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名 師 課 程 系 列       高 中 數 學 （

一     ） 傅壹數學

高 中  數 學 （一）

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影 音 教 學 講 義

傅 壹 數 學

_1-1 數與數線

1-1-1 數系的介紹與運算性質

【實數的家族】

　 無理數

正整數（

N

）

0

負整數 非整數的分數

【定義】 有理數

!

可表為分數之型態即

q

p

（

p _ 0

，

p

、

q l Z

） 無理數

!

在 中無法表示為分數之型態

【討論】

1

有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數

2

稠密性：某數系任兩相異數之間，至少可插入一

個數，則稱此數系具有稠密性

Ex

3

封閉性：某數系經過某運算後，仍維持在原來的

數系，則稱此數系在此運算具有封閉性

Ex

1

實數與有理數對＋、－、×、÷皆有封閉性

（但除法時分母_

0

）

2

整數對＋、－、×皆有封閉性，但除法沒有

第 1 ^{章 數與式}

-8-

筆 記 欄

0 為 1 2

3 中性數

凡能表為 ， klZ 稱為偶數 若 a，blZ 且

則 a 為 b 的倍數

（b 為 a 的因數）

0 為任何整數之倍 數（除了 0 之外）

高中數學(一) 第 1 章 數與式

9

有理數與無理數的四則運算

教學例題 1

下列敘述何者正確？ 【各校必考題】

A有理數乘以無理數必為無理數

B

若

a

、

b

為正實數，且

a

＋

b

為有理數，

a

－

b

為無理數，則

a

²－

b

²必為無理數

C設 a

＋

b

為有理數，

ab

亦為有理數，則

a

與

b

皆為有理數

D

無理數對於加法有封閉性

E

若

a

為無理數，且

a

＋

b

為有理數，則

a

－

b

必為無理數

〈key〉

一般欲證明無理數!皆用 A ：未必　1若有理數為 0

則 0‧無理數＝0 為有理數 B ：1a＋b 為正數，且為有理數

2a²－b²＝（a＋b）（a－b）必為無理數 C ：反例：（2＋Q3 ）＋（2－Q3 ）＝4

　　　（2＋Q3 ）（2－Q3 ）＝1

D ：反例：（2＋a3 ）＋（2－a3 ）＝4lQ E ：設 a－b 為有理數，

又已知 a＋b 為有理數 2（a－b）＋（a＋b）lQ

! 2alQ ! alQ 與已知矛盾 2a－b 必為無理數

有理數與無理數的四則運算

教學例題 2

a l R

，

a

²¹

l Q

，

a

⁵¹

l Q

，則下列何者為有理數？ 【各校必考題】

A a B a

²

C a

³

D a

⁴

E a

⁶

〈key〉

若 a^mlQ，aⁿlQ 且（mcn）＝k，則 a^klQ

教學例題 3

證明題

若

a

＋

b

，

b

＋

c

，

c

＋

a

均為有理數，試證：

a

，

b

，

c

皆為有理數。 【武陵高中】

1n 1a＋b，b＋c，c＋a 皆為有理數 2（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）lQ

2n a＝（a＋b＋c）－（b＋c）lQ b＝（a＋b＋c）－（a＋c）lQ

解

解

解

整數的運算

教學例題 4

設

a

，

b

都是整數且滿足│

a

－

1

│＋

3

│

b

＋

2

│＝

4

，則此種數對（

a c b

）共有　　　　組。

【北一女中】

│a－1│＋3│b＋2│＝4

4 0 !

1 1 !

22＋4＝6

解

1-1-2 無理係數，有理係數對應相等

【範例

1

】

若

a

，

b

，

c

，

d l Q

，試證：

a

＋

ba2

＝

c

＋

da2 ⇔ a

＝

c

，

b

＝

d

證

1n （#）若 a＝c，b＝d ! a＋ba2 ＝c＋da2 2n （!）1a＋ba2 ＝c＋da2 a，b，c，dlQ

2（a－c）＋（b－d）a2 ＝0 !（b－d）a2 ＝c－a

1 當 ：a2＝ c－a b－d lQ 矛盾（1a2 為無理數）

2 當 ：0‧a2 ＝c－a 20＝c－a ! a＝c

又 b－d＝0　2b＝d 2由 1n，2n故得證

【範例 2】

若

a

，

b l Q

，試證：

a

＋

ba2

＝

0 ⇔ a

＝

b

＝

0

證

1n（#） a＝0，b＝0 ! a＋ba2 ＝0 2n（!）1a＋ba2 ＝0，a、blQ 2ba2 ＝－a

1 若 b_0，則 a2 ＝－a

blQ　2矛盾

2 若 b＝0，則 0‧a2 ＝－a 20＝－a　2a＝0 由 1n，2n得證

方程式的解

教學例題 1

a

，

b l Q

，若（

3

＋

a5

）

a

－（

7

－

3a5

）

b

＝－

9

＋

13a5

，則數對（

a c b

）＝　　　　。

【各校必考題】

原式!（3a－7b）＋a5 （a＋3b）＝－9＋13a5 1－2×3 !－16b＝－48 2b＝3 代入1! a＝4 2（acb）＝（4c3）

解

高中數學(一) 第 1 章 數與式

11

方程式的解

教學例題 2

設

a

為有理數，且方程式

x

²－（

2

－

aa3

）

x

－

3

＋

2a3

＝

0

有一正有理根，

則

a

＝　　　　。 【臺中一中、師大附中】

1n 令此正有理根為α

則α²－（2－aa3 ）α－3＋2a3 ＝0 2（α²－2α－3）＋a3 （aα＋2）＝0 2n

由1!（α－3）（α＋1）＝0　2α＝3 或－1 1正有理根　2α＞0　2α＝3

代入2! 3a＋2＝0　2a＝－2 3

解

1-1-3 有限小數的條件

有限小數

（ ₂

^a‧

ⁿ 5

^b，

a

、

b l N k

｛

0

｝，

n l Z ）

循環小數與有理數

教學例題 1

下列何者可化為有限小數？ 【景美女中】

A 283

350

　　　

B 63

128

　　　

C 147

168

×

125

　　　

D 149

21

×

40

　　　

E 56 25

⁹

1有限小數!最簡分數之分母為 2^α×5^β A ：350＝7×2×5²

B ：128＝2⁷

C ：168＝2³‧3‧7，147＝3‧7² 2 147

168×125＝ 3‧7²

2³‧3‧7‧5³＝ 7 2³‧5³

D ：21＝3×7，149 不是 3、7 的倍數 E ：25⁹＝5¹⁸

解