องค์การเพื่อความร่วมมือทางเศรษฐกิจและการพัฒนา (Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD), 2009, p. 105-106) ได้อธิบ ายว่า กระบวนการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์ ประกอบด้วย 5 ขั้นตอน ดังนี้
ภาพประกอบ 4 กระบวนการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์ตามแนวคิดของ OECD (2009)
ตาราง 3 กระบวนการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์ตามแนวคิด OECD (2009)
ขั้นตอน ตัวอย่างกิจกรรม
1. เริ่ม ต้น ด้วย ปั ญ หาในสถ านการณ์ ต าม ความเป็นจริง
- ระบุคณิ ตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ ปัญหาในชีวิตจริง
- แสดงปัญหาในรูปแบบที่หลากหลาย รวมไปถึงการจัดระเบียบปัญ หาที่
สัมพันธ์กับมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์
และสร้างข้อสมมติที่เหมาะสม
- การเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง ภาษาของปัญหากับภาษาสัญลักษณ์
และภาษาที่เป็นทางการที่จ าเป็น เพื่อให้เข้าใจอย่างเป็นคณิตศาสตร์
- การหาความสัมพันธ์และแบบรูป - การจ าได้ถึงแง่มุมที่เหมือนกับปัญหา ที่เคยพบมาก่อนหน้า
- การแปลงปัญหาไปสู่คณิตศาสตร์
เช่น ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
2. จัดการสถานการณ์ปัญหาตามแนวคิดทาง คณิ ตศาสตร์ และระบุสิ่งที่เกี่ยวข้องกับ คณิตศาสตร์
3. ค่ อ ย ๆ ตั ด ค ว า ม เป็ น จ ริงอ อ ก ไป ด้ว ย กระบวนการ เช่น การสร้างข้อสมมติ การท าให้
อยู่ในรูปทั่วไป และ การท าให้อยู่ในรูปที่เป็น ทางการ กระบวนการเหล่านี้จะท าให้เกิด ลัก ษ ณ ะ เฉ พ า ะ ท า งค ณิ ต ศ า ส ต ร์ข อ ง สถานการณ์ และแปลงรูปแบบของปัญหาโลก ความจริงไปสู่ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึง การเป็นตัวแทนที่สอดคล้องกับความเป็นจริง ของสถานการณ์
4. แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนนี้เป็นการ ด าเนินการภายในคณิตศาสตร์โดยใช้มโนทัศน์
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
- การใช้และสับเปลี่ยนระหว่างตัวแทน ความคิดทางคณิตศาสตร์
- การใช้ภาษาทางเทคนิค ภาษา ทางการ ภาษาสัญลักษณ์ และการ ด าเนินการ
- การขัดเกลาและปรับเปลี่ยนตัวแบบ ทางคณิตศาสตร์ การรวมและการบูร ณาการตัวแบบ
- การโต้แย้ง
- การท าให้อยู่ในรูปทั่วไป
ตาราง 3 (ต่อ)
ขั้นตอน ตัวอย่างกิจกรรม
5. ท าให้ผลเฉลยทางคณิตศาสตร์สมเหตุสมผลใน สถานการณ์จริง รวมถึงระบุข้อจ ากัดของผล เฉลยนั้น ขั้นนี้เกี่ยวข้องกับการสะท้อนถึง กระบวนการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์และค าตอบ ต้องแปลความหมายของค าตอบโดยใช้เจตคติ
เชิงวิจารณญาณ และตรวจสอบความถูกต้อง ของกระบวนการทั้งหมด
- การเข้าใจถึงระดับและข้อจ ากัดของ มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์
- สะท้อนคิดเกี่ยวกับข้อโต้แย้งทาง คณิตศาสตร์ การอธิบายและการ ตัดสินผลลัพธ์
- การสื่อสารเกี่ยวกับกระบวนการและ ผลเฉลย
- การวิพากษ์เกี่ยวกับตัวแบบและ ข้อจ ากัด
โครงการ PISA ประเทศไทย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
(2552, น. 5-6) ได้อธิบายว่า การคิดให้เป็นคณิตศาสตร์ มี 5 ขั้นตอน ดังนี้
1. เริ่มต้นด้วยปัญหาที่มีอยู่ในชีวิตจริง
2. จัดการปัญหาโดยใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์
3. ค่อย ๆ ตัดความเป็นจริงออกไปในขณะด าเนินกระบวนการคิด เช่น พิจารณา ว่าส่วนไหนของปัญหาเป็นส่วนส าคัญที่สุดที่ต้องคิดออกมาในรูปคณิตศาสตร์
4. แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
5. ท าให้ค าตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์มีความหมายเมื่ออยู่ในบริบท ชีวิตจริง
แพรไหม สามารถ (2555, น. 16-17) ได้อธิบายว่า กระบวนการคิดให้เป็น คณิตศาสตร์ประกอบด้วย 5 ขั้นตอน ดังนี้
1. ขั้นเสนอปัญหาในชีวิตจริง เป็นการแปลงปัญหาในชีวิตจริงให้เป็นปัญหาทาง คณิตศาสตร์ มีการระบุแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหานั้น แสดงปัญหาในรูปที่
แตกต่างไป และระบุข้อตกลงเบื้องต้นที่สอดคล้องเหมาะสมกับปัญหา
2. ขั้นมองปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ เป็นการจัดการกับปัญหาให้อยู่ในรูปแบบ ตามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ โดยให้ผู้เรียนท าความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างภาษาของปัญหา ในชีวิตจริงกับภาษา สัญลักษณ์ และกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนพยายามค้นหา
ความสัมพันธ์และแบบรูปทางคณิตศาสตร์จากปัญหา จึงเป็นการพิจารณาลักษณะของปัญหานั้น ในเชิงคณิตศาสตร์
3. ขั้นแปลงปัญหาในชีวิตจริงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการค่อย ๆ ตัดข้อเท็จจริงที่เป็นปัญหาในชีวิตจริงออกไป โดยให้นักเรียนน าเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์เข้า มาเชื่อมโยงกับปัญหา ซึ่งอาจมีการสร้างข้อตกลงเบื้องต้นและหาข้อสรุปเพื่อแปลงปัญหาให้เป็น โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จึงเป็นการมองปัญหาในรูปคณิตศาสตร์ล้วน ๆ เพื่อสร้างตัวแบบทาง คณิตศาสตร์
4. ขั้นแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการใช้สัญลักษณ์ กฎเกณฑ์ ภาษาและ วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา มีการปรับตัวแบบให้เหมาะสมกับปัญหาจนได้ค าตอบ ของปัญหา
5. ขั้นสะท้อนคิด เป็นการแปลผลจากการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับไปสู่
ปัญหาในสถานการณ์ของชีวิตจริง รวมถึงการระบุข้อจ ากับของการแก้ปัญหานั้น ๆ โดยให้นักเรียน ร่วมกันอภิปรายและวิเคราะห์ถึงผลที่ได้ และข้อจ ากัดจากการใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ใน การแก้ปัญหา รวมถึงมีการวิเคราะห์ความสมเหตุสมผลของตัวแบบที่ใช้ในการแก้ปัญหา
ทรงยศ สกุลยา (2561, น. 22) ได้อธิบายว่า กระบวนการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์
ประกอบด้วย 5 ขั้นตอน ดังนี้
1. ขั้นแสดงปัญหาที่มีอยู่ในชีวิตจริง เป็นการแปลงปัญหาจากความเป็นจริงไป เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ มีการระบุข้อมูล หรือข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ได้กับปัญหาหรือ สถานการณ์นั้น จัดแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องและระบุข้อตกลงเบื้องต้นที่สอดคล้องและ เหมาะสมกับปัญหา
2. ขั้นมองปัญหาตามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ เป็นการพิจารณาปัญหาให้อยู่ใน แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ท าความเข้าใจและสร้างความสัมพันธ์ระหว่างภาษาของปัญหาในชีวิต จริงกับภาษา สัญลักษณ์ และกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนค้นหารูปแบบ ความสัมพันธ์
และแบบรูปของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์
3. ขั้นแปลงปัญหาในชีวิตจริงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการตัดข้อเท็จจริง ที่เป็นปัญหาในชีวิตจริงออกไปก่อน โดยน าคณิตศาสตร์เข้ามาเชื่อมโยงกับปัญหา เช่น การสร้าง ข้อตกลงเบื้องต้น การท าให้เป็นโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ การลงข้อสรุป เป็นต้น เพื่อแปลง ปัญหาให้เป็นโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์
4. ขั้นแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการใช้สัญลักษณ์ กฎ ภาษาเฉพาะ ทาง และการท าโจทย์คณิตศาสตร์ มีการใช้ ปรับตัวแบบทางคณิตศาสตร์ ผสานและบูรณาการ ตัวแบบ รวมทั้งให้ความเห็น สนับสนุน โต้แย้ง และสรุปการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์จนได้
ค าตอบของปัญหา
5. ขั้นสะท้อนปัญ หาสู่ชีวิตจริง เป็นการแปลผลจากการแก้ปัญ หาทาง คณิตศาสตร์ให้กลับเป็นปัญหาของสถานการณ์ชีวิตจริง การระบุข้อจ ากัดของการแก้ปัญหานั้น ๆ โดยร่วมกันคิด วิเคราะห์ อภิปราย และสะท้อนผล โต้แย้ง และหาค าอธิบายถึงผลการแก้ปัญหานั้น รวมถึงการยกตัวอย่างสถานการณ์ที่สามารถน าแนวคิดหรือวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดไปใช้
ในชีวิตจริง
จากที่กล่าวมาข้างต้น สรุปได้ว่า การคิดให้เป็นคณิตศาสตร์ มี 2 องค์ประกอบ ได้แก่
1) การคิดให้เป็นคณิตศาสตร์แนวนอน เป็นการใช้ความรู้และทักษะเพื่อค้นหาแบบแผนหรือ ความสัมพันธ์ เพื่อแปลงสถานการณ์ชีวิตความจริงไปสู่การคิดเชิงคณิตศาสตร์หรือสัญลักษณ์ และ 2) การคิดให้เป็นคณิตศาสตร์แนวตั้ง เป็นการใช้ความรู้และแนวคิดทางคณิตศาสตร์ในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และส าหรับงานวิจัยนี้ผู้วิจัยก าหนดให้กระบวนการคิดให้เป็น คณิตศาสตร์ ประกอบด้วย 5 ขั้นตอน โดยดัดแปลงจากแนวคิดขององค์การเพื่อความร่วมมือทาง เศรษฐกิจและการพัฒนา (OECD) ดังนี้
ขั้นที่ 1 เผชิญปัญหาชีวิตจริง เป็นการเผชิญสถานการณ์ในชีวิตจริง แล้วพบ ประเด็นที่ต้องการค าอธิบายหรือพบข้อสงสัยที่ต้องการค าตอบ
ขั้นที่ 2 จัดการปัญหาชีวิตจริงให้สอดคล้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ เป็น การระบุประเด็นคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาชีวิตจริง และพิจารณาเพื่อหาส่วนส าคัญของ สถานการณ์ในชีวิตจริง
ขั้นที่ 3 แปลงปัญหาชีวิตจริงให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการสร้าง ข้อสมมติเพื่อตัดความเป็นจริงบางอย่างของปัญหาชีวิตจริงออกไป ใช้ตัวแทนความคิดทาง คณิตศาสตร์ในการน าเสนอปัญหาชีวิตจริงตามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ เพื่อแปลงปัญหาชีวิตให้
เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์
ขั้นที่ 4 แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นการใช้ความรู้และทักษะทางคณิตศาสตร์
เพื่อหาค าตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์ รวมถึงการสนับสนุนและโต้แย้งแนวคิดในการหา ค าตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์
ขั้นที่ 5 ตอบปัญหาชีวิตจริง เป็นการน าผลเฉลยทางคณิตศาสตร์ไปใช้อธิบาย ปัญหาชีวิตจริง พิจารณาความสมเหตุสมผลของผลเฉลยทางคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ชีวิตจริง พร้อมทั้งระบุข้อจ ากัดของผลเฉลยนั้น