ความโคั'งขอ\ทส้นในสเงสสูครเสิยน ท-มิสิ
นาย ไพโรจน์ สัคยธรรน
0 0 2 2 1 1
รทยามิพนธ์น์I{พวนหน์'งขอ'งการสิกษาตามหสักสูตรปรญญารทยาศาสตรมหางruf๒ นพนกรชาครตศาสตร์
ง'1ฬ๒รทยาสัย จุพาล'3กรผมหารทยาสัย พ.ศ. ๒<£«»๙
ON THE CURVATURES OF CURVES IN EUCLIDEAN N-SPACE
Mr. PiroJ Sattayatham
A Thesis Submitted in P a rtia l F ulfillm ent o f the Requirements for the Degree o f Master o f Science
Department o f Mathematics Graduate School Chulalongkorn U niversity
1976
Accepted ๖y the graduate school, Chulalongkorn U niversity in p a rtia l fu lfillm en t o f the requirements for the degree o f master o f scien ce.
(Z
Dean o f the Graduate School
/Ô เ/C $\y^fZ)
Thesis Committee ...f . ... Chairman Af V I c J L t & A - * ' -(/-
{ .C^uvJB-y
5
; .Thesis Supervisor ะ Dr. Sidney ร .M itchell
ติ'วข้อวิทยานิพนร์
พี่อ แผนกวิชา
อ
การติกษานายไพโรจน์ นิ'ตยซรรม คณิตศาสตร์
\ร1๕'9๘
ความโต้จขอจ Iอันในส เปสyคนิ เคียน ท-มิติ
• บท?โดย่อ
จุดบุ่จหมายขอจวิทยานิพนร์ฉง'บนี้ ต้อจการจะขยายทฤษฎีบาจบทฃอจ เส้นโต้จพี่อÿในy ^ เคียน ท-มิติ ไปร'จกรณิพี่เอันโต้จอถู่ในyคสิเคียน ท-มิติ
ในบทต้น ๆ ขอจวิทยานิพนร์ฉมิ'บนี้ เราจะกล่าวนิจความ'เฃั้นพี่,นฐานพี่จวิเป็นเติยจเพี่อจะใช้
เป็น เคพี่อจมิอในการบอกนิ'ก'พนะความโต้จขอจเอัน พี่อถู่ในสเปสyครเคียน ท-มิติ ต่อจากนั้น เราจะติสูจน์ว่า
(ก) อัาฬจช่ปขอจความโต้จ k Ô1(ร) ถูกนิยามสา->1วิ'บทุกค่า j < i ร ท-1 และ (ร) = 0 แล้ว เอันโต้จจะอถู่ในแมนนิโฟล !.fจเอัน i -มิติ
(ข) อัากวิหนดฬจช่'นจานวนจวิจบวก พี่นิยามบนช่วจป็ด |o,l| มาให้ (ท- l) ฟ้จ1สํ'นคีอ k -^jk ^,..., และ k^ ^ โดยสมบุติว่าฬจช่'น k^ อÿในช้น cn_1 1 เมื่อ i มิค1าติจแต่
1 ,2 ,..., นิจ ท-1 แล้ว จะมิเอันโต้จ F พี่มิ k^(ร), k g f s ) ,..., นละ k^ ^(ร) เป็นความ'โต้'งพี่ « > , ความโต้จพี่ ๒ , . . . , และความโต้จพี่ ท-1 ขอจเอันโต้จ F พี่จุค F(s) ตามลาติ'บ โดยพี่ ธ เป็นความยาวขอจเอันโต้จ F เมื่อวัคจากจุดเร์มต้นพี่เหมาะสม และ
เส้นโต้จ F นิ'จกล่าวจะมิเพียจเอันเคียวภายใต้การเคส์อนพี่ในสเปฝัถูคนิเคียน ท-มิติ
Thesis T itle On the Curvatures of Curves in Euclidean n-space
Name : Mr. Piroj Sattayatham Department ะ Mathematics
Academic Year ะ 1975
ABSTRACT
The object of this Thesis is to generalize some Theorems on curves which lie in Euclidean 3-space to more general case, i.e., we shall prove these theorems when our curves lie in Euclidean n-space
In the first part of this Thesis, we develop enough machinery so that we can characterize the curvatures of curve in Euclidean n-space. We then prove that
(a) If the curvature functions k.(ร)axe defined for all i s n-1 and k^(s) =: 0, then the curve is contained in an i-dimensional linear manifold.
(b) If we are given n-1 positive real-valued functions
k^jk^,..., k^ defined on a closed interval jo,L| and if the functions k^ are of class cn * \ i = 1,2,..., n-1. Then there exists a curve F in Euclidean n-space for which k1(ร), kg(ร),..., kn 1(ร) are the first, second,..., and (n-l)th curvatures of the curve at the point F(s)
respectively, where ร is the arc length measured from some suitable
base point. Such a curve is uniquely determined up to a Euclidean motion.
ACKNOWLEDGEMENT
I wish to express here ray sincere gratitude to Dr. Sidney ร.
Mitchell, my thesis supervisor, for introducing me to this Subject and for his valuable assistance in preparing this thesis. Also I thank him for preparing me to understand and possibly solve problems in related areas.
TABLE OF CONTENTS
page ABSTRACT IN THAI... IV ABSTRACT IN ENGLISH... V ACKNOWLEDGEMENT... VI
CHAPTER
I INTRODUCTION ... 1 II PRELIMINARY ... 2 III EUCLIDEAN N-SPACE ... 2k IV HIGHER CURVATURES OF CURVES IN EUCLIDEAN N-SPACE .. 35
V FUNDAMENTAL THEOREM OF CURVES IN EUCLIDEAN
N-SPACE ... 50 APPENDIX ... TO REFERENCES... 78 VITA... 79
