Umirhaev, On ranks of elements of free groups, Fundamentalnaya i prik- ladnaya matematika

О р а н г е э л е м е н т о в с в о б о д н ы х г р у п п

У. У. У М И Р Б А Е В Шымкентский химико-технологический институт

К л ю ч е в ы е слова: свободная группа, ранг системы элементов.

А н н о т а ц и я

Получен критерий того, что система элементов свободной группы имеет данный ранг. Этот результат является групповым аналогом теоремы А. А. Ми­

халёва—А. А. Золотых о ранге систем элементов свободных алгебр Ли.

A b s t r a c t

U. U. Umirhaev, On ranks of elements of free groups, Fundamentalnaya i prik- ladnaya matematika 2(1996), 313—315.

A criterion for a system of elements of the free group to have given rank is obtained. This result is a group analog of the theorem of A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh on ranks of system of elements in free Lie algebras.

В настоящей з а м е т к е д о к а з ы в а е т с я аналог т е о р е м ы А. А. Михалёва, А. А. З о л о т ы х [1] о р а н г е элементов свободных алгебр Л и для свободных групп.

Пусть F — произвольное фиксированное поле и G — свободная г р у п п а с базой х\, Х2, • • •, хп, FG — ее групповая алгебра. Правые производные Ф о к с а

—— G FG, 1 ^ г <С п, элемента д £ G однозначно определяются формулой

дд

OXi

" Я

5

_ 1 = 5 > , . - 1 ) ^ . а)

г' = 1

О п р е д е л е н и е 1. Р а н г о м системы элементов

9i,92,---,9k (2) свободной г р у п п ы G н а з ы в а е т с я мощность минимальной системы п р и м и т и в ­

ных элементов (см. [2]) г р у п п ы G, через к о т о р ы е в ы р а ж а ю т с я все элементы системы (2).

Пусть М — прямая сумма к экземпляров а л г е б р ы FG, р а с с м а т р и в а е м а я к а к левый _РС-модуль. По теореме П. К о н а [3] к а ж д ы й _РС-подмодуль мо­

дуля М является свободным модулем единственного р а н г а . Системе элемен­

т о в (2) г р у п п ы G сопоставим систему элементов

dgi dg2 ддк\ .

д^'Ы---'д^)'

^{u ,}

^

ⁿ

'

⁽³⁾

модуля М.

Фундаментальная и прикладная математика 1996, 2, № 1, 313—315.

© 1996 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом "Открытые системы"

314 У. У. УМИРБАЕВ

О п р е д е л е н и е 2. Л е в ы м р а н г о м системы элементов (3) н а з ы в а е т с я ранг _РС-подмодуля модуля М, порожденного системой элементов (3).

Т е о р е м а . Ранг системы элементов (2) свободной группы G совпадает с левым рангом системы элементов (3).

С л е д с т в и е . Ранг элемента g свободной группы G совпадает с рангом левого FG-модуля, порожденного элементами

дд_ дд_ дд дх\' дх2 ' ' дхп

Д р у г и м следствием т е о р е м ы является к р и т е р и й п р и м и т и в н о с т и системы элементов свободных групп, приведенный в [2].

Через IQ обозначим ф у н д а м е н т а л ь н ы й идеал кольца FG. Если Н — под­

г р у п п а г р у п п ы G, т о через JH обозначим правый идеал а л г е б р ы FG, поро­

жденный элементами h — 1, где h £ Н. Вложение п р а в ы х _РС-модулей JH —> IG дает г о м о м о р ф и з м

RomFa(IG,FG) ^ H o mF G( JH, F G ) . (4) Теперь, не вникая в терминологию р а б о т ы [4], о т м е т и м , ч т о ф о р м а л ь н ы м

следствием леммы 4.6 и предложения 3.3 из этой р а б о т ы является следующее П р е д л о ж е н и е . Если гомоморфизм (4) не является мономорфизмом, то Н содержится в нетривиальном свободном множителе группы G.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Пусть Н — подгруппа г р у п п ы G, порожден­

ная системой элементов (2), и г — ранг системы элементов (2). Т о г д а найдется т а к а я база

У1,У'2,---,Уг,---,Уп

г р у п п ы G, ч т о Н С Go, где Go — подгруппа г р у п п ы G, порожденная эле­

м е н т а м и г/1, ?/2; • • •; Уг- Через <р: G —?> G обозначим а в т о м о р ф и з м г р у п п ы G, определенный правилом <р(х{) = у{, 1 <J г: ^ п, a J(<p) = тг^- — м а т р и ц а

\®Xi J пхп

Я к о б и а в т о м о р ф и з м а ср. З а м е т и м , ч т о м а т р и ц а J{<p) о б р а т и м а над FG [5].

Пусть левый ранг системы в е к т о р о в (3) равен s. Р а с с м о т р и м систему век­

т о р о в

Из ф о р м у л ы (1) легко выводится равенство

дяА - к,л (д3з VXi J nxk \vyi / nxk

В силу о б р а т и м о с т и м а т р и ц ы J{<p) левые р а н г и систем в е к т о р о в (3) и (5) с о в п а д а ю т . Поскольку —— = 0 при i > г, т о s < г.

dyi

О РАНГЕ ЭЛЕМЕНТОВ СВОБОДНЫХ ГРУПП 3 1 5

Предположим, ч т о s < г. Очевидно, левый ранг системы в е к т о р о в (5) над FGo т а к ж е равен s. Поэтому можно с ч и т а т ь , ч т о G = Go — свободная г р у п п а с базой у\, г/2, • • •, Уг• Т о г д а найдутся элементы Д , / г , • • •, /г £ FG, не все равные 0, т а к и е , ч т о

£"(&-£)=°

Поскольку IQ является свободным п р а в ы м _РС-модулем с базой г/г' — 1, 1 <С г <С г, т о имеем г о м о м о р ф и з м

в: IG -> FG п р а в ы х _РС-модулей, определенный правилом

% . - - 1 ) = Л , l ^ i ^ r .

З а м е т и м , ч т о в ф 0, и в силу (1), (6) имеем 9{gi — 1) = 0, 1 <J г ^ к, т . е.

9{JH) = 0. Следовательно, г о м о м о р ф и з м (4) не является мономорфизмом.

По предложению подгруппа Н содержится в свободном множителе г р у п п ы G, т . е. G = G\ * G'z, H <J G\, G\,G'i ф {е}. Поскольку г р у п п а G\ порожда­

ется менее чем г элементами, т о ранг системы элементов (2) меньше, чем г.

Противоречие. З н а ч и т , s = г. Теорема доказана.

Л и т е р а т у р а

[1] Михалёв А. А., Золотых А. А. Ранг элемента свободной (р)-супералгебры Ли / / Доклады РАН. — 1994. — Т. 334, № 6. — С. 690-693.

[2] Умирбаев. У. У. Примитивные элементы свободных групп / / Успехи матем. на­

ук. — 1994. — Т. 49, № 2. — С. 175-176.

[3] Cohn P. M. Free ideal rings / / J. Algebra. — 1964. — V. 1, № 1. — P. 47-69.

[4] Cohen D. E. Groups of cohomological dimension one. — Lect. Notes Math. 245. — New York: Springer, 1972.

[5] Birman J. S. An inverse function theorem for free groups / / Proc. Amer. Math. Soc. — 1974. — V. 41. — P. 634-638.

Статья поступила в редакцию в сентябре 1994 г- (6)