PDF k ) R ik E

(1)

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

327

УДК 621.3.011.729:681.3

КАЛИЕВ Б.К., ОТЕТИЛЕУ А.О.

Кызылординский Государственный университет имени Коркыт Ата, Кызылорда, Казахстан

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В настоящее время существенно расширились область применения нелинейных цепей и систем с переменными во времени параметрами. Подобные цепи встречаются во многих устройствах электроэнергетики, автоматики, радиоэлектроники, вычислительной и измерительной техники. В таких цепях или системах часть параметров (активное сопротивление, индуктивность, емкость и др.) изменяется во времени по определенному закону. Расчет режимов электрических машин также можно рассматривать как решение задачи анализа параметрических цепей. Если трансформатор, будучи статическим устройством, описывается уравнениями с постоянными коэффициентами, то электрическая машина, обладающая подвижными контурами, - уравнениями с переменными параметрами.

Вопросы разработки методов и алгоритмов численного анализа и моделирования подобных систем становятся весьма актуальными, так как получение точных аналитических решений возможно лишь в исключительных случаях. Несмотря на большое количество работ, посвященной этой задаче, некоторые вопросы остаются мало изученными. Многие из этих работ имеют частный характер и адресуются к схемам или уравнениям определенных видов.

Предложенный в метод суммирования конечных приращений (СКП) при практической реализации для анализа линейных и нелинейных цепей зарекомендовал себя как высокоэффективный машинно-ориентированный метод.

Цель данной работы – исследование и развитие метода СКП для анализа нелинейно- параметрических цепей.

Одним из основных преимуществ метода СКП является то, что алгебраизация дифференциальных соотношений для элементов цепи реализуется на начальной стадии работы алгоритма. При этом элементы цепи заменяются дискретными физическими моделями, которые получены по этому методу. Дифференциальные и интегральные соотношения этих элементов заменяются дискретными математическими моделями.

Дальнейший вычислительный процесс представляет собой операции только с алгебраическими уравнениями, поэтому формирование и преобразование дифференциальных уравнений цепи перестает быть обязательным. Ниже рассмотрим получение дискретных физических и математических моделей переменных элементов с помощью метода СКП. [1]

Дискретная модель переменного резистора R(t).

Теорема 1. Если функция R(t) является непрерывной и не равна нулю в рассматриваемом интервале времени, то дискретная математическая модель переменного резистора в k-й точке динамического процесса удовлетворяет соотношению

) ( 1

) (

t R k R k k

R R i E

U   

 _ (1)

описывающему дискретную физическую модель этого элемента, состоящую из последовательно соединенных (рис.1) резистора R(t) и источника ЭДС ER(t), где

. ,

1 1

1 )

(

k k k

k k t R

R R R

i R E















 (2)

(2)

328

Рисунок 1

Как известно, для переменного резистора из закона Ома следует соотношение

) ( )

(_t () _R_t

R Rt i

U   (3)

Задача состоит в том, чтобы найти взаимность между приращениями тока и напряжения для выбранного промежутка времени t_k t_k_1t_k.

В искомой точке значения напряжения и тока определяются как

k k

k U U

U _1   , (4)

k k

k i i

i _1   или U_k_₁ R_k_₁i_k_₁. (5) С учетом (4) и (5) можно записать

)

1(k k

k k

k U R i i

U   _  ,

откуда (6)

)

( ₁

1 k k k k

k

k R i R i U

U     

 _ _

В (6) второе слагаемое определяет значение источника ЭДС.

ER(t) в дискретной физической модели параметрического резистора:

k k k

k k k t

R R i R i R i

E ₍₎  _₁     _₁ (7)

Подставляя последнее выражение в (6), получаем дискретную математическую модель R(t).

Дискретная модель переменной емкости С(t).

Теорема 2. Если ic(t) и Uc(t) для переменной емкости являются непрерывными вместе с производными функциями и C(t)≠0 в рассматриваемом интервале времени, то при известных с равномерным шагом ∆t значениях тока

i

_C^(k⁾, i_C⁽^k^¹⁾, …, i_C⁽^k^m^²⁾ дискретная математическая модель C(t) в k-й точке переходного процесса удовлетворяет соотношению

) (

) ( ) ( ) ( ) (

, )

( k

t C k C k C k

i C k

C G U I I

i    

 , (8)

описывающему дискретную физическую модель C(t), состоящую из параллельно соединенных резистора RC и источников токов I_C^(k⁾, I_C⁽^k₍⁾_t₎ (рис.2), где

t K

t

G C_m

i R k k

i

C  ^

, ) 1 (

,

)

( ;



^



 

 ²

0 , )

( ( )

m

j

j k C m

i j k

C K i t

I (9)

) (

, 1

) 1 (

)

( ( )

) (

)

( _k

i C k C k

k k t

C U t G

t C

t

I C 





 .

Рисунок 2

Здесь для вычисления коэффициентов используются те же выражения, что и для линейного случая [2]:

(3)

329



^ ^ ^

  ¹

0

, ( ( 1)...( 2))

)!

1 (

1 x x x m dx

K_R^m_i m , (10)



^ ^ ^ ^ ^

  ¹

, 0 ,

0 ( 1)( 1)...( 2) 1

)!

2 (

1 x x x m dx

m

K K_m

i R m

i , (11)



^ ^_ ^ ^





  ^ ¹

, 0

1

, ( )

) 2 )...(

1 ( ) 1 ( )!

2 (

)!

1 (

) 1

( dx

j x

m x x x x j

m j K K_m

i R

j m

i

j , (12)

значения которых можно вычислить заранее и хранить в памяти ЭВМ.

Рисунок 3

Для формирования дискретной модели переменной индуктивности справедлива аналогичная теорема. Здесь можно тем же путем показать, что взаимосвязь приращений параметров режима является линейной алгебраической функцией:

k t L k L L k L k

L R i E E

U     ₍₎

 (13)

Известно, для переменной индуктивности из определения следует соотношение )

( ) ( )

(t L t i_L t

 (14)

из которого взаимосвязи между токами и напряжениями представляются в интегральной и дифференциальной формах:

) ) ( ( ) ) ( ( )

( i t

dt t dL dt

t t di L t

U_L  ^L  _L , (15)



 





t

t L k L k

L L

k

d U t t i L

t t L i t

i ( ) () 

) (

) ) ( ( )

( (16)

При определении параметров модели (13) R_L^k,E_L^k,E_L^k₍_t₎ считаем известными дискретные значения напряжения U_L^k,U_L^k^¹,...,U_L^k^^m^² и представляем функцию U_L(t) алгебраическим полномом аналогично.

Дискретные физические модели нелинейных элементов с переменными параметрами отличаются от линейных параметрических цепей тем, что содержат источники ЭДС и тока, моделирующие невязки на внутренних итерационных циклах, на которых изменяются значения параметров и других элементов этих моделей. Рассмотрим способы вычисления величин резисторов, источников ЭДС и тока представленных моделей.

Для интегрального варианта метода СКП считаем заданными нелинейные характеристики резистора u_r u_r(i_r,t), конденсатора u_c u_c(q,t), индуктивности

) , ( t i

i_L  _L  . Тогда дискретные значения парамтеров, как функции времени, могут быть получены из соотношений

j k r

k k r r j

k r k r j r

k

r i

t i u t i i

R u ₍ _),

) ( ),

( ) ( 1

),

( ( , ) ( , )







 

 ; (17)

) , ( ) ,

( ⁽ ⁾ ⁽ ^), ⁽ ⁾

), ( 1

), (

k k C j

k k

C

j k j

k

t q u t q q

u C q







 

 ; (18)

) , ( ) ,

( ⁽ ⁾ ⁽ ^), ⁽ ⁾

), ( 1

), (

k k L j k k

L

j k j

k

t i

t L i









 

 . (19)

Величины источников, моделирующих невязки, найдем как

(4)

330

j k j k k

k C k

j k k

C j k

C u q q t u q t q C

u⁽ ^¹^), ^¹ ( ⁽ ⁾  ⁽ ^), , _₁) ( ⁽ ⁾, ) ⁽ ^), / ⁽ ^),

 ; (20)

j k j k k

k L k j k k

L j k

L i t i t L

u⁽ ¹^), ¹ (⁽ ⁾ ⁽ ^), , ₁) (⁽ ⁾, ) ⁽ ^), / ⁽ ^),

 ^ ^   _   . (21)

Литература

1. Бондаренко В.М. Методы и алгоритмы анализа статических и динамических режимов неленейных цепей. – Киев, 1974.-105с.

2. Бондаренко В.М., Абидов С.Т., Кашкинбаев Б. Алгоритмы и программы анализа цепей о переменными параметрами и режимов электрических машин. Киев, 1982, 65с.

3. Калиев Б.К., Отетилеу А.О. «Математическое моделирование процессов в электрических цепях с переменными параметрами». Материалы V Международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке» (ММ ИТОН V), Том-1. Алматы, 2010г. с 188-191.