ทฤษฎีของแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวน (Fractional Calculus Theory)
สิปาง ดิเรกคุณากร มหาวิทยาลัยศรีปทุม
บทนํา
แคลคูลัสแบบเศษสวนเปนวิธีการคํานวณอนุพันธและอินทิกรัลที่ลําดับสามารถเปนเลขเศษสวนหรือเลขเชิงซอน คณิตศาสตร
แขนงนี้มีมานานกวา 300 ปแลว แตคณิตศาสตรแขนงนี้เพิ่งจะเริ่มมีบทบาทในทางวิทยาศาสตรและวิศวกรรม เมื่อไมนานมานี้ โดยไดมี
การนําไปการประยุกตใชงานในหลาย ๆ ดาน เชน คุณสมบัติของของที่มีความหนืด และคลื่นสนามไฟฟา เศรษฐศาสตรเชิงปริมาณ และ ระบบพลวัตรที่ไมเปนเชิงเสนเพราะการคํานวณโดยทฤษฎีนี้สามารถอธิบายระบบไดละเอียดมากกวาการคํานวณที่ลําดับเปนแบบเลข จํานวนเต็ม นิยามที่เกี่ยวของของแคลคูลัสแบบนี้มีหลายนิยามดวยกัน เชน นิยามของ รีมาน รีอูลวิลี่ (Riemann-Louville) นิยามของกุลวาด เล็ทนิคอฟ (Grunwald-Letnikov) นิยามของคาปูโต (Caputo) เปนตน คณิตศาสตรของแคลคูลัสจะแบงออกเปนสองสวน คือ สวนของ อนุพันธ (Differential) และสวนของอินทิกรัล (Integral)โดยที่สวนของอนุพันธจะเปนการอธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชั่นเมื่อ ลิมิตของคาตัวแปรมีคาเขาใกลศูนย สวนอินทิกรัลจะเปนบทกลับของการหาอนุพันธโดยเปนการหาคาฟงกชั่นหลักจากคาอนุพันธซึ่ง สามารถพิจารณาไดในรูปของพื้นที่ใตกราฟในการหาอนุพันธโดยทั่วไปลําดับจะเปนเลขจํานวนเต็ม เชน การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ ระยะทางตอเวลาจะเปนความเร็ว ซึ่งจะเปนอนุพันธลําดับที่หนึ่งของฟงกชั่นระยะทาง และการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วตอเวลา จะเปนความเรงซึ่งจะเปนอนุพันธลําดับที่สองของฟงกชั่นระยะทางตอเวลาและเปนอนุพันธลําดับที่หนึ่งของความเร็วตอเวลา
การประยุกตใชงาน
แคลคูลัสเปนวิธีการคํานวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชั่นที่แบงออกไดเปนสองแบบคือการหาอนุพันธและการอินทิเกรท การหาอนุพันธเปนการพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่พิจารณาจากสวนเล็ก ๆ สวนการอินทิเกรทรวมสวนเล็ก ๆ เขาไวซึ่งเปนสวนกลับ ของการหาอนุพันธ แคลคูลัสมีบทบาทอยางมากในการคํานวณทางวิทยาศาสตรและวิศวกรรม โดยทั่วไปในการคํานวณที่ใชแคลคูลัสจะ ใชลําดับของอนุพันธที่มีคาเปนเลขจํานวนเต็ม เชน อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางตอเวลาจะเปนความเร็วและเปนอนุพันธลําดับที่
หนึ่งของระยะทางเทียบกับเวลา และอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วตอเวลาก็จะเปนความเรงและเปนอนุพันธลําดับที่หนึ่งของความเร็ว เทียบกับเวลา และเปนอนุพันธลําดับที่สองของระยะทางเทียบกับเวลาดวยเชนกัน ในทางทฤษฎีแลวการคํานวณสามารถพิจารณาไดที่
ลําดับของอนุพันธมีคาเปนเลขเศษสวนหรือเปนจํานวนจิตนภาพ แนวคิดนี้มีมานานแลวตั้งแตเริ่มมีการพัฒนาคณิตศาสตรของแคลคูลัส แตไมไดมีการนํามาใชกันแพรหลาย วิธีการคํานวณแคลคูลัสโดยพิจารณาลําดับเปนเศษสวนนั้นเพิ่งจะเริ่มมีการสนใจนํามาใชเมื่อไมนาน มานี้ สําหรับการนํามาประยุกตใชในการคํานวณเพราะการคํานวณนั้นสามารถใหรายละเอียดไดมากกวาการคํานวณโดยอาศัยวิธีหาคา กลาง (Interpolation) หรือวิธีการประมาณคาแนวโนม (Extrapolation) หรือการประมาณคา (approximation) หลักการทางคณิตศาสตรหรือ แคลคูลัสของลําดับที่เปนเศษสวนไมใชเรื่องใหม แตการประยุกตใชงานกับทฤษฎีหรือทางฟสิกสและวิศวกรรมเริ่มมีการนํามาใชเมื่อไม
นานมานี้ เชน การประมวลผลสัญญาณ (Digital Signal Processing) หรือ ทรรศนศาสตรของแสง (Optics) ทฤษฎีระบบควบคุม (Control Theory) การประมวลสัญญาณ (Signal Processing) การอธิบายการแพรโดยการซึมผาน (Diffusion) และคุณสมบัติความยืดหยุนและความ หนืดของสาร (Viscoelastic) รวมทั้งการประยุกตใชงานในอีกหลายสาขา แคลคูลัสแบบเศษสวนสามารถนํามาใชอธิบายระบบที่ไมเปนเชิง เสน (nonlinear system) เชน การแกวงของวงจรไฟฟา (oscillation) ไดละเอียดที่ลําดับของอนุพันธมีคาเปนเศษสวน การประยุกตใช
แคลคูลัสแบบเศษสวนในการอธิบายระบบที่เปนพลวัตร (dynamical system) จะสามารถอธิบายคาตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับระบบได เชน เสถียรภาพ (stability) การลูเขาหรือลูออกจากจุดที่คงที่ (convergence of fixed point) เสนทางเดินหรือวงโคจรของระบบ (trajectory) ได
ละเอียดมากขึ้น พัฒนาการของคอมพิวเตอรทําใหสามารถประยุกตวิธีการคํานวณทฤษฎีของแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนไดโดยอาศัยการ คํานวณเชิงตัวเลข (Numerical method) การคํานวณโดยอาศัยคอมพิวเตอรสําหรับทฤษฎีแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนนั้นผลลัพธหรือ คําตอบที่ไดจากการคํานวณนั้นสามารถใหขอสรุปใหม ๆ สําหรับการนําไปประยุกตใชงาน
ที่มาของทฤษฎี
ทฤษฎีแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนนั้นเริ่มขึ้นมาในสมัยเดียวกันกับแคลคูลัสแบบดั้งเดิมที่ลําดับเปนจํานวนเต็ม โดยเริ่มมาจาก คําถามของนักคณิตศาสตรชาวฝรั่งเศส โฮสปตอล (L’Hospital) ถามถึงไลซนิซ (Leibniz) นักคณิตศาสตรชาวเยอรมันวาถาอนุพันธมีลําดับ เปนเศษสวน เชน 1/2 จะมีความหมายอยางไร? ไลซนิซ ตอบวา"ในการคํานวณจะเกิดขอขัดแยงซึ่งวันหนึ่งจะมีประโยชน" นิยามที่
เกี่ยวของกับคณิตศาสตรของแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนนั้นมีหลายแบบและมีการพัฒนาเรื่อยมาตลอดระยะเวลากวาสามรอยป
ในป 1819 นักคณิตศาสตรชาวฝรั่งเศส ลาครองก (S.F. Lacroix)ไดเริ่มจากนิยามของอนุพันธ สําหรับเลขจํานวนเต็มและสามารถเขียนให
อยูในรูปทั่วไปไดในเทอมของแฟคทอเรี่ยล (factorial) และฟงกชั่นแกมมา (Gamma function)ในป 1823 อาเบล (Niels Henrik Abel)ได
ประยุกตใชแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนกับการหาคําตอบของปญหาการหารูปแบบของการเคลื่อนที่ของลูกปดลงมาตามลวดที่ขึงใน แนวตั้งโดยไมมีความเสียดทานโดยปญหาจะเกี่ยวของกับระยะเวลาสั้นที่สุดในการลื่นลงมาตามลวดซึ่งเปนปญหาในวิชาแคลคูลัสของการ เปลี่ยนแปลง (Variation Calculus) นิยามแรกของ ลีอูวิลลี่ (Liouville)ไดเริ่มจากผลลัพธของอนุพันธที่เขียนใหอยูในเทอมทั่วไปสําหรับ ลําดับใด ๆ โดยฟงกชั่นที่พิจารณานั้นเขียนไดในเทอมของผลรวมของอนุกรมซึ่งมีขอจํากัดที่ลําดับของอนุพันธจะจํากัดอยูเฉพาะกับ อนุกรมที่มีการลูเขา ตอมา อีริค รัซเวล เลอฟ (Eric Russel Love) ไดนิยามอินทิกรัลในรูปของลําดับที่เปนจิตนภาพ และสามารถเขียนให
อยูในรูปของการหาอนุพันธและอินทริกรัลของลําดับใด ๆ เมื่อสวนที่เปนจํานวนจริงมีคามากกวาศูนย ในกรณีที่สวนที่เปนจํานวนจริงมีคา เปนศูนย ฟรานซิส เฮช นอทโอเวอร (Francis H. Northover) ไดอธิบายวาจากนิยามของไลมาน ลีอูลวิลลี่ (Riemann-Liouville definition) สามารถเขียนไดในเทอมของการแปลงฟูเรียร (Fourier transform) จากลําดับที่เปนจิตภาพ
การคํานวณที่เกี่ยวของ
เมื่อไมนานมานี้ไดมีการนําทฤษฎีนี้ไปประยุกตใชกับงานวิจัยทางวิทยาศาสตรและวิศวกรรมและมีการจัดประชุมวิชาการรวมทั้ง การเสนอบทความทางวิชาการที่เกี่ยวของกับวิธีการคํานวณโดยอาศัยแคลคูลัสแบบเศษสวนเพิ่มขึ้น โดยใชประยุกตในการอธิบายหรือ สรางแบบจําลองของระบบที่ไมเปนเชิงเสนซึ่งสามารถอธิบายไดในรูปของสมการเชิงอนุพันธ (Differential Equation) สําหรับสมการเชิง อนุพันธที่อธิบายระบบที่ไมเปนเชิงเสนนั้น ถาสมการไมสามารถหาผลเฉลยโดยวิธีการวิเคราะหได เชน การอินทิเกรทเพื่อหาผลลัพธ
โดยตรงก็สามารถหาผลเฉลยไดจากการคํานวณเชิงตัวเลข (Numerical method) ในการคํานวณโดยวิธีการเชิงตัวเลขสําหรับสมการเชิง อนุพันธที่ลําดับเปนเศษสวนสามารถทําไดหลายวิธี โดยวิธีการคํานวณเชิงตัวเลขที่นิยมใชสําหรับการคํานวณที่ลําดับเปนเศษสวนนั้น นอกจากวิธีการคํานวณโดยอาศัยวิธีการวิเคราะหและวิธีการเชิงตัวเลขแลว ก็สามารถอาศัยการแปลงลาปลาส (Laplace transform) ให
สมการที่อยูในโดเมนของเวลา มาอยูในรูปของโดเมนความถี่ ผลเฉลยของสมการอนุพันธที่ลําดับเปนเศษสวนนั้นจะสามารถเขียนไดใน เทอมของฟงกชั่นทางคณิตศาสตร อยางเชน ฟงกชั่นแกมมา (Gamma function) หรือฟงกชั่นมิทแทก เลฟเฟลอร (Mittag-Leffler function) ไดหรือไฮเปอรจีโอเมตริกฟงกชั่น (Hypergeometric function) นอกจากนี้ก็ยังสามารถหาผลเฉลยหรือคําตอบของสมการไดจากวิธีการ แยกออกเปนสวนยอย ๆ อยางเชน วิธีอโดเมี่ยนดีคอมโพซิชั่น (Adomian Decomposition method) และวิธีการประมาณคาโดยวิธีกาเลอร
กิน (Garlerkin approximation)
ตัวอยางวิธีการคํานวณ
กอนที่จะอธิบายตัวอยางการคํานวณแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวน นั้นมาพิจารณาฟงกชั่นหนึ่งซึ่งมีเกี่ยวของอยางมากในนิยาม ของแคลคูลัสแบบเศษสวน แกมมาฟงกชั่น (Gamma function) เปนฟงกชั่นที่ขยายนิยามมาจากคาแฟคทอเรียล (factorial) ซึ่งเปนคาที่พบ มากในเรื่องวิธีการนับและการเรียงสับเปลี่ยน เชน จํานวนวิธีการเรียงสลับสิ่งของที่แตกตางกัน 5 ชิ้นจะเทากับ 5!=120 วิธี คาแฟคทอเรียล จะมีการกําหนดขึ้นใชอยูเฉพาะคาที่เปนบวก แตฟงกชั่นแกมมาจะเปนสวนขยายของคาแฟคทอเรียล ฟงกชั่นนี้จะมีคาอยูในชวงที่เปนบวก และลบและมีคาเปนอนันตที่จุด -2 และ -1 ดังแสดงในรูปที่ 1
นิยามของแกมมาฟงกชั่น สามารถเขียนไดในเทอมของอินทิกรัล ไดดังนี้
1 0
( )z e t dtt z
∞
− −
Γ =
∫
(1)จากอินทิกรัลนี้จะไดวา n!= Γ +(n 1) ซึ่งสามารถนําไปใชหาเทอมทั่วไปของสัมประสิทธิ์ของการกระจายแบบทวินาม (Binomial coefficient) ไดดังนี้
! ( 1)
!( )! ( 1) ( 1)
n n n
m m n m m n m
⎛ ⎞= = Γ +
⎜ ⎟ − Γ + Γ − +
⎝ ⎠ (2) ถาจําไดถึงการกระจายเทอม (x y+ )nคาสัมประสิทธนี้เปนคาคงที่หนาตัวแปรของการกระจายแบบทวินาม กราฟของฟงกชั่น แกมมาแสดงในรูปจะเห็นวามีคาอยูทั้งในชวงที่เปนบวกและชวงที่เปนลบ คุณสมบัติของฟงกชั่นแกมมาที่นาสนใจคือถาอินทิเกรททีละ สวนสมการที่ (1) ตามนิยาม จะไดวาΓ + = Γ(x 1) x x( )ซึ่งจะไดผลลัพธเปนนิยามคาแฟคทอเรียลดังนี้
(2) 1 (1) 1 1!
(3) 2 (2) 2 1 2!
(4) 3 (3) 3 2! 3!
...
(n 1) n ( )n n n( 1)! n! Γ = ⋅Γ = =
Γ = ⋅Γ = ⋅ = Γ = ⋅Γ = ⋅ =
Γ + = ⋅Γ = ⋅ − = จากกราฟจะเห็นวา 1
( )2 π
Γ = และΓ − = ∞( 2)
-3 -2 -1 1 2 3
-10 -5 5 10
รูปที่ 1 แสดงฟงกชั่นแกมมา (Gamma function)
สําหรับสัญลักษณของอนุพันธที่แสดงลําดับเปนจํานวนเต็มที่ใชในการคํานวณในปจจุบันนั้นกําหนดขึ้นโดยไลซนิซ สําหรับ อนุพันธอันดับที่ 1 จะเขียนไดดังนี้ df x( )
dx อนุพันธอันดับที่ 2 จะเขียนไดดังนี้ d f x2 ( )2
dx และสําหรับอนุพันธลําดับที่ nจะเขียน ไดดังนี้ n ( )
n
d f x
dx ซึ่งความหมายทางกายภาพของอนุพันธนั้นหมายถึงคาความชันของกราฟและอัตราการเปลี่ยนแปลง
ในการคํานวณอนุพันธแบบเศษสวนของฟงกชั่น f x( )สามารถเขียนแทนไดดวยสัญลักษณดังนี้ D f xxα ( ) เมื่อ α แทน เลขที่เปนเศษสวนหรือเลขเชิงซอน ซึ่งจะสอดคลองกับสัญลักษณที่กําหนดโดยไลซนิซ n ( )
n
d f x
dx เมื่อ nแทนดวย α
สําหรับนิยามสําหรับแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวน และเหมาะกับการคํานวณทางตัวเลข (Numerical method) คือนิยามอนุพันธ
ของกุลวาด เล็ทนิคอฟ (Grunwald-Letnikov) โดยนิยามพิจารณาไดจากอนุพันธลําดับที่ 1 ของฟงกชั่น y= f t( ) ดังนี้
0
( ) ( )
( ) lim
h
df f t f t h
f t dt → h
− −
′ = = (3) โดยอาศัยนิยามนี้ จะไดอนุพันธสําหรับลําดับที่ 2 ของฟงกชั่นเปน
2
2 0
( ) ( )
( ) lim
h
d f f t f t h
f t dt → h
′ − ′ −
′′ = = (4)
0
1 ( ) ( ) ( ) ( 2 )
limh
f t f t h f t h f t h
h h h
→
− − − − −
⎧ ⎫
= ⎨ − ⎬
⎩ ⎭ (5)
0
1 ( ) 2 ( ) ( 2 )
limh
f t f t h f t h
h h
→
− − + −
⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭ (6) สําหรับอนุพันธลําดับที่ nของฟงกชั่นจะมีคาเปน
( )
0 0
( ) lim 1 ( 1) ( )
n n
n r
n h n r
d f n
f t f t rh
dt → h = r
= = − ⎛ ⎞⎜ ⎟ −
∑
⎝ ⎠ (7) เมื่อ(
!)
( 1)( 2)...( 1)! ! !
n n n n n n r
r r n r r
⎛ ⎞= = − − − +
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
สําหรับα ≤n เราจะได ( ) ( ) lim0 ( ) ( )
h
f t f t d f dt
α α α
→ = = α (8)
0
( ) lim ( 1) ( ),
n r
a x h
r
D f x h f x rh nh x a
r
α −α α
→∞ =
= − ⎛ ⎞⎜ ⎟ − = −
∑
⎝ ⎠ (9) เมื่อ h เปนชวงเล็ก ๆ ที่มีคาเขาใกลคาอนันต (Infinity) และ αเปนลําดับที่เปนไดทั้งจํานวนเต็มและเศษสวนเริ่มจากฟงกชั่น f x( )=xnเมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็มบวก เราจะไดวาสําหรับอนุพันธลําดับที่mโดยอุปนัยคณิตศาสตรเรา สามารถเขียนไดเปน
!
( )!
m
n m m
d f n
dx n m x
= −
− เมื่อn m≥ (10) ซึ่งสามารถเขียนในเทอมของแกมมาฟงกชั่นไดดังนี้
( 1)
( 1)
n
n n
d x x
dx n
μ μ μ
μ Γ + −
=Γ − + (11) เมื่อ Γ(.)เปนฟงกชั่นแกมมาที่ใชอธิบายเทอมแฟคทอเรียลในกรณีที่เปนเลขที่ไมเปนจํานวนเต็มเมื่อn!= Γ +(n 1)
ตัวอยางที่ 1 การหาอนุพันธแบบเศษสวนของฟงกชั่น f x( )=eaxโดยใชนิยามอนุพันธเศษสวนกุลวาด-เล็ทนิคอฟ ในการคํานวณ
( ( ) )
0 0
0 0
0
lim ( 1)
lim ( 1) ( )
lim ( 1)
ax n a x n h
h n
ax n ah n
h n
ax ah
h ax
D e h e
n
e h e
n
e h e
a e
α α α α
α α α
α α
α
α α
− + −
→ =
− −
→ =
−
→
= − ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
=
∑
∑
ตัวอยางที่ 2 การหาอนุพันธแบบเศษสวนของฟงกชั่น f x( )=xaโดยใชนิยามอนุพันธเศษสวนกุลวาด-เล็ทนิคอฟ ในการคํานวณ
1 a a1
D x =ax − ซึ่งจะพบวาสอดคลองทฤษฎีบทของแคลคูลัสที่ลําดับเปนจํานวนเต็ม
1
0
( ) !
( )!
n a a nn a n
m
D x x a m a x
a n
− − −
=
= − =
∏
− เมื่อ Πแทนผลคูณ( 1)
( 1)
a a a
D x x
a
α α
α Γ + −
=Γ − + สําหรับ αใด ๆ ที่ไมเปนจํานวนเต็มและ 0< <α 1 ตัวอยางที่ 3 อนุพันธแบบเศษสวนของฟงกชั่น f x( ) 1= เมื่อα =1/ 2
1/2 0
(1) 1 Dx
πx
= จากคุณสมบัติของ 1
( )2 π Γ =
ตัวอยางที่ 4 อนุพันธแบบเศษสวนของฟงกชั่น f x( )=xเมื่อ α =1/ 2
1/2 1/2
2
d y x
dx = π (14) ในทฤษฎีแคลคูลัสแบบดั้งเดิมนั้นจะเห็นวาคาอนุพันธของคาคงที่จะเปนศูนยแตในแคลคูลัสที่ลําดับเปนเศษสวนนั้นผลลัพธดัง ในตัวอยางที่ 3 คาอนุพันธของ 1 ที่ลําดับ 1/2 จะมีคาเปน 1
πx
สรุป
แคลคูลัสแบบเศษสวนเปนวิธีการคํานวณอนุพันธและอินทิกรัลที่ลําดับสามารถเปนเลขเศษสวนหรือเลขเชิงซอน คณิตศาสตร
วิชานี้เริ่มขึ้นมาในสมัยเดียวกันกับแคลคูลัสแบบที่ลําดับเปนจํานวนเต็ม แตคณิตศาสตรแขนงนี้เพิ่งจะเริ่มมีบทบาทในทางวิทยาศาสตร
และวิศวกรรมเมื่อไมนานมานี้จากการนําไปการประยุกตใชงานในหลายสาขา นอกจากนิยามที่ยกมาแสดงในตัวอยางขางตนก็ยังมีนิยาม ของนักคณิตศาสตรอื่น ๆ อีกไดแกนิยามแบบของรีมานต (Riemann) และนิยามของคาปูโต (Caputo) ที่ผูสนใจสามารถหารายละเอียด เพิ่มเติมไดจากบรรณานุกรม การศึกษาวิธีการคํานวณโดยวิธีนี้สามารถนํามาประยุกตใชงานไดในอีกหลายสาขาและสามารถประยุกตใช
งานไดอีกหลายเรื่องในหลายสาขา บรรณานุกรม
