( )⋅ + ( )⋅

)

∑

= 1

(21) болады.

Жоғарыда келтірілген индуктивті болжамды қолдана отырып, n-ші қадамда z_n+1=α_n=u екенін ескеріп, α_n:Rⁿ→R үзіліссіз функциясын құра аламыз, бұдан u R: ⁿ→R контроллері келесі түрде алынады:

u z sign x_n ^p g_n x

r k

r

n

n n

( )= −

(

( )

)

^{1 σ+1 σ+1} (22) Демек,

Vn xi n

i

⋅ n

=

≤ −

∑

²+

1

δ (23) 4 және 6 леммалардан

W_H t z t_k ^r _k Z _k t ^r z t

r p

k k

k

k k

k k

( )≤[ ( )] −_ ⁻

(

⁻

( ) )

_ ( )⁻

−

−

σ σ +

σ

α _{1 1} σ α

2

1

1

Z

Z _k t x t

r k

k

−

− −

(

¹

( ) )

^{≤21 σ ( )2σ ωσ}

Айталық, λ σ ω

= 2 σ−

болсын. Сонда келесі шартты алуға болады:

Vn Vn n

⋅ ≤ − 

 + 1 2

1

λ δ (24) Келесі түрдегі жиынды еңгізейік

Ω: { ( )= x t ∈Rⁿ|V_n≥2 2( nδ)^λ (25) және айталық, x(t) - x(0) бастапқы күйі бар (7) жүйенің траекториясы болсын. Егер x t( )∈Ω болса, онда (25)-тен мынау шығады:

Vn Vn n n

⋅ ≤ − 

 + ≤ − <

1

2 0

1

λ δ δ (26)

Бұл дегеніміз, x t( )∈Ω болғанда, V_n - t уақыт өте келе қатаң кемімелі болады, демек x(t) - Rⁿ кеңістігінің Ω толықтауыш жиынтығына ақырлы T>0 уақытында еніп, сол жерде мәңгі қалуы керек дегенді білдіреді. Бұдан (7) тұйық жүйенің x(t) шешімі [0, +∞) аралығында анықталған және кең ауқымды шектелген болады. Енді (3) шарттың орынды болатындығын (9), (24) қолданып, және d параметрін таңдау арқылы көрсетуге болады:

y t( )−y t_r( ) = x t₁( )≤V_n ≤2 2( nδ)^{2σ ωσ−} <ε

Бұдан кез келген e > 0 үшін (22) түрдегі үзіліссіз күй кері байланыс контроллері (3) шартты қанағаттандыратын шығысты кең ауқымды практикалық ізге түсіру есебін шешеді.

Сандық мысал. Бұл бөлімде теориялық нәтижелердің дұрыстығы мен тиімділігін көрсету үшін сандық мысал қарастырайық. Келесі түрдегі сызықты емес жүйені қарастырамыз:

z t z t z t z t

z t u t z t z t

1 2

5 1

5

2 2

2 5

2 2

2 2

1 2

.

.

( ) ( ) ( ) cos ( )

( ) ( ) ( ) (

= − −

= + − + ))sin( ( ))

( ) ( )

z t y t z t

1 1

−1

=













(27)

φ₁( )⋅ = z t₁( −1) cos( ( )),⁵² z t₂ φ₂( )⋅ =z t₂²( − +2) z t₂²( )sin( (z t₁ −1))). ω = 1

5 деп алсақ, онда r₁ = 1 және p₁ = 5, p₂ = 5, демек r r

2 p

1 1

1 1

5 5

6

= + = + 25 ω =

, r r

3 p

2 2

6 25

1 5 5

11

= + = + 125 ω =

болатындығын оңай есептеп алуға болады.

φ₁ ≤ +

(

1 ^z₁²

)

^_ ^z₁^{65+ z t}₁^{( −}1^)65_^+C₂^, φ₂ ^≤C₁^_ ^{z t}₁^{( )65+ z t}₂^{( )116 + z}₁^{((t−1)65+ z t2( −2)116}_^+C2

φ₁ ≤ +

(

1 ^z₁²

)

^_ ^z₁^{65 + z t}₁^{( −}1^)65_ ^+C₂^, φ₂ ^≤C₁^_ ^{z t}₁^{( )65 + z t}₂^{( )116 + z}₁^{((t−1)65 + z t2( −2)116}_ ^+C2

1-болжамды қанағаттандыратынын көреміз. Енді s = 2 деп таңдап алайық.

σ≥ +ω +ω +ω = 





=





 max{r₁ ;r₂ ;r₃ } max 6; ; 

5 11 25

36 125

6 5

Есептеулер жүргізу арқылы Ляпунов функциясын келесі түрде табамыз:

V x x x x z

⋅ ²≤ − +¹²

[ ]

^{1 8950α25+ +(1 β2) 22+}

[ ]

^{2 8950}

(

^35−α25

)

мұндағы β₂ =β₂₁+β₂₂+β₂₃^, α₂^{5( )z}₂ = −

[ ]

^x₂ ^1125g₂¹¹⁵⁰ V x x x z

⋅ ²≤ −^{( 12}+ ²²⁾+

[ ]

^{2 8950}

(

^35−α25

)

α₂=u , u z( )= −

(

sign x( 2)

)

g x

1 5 2

11 250

2 11

250 , мұндағы g_{2 2}

50

2 11 1

= +( β ) > , бұдан

V V

⋅ ≤ − 

 + ≤ − <

2 2

10

1 19

2 2δ 2δ 0

V x x

⋅ ²≤ −

(

¹²+ ²²

)

y t( )−y t_r( ) = x t₁( )≤V₂≤2 4δ( )¹⁰¹⁹ <ε , ε >0

d = 0,01 болғанда алынған ізге түсіру қателігі 0.38 төңірегінде болады; d = 0,0001 болған кезде ізге түсіру қателігі шамамен 0.016 азаяды.

қорытынды. Бұл жұмыста жүйенің сызықтық емес әлсіз жағдайларында уақыт өте келе өзгеретін кідірістері бар жоғары ретті сызықты емес жүйелер класы үшін шығысты кең ауқымды практ�