圓錐曲線的光學原理 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.04.13 範

圍

1-5圓錐曲線的光學 性質

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題10分 )

1、 設拋物線Γ:y² =4x,與Γ的軸平行光射向點A(2, 2 2)後，反射到B點，再反射出去，

則(1)B點坐標為__________.(2)第二次反射後，光所在直線方程式為______________.

(3)令O為頂點，則OAB的面積為____________.

答案：(1) ¹, 2 2

 − 

 

 , (2)y= − 2, (3)^{3 2} 2 解析：設B t( , 2 )² t ,焦點F(1, 0),頂點O(0, 0),

∵A F B, , 三點共線⇒m_FA =m_FB,

則 ²

2

2 2 0 2 0

2 2 0 ( 2 1)( 2) 0

2 1 1

t t t t t

t

− = − ⇒ − − = ⇒ + − =

− −

2

⇒ =t 或( ¹ ) 2

− ,故 ¹, 2 B2 − 

  ⇐取 1

2 t= −

第二次反射後，光所在直線方程式為過B的水平線y= − 2.

∵ 1

(2, 2 2), , 2

OA



= OB



=2 − _,則 ^{1 2 2 2 3 2}

2 1 2 2

2

OAB= =

│ − │

 .

2、 設橢圓

2 2

( 1) ( 2)

: 1

16 12

x− y−

Γ + = 上的點P(3, 5),F F₁, ₂為其二焦點，則 (1)∠F PF_{1 2}的內角平分線方程式為_____________.

(2)∠F PF_{1 2}的外角平分線方程式為_____________.

答案：(1)2x− =y 1, (2)x+2y=13 解析：

2 2

( 1) ( 2)

: 1

16 12

x− y−

Γ + =

過切點P(3, 5)的切線方程式為^{(3 1)( 1) (5 2)( 2)} 1 2 13

16 12

x y

x y

− − − −

+ = ⇒ + =

(1)∠F PF_{1 2}的內角平分線為過P點的法線，法線方程式為2x− =y 1 (2)∠F PF_{1 2}的外角平分線為過P點的切線，切線方程式為x+2y=13. 3、 設P(1, 1)− 為橢圓Γ: 5x²−6xy+5y² =16上一點，則

(1)過P的切線方程式為______________.

(2)令F F₁, ₂為Γ的二焦點，則∠F PF_{1 2}的內角平分線方程式為_____________.

答案：(1)x− =y 2, (2)x+ =y 0

解析：(1)過切點P的切線方程式為5 1 6[^{1 ( 1)}] 5( 1) 16 2

y x

x ⋅ + − y

⋅ ⋅ − + − = ，故切線為x− =y 2. (2)∠F PF 的內角平分線為過P的法線為x+ =y 0.

4、 設F(5, 0), ( 5, 0)F′ − 為橢圓Γ的兩焦點，直線L x: +3y=15為其一切線，則

(1)把L看成一面鏡子，而自焦點F射到橢圓Γ與L的交點A(即切點)的光線經L反射到 F′,則A點坐標為__________,Γ的方程式為_____________.

(2)自F與F′作切線L的垂足分別為H K, ,則梯形FHKF′的面積為_______,周長為___.

答案：(1)(3, 4),

2 2

45 20 1

x y

+ = , (2)45, 6 10 10+

解析：(1)作F對於L的對稱點 (5, 0) 2 ^{5 0 15}_{2 2} (1, 3) (7, 6) 1 3

P⇒ − × + − × =

+ ,

0 0 6

: 2 5

5 5 7

PF y x y

x

− −

′ = ⇒ − = −

+ − −



,解 2 5

(3, 4) 3 15

x y x y A

− = −

 ⇒

 + =

 切點 .

( ∵P A F′, , 三點共線，故PF′

與L的交點即為切點 ) 由a² =b²+c² ⇒設Γ的方程式為

2 2

2 2 1

25

x y

b +b =

+ ,

過 (3, 4) ₂ ^{9 16}₂ 1 A 25

b b

⇒ + =

+ 去分母解得b² =20,亦即a² =45,c² =25 Γ的方程式為

2 2

45 20 1 x y

+ = .

(2) (2, 4) ( 8, 4)

cos 0

20 80 AF AF

FAF

AF AF

⋅ ′ − ⋅ − −

∠ ′= = =

  ′

   

^{⇒ ∠FAF′= °90 ,}

梯形FHKF′的面積為a²sin 90° =45,

周長為 2 (cos⁹⁰ sin⁹⁰ ) 2 6 10 10

2 2

FF′+F K′ +KH+FH = a °+ ° + c= + . 5、 設F F, ′為雙曲線

2 2

: 1

16 4 x y

Γ − = 的兩焦點,P(4 2, 2)為其上一點，則∠FPF′的內角平分 線方程式為__________________.

答案： 2x−2y=4

解析：∠FPF′的內角平分線，亦即過P的切線方程式，即^{4 2 2} 1 2 2 4.

16 4

x y

x y

− = ⇒ − =

6、 試求2x²−7xy+3y²+3x+ − =y 2 0所表兩直線之銳夾角___________.

答案：45°

解析：2x²−7xy+3y²+3x+ − =y 2 0⇒(2x− −y 1)(x−3y+2)=0 L¹: 2x− − = ⇒y 1 0 m₁ =2, L₂:x−3y+ = ⇒2 0 ₂ ¹

m =3,

1 2

1

1 5

2 3 3

tan 1

1 5

1 1 2

3 3

m m

θ = ± −m m = ± − = ± = ±

+ + ⋅

, ∴θ = °45 或135°, 所求銳夾角為45°.

7、 如圖所示，橢圓

2 2

: 1

8 4

x y

Γ + = 上一點P x y( ,_{0 0}),過P作切線L x: + 2y=4,若兩焦點F₁、 F2在 切 線 L上 之 正 射 影 分 別為Q、 R,則△PQF₁與

PRF2

△ 的面積比為_______.

答案：1：9 解析：Sol一

∵P x y( ,_{0 0})在Γ:x²+2y² =8上，

切線為L x x: ₀ +2y y₀ =8與L x: + 2y=4同一直線

0 2 0 8

1 2 4

x y

⇒ = = ⇒x₀ =2,y₀ = 2 ⇒P(2, 2),

又a² =8,b² = ⇒ =4 c a²−b² = ⇒2 F₁(2, 0),F₂( 2, 0).−

又△PF Q₁ 與△PF R₂ 中，∠F PQ₁ = ∠F PR₂ (光學性質)，且∠PQF₁ = ∠PRF₂ = °90 ,

∴ △PF Q₁ △PF R₂ (AA),

2 2

1 1

2 2

2 2

2 2 1

18 9

4 2

PQF PF

PRF PF

 

=  = = =

+

 

△

△ , ∴所求1: 9.

Sol二

2 2 2 2

1 2

8, 4 2 (2, 0), ( 2, 0).

a = b = ⇒ =c a −b = ⇒F F − PF Q1

△ 與△PF R₂ 中，∠F PQ₁ = ∠F PR₂ (光學性質)，且∠PQF₁ = ∠PRF₂ = °90 ,

∴ △PF Q₁ △PF R₂ (AA),

2 2 2

1 1 1 2

2 2 2

( , ) | 2 0 4 | 1 1

( , ) | 2 0 4 | ( )3 9

PQF QF d F L

PRF RF d F L

     + − 

=  =  = − + −  = =

△

△ 8、 已知A點在雙曲線

2 2

: 1

8 8

x y

Γ − = 上，若由焦點F(4, 0)射至A點的光線被雙曲線Γ反射，

且反射光通過P(8, 3 2),則A點坐標為___________.

答案：(4, 2 2) 解析：

取另一焦點F′ −( 4, 0),

依光學性質知 : ^{0 3 2 0}

4 8 4

PF y x

− −

′ =

+ +



4y 2x 4 2

⇒ = +

2 2

y 4 x

⇒ = + ,

代入Γ:x²−y² =8得

2

2 2

2 8

x  4 x 

− +  =

2

2 2 8

8

x x x 

⇒ − + + =

 

7 2

10 0 8

x x

⇒ − − =

7x2 8x 80 0

⇒ − − = ⇒(x−4)(7x+20)=0⇒ =x 4, 20

− 7 (不合)⇒ =y 2 2, A(4, 2 2).

9、 設F,F′分別為橢圓9x²+4y² =36的兩焦點,P為橢圓上任一點，且∠FPF′的平分線斜

率為¹

2,則過P點的切線方程式為________或__________.

答案：2x+ =y 5,2x+ = −y 5 解析：

FPF′

∠ 的平分線為法線，其斜率為¹ 2 又切線_垂直法線L ⇒m_= −2.

設切點P x y( ,_{0 0})⇒9x₀²+4y₀² =36,

且: 9x x₀ +4y y₀ =36⇒4y y0 = −9x x0 +36 ⁰

0 0

9 9

4

y x x

y y

 

⇒ = −  +

  ,

切線斜率 ⁰

0

2 9 4

x

− = − y ₀ 9 ₀ y 8x

⇒ =

，切點 ( ,_{0 0}) ( ,₀ ⁹ ₀) P x y = x 8x 代入橢圓得

2

2 0

0

9 4 9 36

8 x +  x  =

 

2

2 0

0

9 81 36

16 x x

⇒ + = ⇒25x₀² =64 ₀² 64 x 25

⇒ =

0

8 8 5, 5

⇒x = − , ∴ ₀ ⁹, ⁹. 5 5

y = − ∴ ^{8 9}, P5 5

 

 或 ⁸, ⁹ 5 5 P− − , 故切線為9 ⁸ 4 ⁹ 36

5x 5 y

⋅ + ⋅ = 或9 ⁸ 4 ⁹ 36

5x 5y

− + − =

   

   

8x 4y 20

⇒ + = 或− −8x 4y=20⇒2x+ =y 5或2x+ = −y 5.

10、設一雙曲線的兩焦點為F(0, 2)− 與F′(8,10),又此雙曲線與x軸 相切，則雙曲線之貫軸長為____________.

答案：8 2

解析：F(0, 2)− 關於切線x軸之對稱點F₁(0, 2), 依光學性質知F F P′, ₁, 三點共線.且

∴ F F₁ ′ = PF′−PF₁ = PF′ −PF =2a = 8²+8² =8 2.

11、 如圖，拋物線Γ:y² =12x之焦點為F,P∈Γ且PF =7,若過P 作Γ之切線L,交x軸於Q點，則 +FP FQ

 

=_{______.}

答案：2 21 解析：

4c=12⇒ =c 3, 準線L x: = −3, 設P t(3 , 6 )² t ,PF² =49=(3t²−3)²+(6 )t ²

4 2 2 2

9t 18t 40 0 (3t 10)(3t 4) 0

⇒ + − = ⇒ + − =

2 4

t 3

⇒ = 2

t 3

⇒ = , ∴P(4, 4 3).

過P作L₁平行x軸，由光學性質知PF =QF(等腰三角形), 設L₁與準線交於R( 3, 4 3)− ,由定義知PF =PR,

∴四邊形PFQR為菱形. ∴ +FP FQ

 

_{= FR}



_{= 6}²_{+(4 3)}² _{= 84 =2 21.}

12、設拋物線Γ:y² =4x與一直線L :x−2y− =1 0相交於A，B二點，則AB之長為______.

答案：20

解析：設A x y( ,_{1 1}), ( ,B x y_{2 2}),

2 4

2 1 0

y x

x y

 =

 − − =

 ⇒ y²−8y− =4 0二根y y₁, ₂且 ^{1 2}

1 2

8 4 y y y y

+ =

 = −



⇒(y₁−y₂)² =(y₁+y₂)²−4y y_{1 2} =8²− × − =4 ( 4) 80 又直線斜率為 ^{1 2} _{1 2 1 2}

1 2

1 2( )

2

y y

x x y y

x x

= − ⇒ − = −

−

∴AB= (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² = 5(y₁−y₂)² = 5× 80=20

13、設O表原點.有一直線L過一點P(1,2)而交拋物線Γ:x² =4y於相異二點A、B，且 OA⊥OB，若設A(2t ,t²)，t > 0，B(2s,s²)，s≠0，則

(1)ts=______ (2)直線L的方程式為_____________.

答案：−4, y= − +2x 4

解析：∵OA⊥OB⇒OA OB

 

⋅ =0 _∴(2 , ) (2 ,t t² ⋅ x s²)= ⇒0 4ts t s+ ^{2 2}= ⇒0 ts(4+ts)=0 但ts≠0 ∴ts= −4

又A、P、B三點共線

2 2

2 1 2

2 1 2

t t

s s

− −

⇒ =

− − ， ∴2ts²− − −4t s² 2st²+ +t² 4s=0

2 2 2 2

8s 4t s 8t t 4s 0 (t s ) 4(t s) 0

− − − + + + = ⇒ − + − = (t s)[(t s) 4] 0

⇒ − + + = 但s≠ ⇒ + = −t s t 4

∴直線L之斜率

2 2

( )( )

2 2 2( ) 2 2

s t s t s t s t

s t s t

− = − + = + = −

− −

∴L之方程式為y− = −2 2(x−1)即y= − +2x 4

14、試求與直線3x+2y=1垂直又與拋物線Γ:y²−3x+2y+ =1 0相切的直線之方程式為__.

答案：16x−24y+ =3 0

解析：拋物線( 1)² 3 ( 1)² 4 ³( 0)

y+ = x⇒ y+ = ⋅4 x− 之由切線公式 1 ( 0) c

y m x

+ = − +m 斜率為²

3，切線為

3

2 4

( 1) ( ) 3 2

3

y+ = x + ，即16x−24y+ =3 0

15、拋物線x² =4y上有一弦，其中點為(1,2)，則此弦之方程式為_______________，又其 弦長為_____________.

答案：x−2y+ =3 0, 35

解析：x² =4y上有一弦，PQ之中點為(1,2)，設P x y( , )，Q(2−x, 4−y)分別代入x² =4y

⇒ x² =4y……，(2−x)² =4(4− ……y) 

 - 得4x− =4 8y−16⇒ −x 2y+ =3 0

2 4

2 3 0

x y

x y

 =

 − + =

 ⇒設 x²−2x− =6 0二根x x₁, ₂且 ^{1 2}

1 2

2 6 x x x x

+ =

 = −

 , 此時設P x y( ,_{1 1}),Q x y( ,_{2 2}),

2 2

1 2 1 2 1 2

(x −x ) =(x +x ) −4x x == − × − =4 4 ( 6) 28

∴直線斜率 ^{1 2} _{1 2 1 2}

1 2

1 1

( )

2 2

y y

y y x x

x x

= − ⇒ − = −

−

∴弦長 _{1 2} ² _{1 2} ² 5 _{1 2} ²

( ) ( ) ( )

PQ= x −x + y −y = 4 x −x = ⁵ 28 35

= 2 × =

16、過點(3,−2)作拋物線y² =4ax之弦，試求諸弦中點的軌跡______________.

答案：y²+2y+6a−2ax=0

解析：設弦所在直線y+ =2 m x( −3)

2 4

2 ( 3)

y ax

y m x

 =

 + = −

 ⇒ y+ =2 m( ² 3) 4 y

a − ⇒my²−4ay−12am−8a=0

∴y₁ y₂ ^4a

+ = m ， ^{1 2 2} 2

y y a

m

+ = ，又中點( ^{1 2}, ^{1 2})

2 2

x +x y +y

在直線y+ =2 m x( −3)上 代入 ^{1 2} 2 ( ^{1 2} 3) ^{1 2} 3 ¹ (2 ^{1 2})

2 2 2 2

y y x x x x y y

m m

+ + + +

+ = − ⇒ = + +

∴ ^{1 2} 3 ^{2 2}₂ 2

x x a

m m

+ = + + ，設諸弦中點為(x,y)，

其中 ^{1 2} 2 y y

y= + ∴ 2a m= y ， ¹

2 y m= a

∴ ^{1 2} 2 x x

x +

= ，

2 2

2 2

3 2 4

y ay

x= + a + a ⇒ y²+2y+6a−2ax=0

17、過點(3,4)與橢圓4x²+9y² =36相切的直線方程式為______和______.

答案： 4 ¹( 3)

y− = 2 x− , x=3 解析：

2 2

2 2

4 9 36 1

9 4

x y

x + y = ⇒ + = ,橢圓切線為y=mx± 9m²+4， 代入(3,4)得4=3m± 9m²+4， ¹

m=2 ∴切線為 4 ¹( 3)

y− =2 x− 和x=3

18、設橢圓2x²+y²+4x=6與直線x−2y+ =k 0相切，則k=________或________.

答案：7, –5 解析：橢圓

2 2

2 2 ( 1)

2( 1) 8 1

4 8

x y

x+ +y = ⇒ + + = ，切線為y=m x( + ±1) 4m²+8 又斜率 ¹

m= 2，得 ¹( 1) 9

y= 2 x+ ± ⇒ x−2y+ =7 0或x−2y− =5 0，∴k =7或–5

19、自橢圓外一點 P(3, 3− )作橢圓

2 2

( 1) ( 2)

4 25 1

x+ y−

+ = 之兩切線與橢圓相切於二點 A、B，

若A為橢圓之頂點，則A點坐標為__________又AB直線方程式為____________.

答案：(−1, 3− ), 5x− + =y 2 0

解析：設橢圓外一點P(3, 3− )作橢圓之兩切線，切點弦AB之直線方程式為 (3 1)( 1) ( 3 2)( 2)

4 25 1

x y

+ + + − − − = ⇒5x− + =y 2 0

2 2

( 1) ( 2)

4 25 1

5 2 0

x y

x y

 + −

+ =



 − + =



⇒5x² +2x− =3 0， ³

x= 5或–1，∴A(−1, 3− )

20、若直線x+ =y 2與橢圓4x²+9y² =36相交於P、Q二點，則PQ之中點坐標為_______.

答案：(^{18 8}, ) 13 13 解析： _{2 2} 2

4 9 36

x y

x y

 + =

 + =



13x2 36x 0 x(13x 36) 0

⇒ − = ⇒ − = ⇒ x=0或 ³⁶ x=13，

P、Q中點x坐標 0 36

13 18

2 13

+ =

代入 2 2 ^{18 8} 13 13

x+ = ⇒ = −y y = ，即^PQ中點坐標為(¹⁸ 13, ⁸

13) 21、與雙曲線

2 2

( 5) ( 2)

: 1

63 28

y− x−

Γ − = 相交於一點P(8, 7− )的直線之方程式為____________.

答案：9x+8y=16

解析：即切線為^{( 7 5)( 5) (8 2)( 2)} 1

63 28

y x

− − − − − − = ⇒9x+8y=16

22、過雙曲線4x²−y²−8x−2y− =9 0上一點(3,1)的切線方程式為______________.

答案：4x− − =y 11 0

解析：切線為4 3⋅ ⋅ − ⋅ −x 1 y 4(x+ −3) (y+ − =1) 9 0⇒4x− − =y 11 0

23、斜率為3而與雙曲線

2 2

( 2) ( 1)

25 100 1

x− − y+ = 相切的直線之方程式為________和_________.

答案：y=3x− +7 5 5, y=3x− −7 5 5

解析：設切線為(y+ =1) m x( − ±2) 25m²−100，m=3代入

∴y=3x− +7 5 5和y=3x− −7 5 5

24、設雙曲線y²−5x²−2y−10x=9與x− + =y k 0相切，則k=_________或__________.

答案：4, 0 解析：雙曲線

2 2

( 1) ( 1)

1 5 1

x+ y−

− + = 切線y− =1 m x( + ± −1) ( 1)m²+5

斜率為1，切線為y− =1 (x+ ± − +1) 1 5 ⇒ x− + =y 4 0或x− =y 0，∴k=4或0 25、若x²−3y²+12y−25=0的一切線為4x−3y− =7 0，則其切點坐標為___________.

答案：(4 , 3) 解析：

2 2

3 12 25 0

4 3 7 0

x y y

x y

 − + − =

 − − =

 ⇒ x²−8x+16=0 ∴x=4, y=3，切點為(4 , 3) 26、若雙曲線

2 2

4 1 1 x y

− = 上有一弦，其中點坐標為(4,1)，則此弦之方程式為_____________，

又其弦長為___________.

答案：x− =y 3, ⁸ 3 3

解析：雙曲線上有一弦PQ，其中點坐標為(4,1)，設P(x , y)，Q(8 – x , 2 – y)代入

2 2

4 1 1 x − y =

∴

2 2

4 1 1 x y

− = 

2 2

(8 ) (2 )

4 1 1

x y

− −

− = 

−

 得 16x−64 16− y+16=0 ⇒ x− =y 3

2 2

4 1 1 3 x y x y

 − =



 − =



⇒−3y²+6y+ =5 0 其二根為y₁，y₂且

1 2

1 2

6 2

3 5

3 y y y y

 + = − =

 −

 =

 −



⇒ _{1 2} ² _{1 2} ² _{1 2} ² 5 32

( ) ( ) 4 2 4 ( )

3 3

y −y = y +y − y y = − × =

− ⇒ _{1 2} 32

y −y = 3 又直線斜率為 ^{1 2} _{1 2 1 2}

1 2

1 y y

x x y y

x x

= − ⇒ − = −

−

∴弦長PQ= (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² = 2(y₁−y₂)² = 32 8

2 3

3 3

× =

27、坐標平面上，當點P=( , )x y 在曲線y²+2xy+x²−2x+6y+ =1 0上變動時，點 P 到直 線x− + =y 4 0的距離的最小值等於___________.

答案：2 2

解析：

設平行

x− + =y 4 0

和曲線相切的直線為

0x− + =y k y x k

⇒ = + 代入二次曲線⇒x²+2 (x x+ + +k) (x k)²−2x+6(x+ + =k) 1 0

2 2

4x (4k 4)x k 6k 1 0

⇒ + + + + + =

⇒

因為兩者相切

, ∴D=0⇒(4k+4)²− ⋅4 4(k²+6k+ =1) 0

0 0

k x y

⇒ = ⇒切線為 − =

⇒P到直線x− + =y 4 0距離最小值即為兩平行線 4 0 0 x y x y

− + =

 − =

 的距離 4 0

2 2 1 1

= − = + 28、過P(1, 2)之直線與y² =8(x−1)僅有一交點，則此直線方程式為________________.

答案：y=2, x=1, y= +x 1

解析：僅有一個交點有兩種情形：(1)平行對稱軸的水平線，(2)切線.

(1)若為水平線時，此直線方程式為y=2.

(2)若為切線時，4c=8, 2c=

∴方程式為y m x( 1) ²

= − +m過(1, 2)， 2 ² m 1

= m⇒ =

∴

(另一條則為鉛直線)

∴切線L y: − = ⋅ − ⇒ = +2 1 (x 1) y x 1，另一條切線為x=1.

29、雙曲線x²−y² =4上任一點P作切線交兩漸近線於A, B，則△OAB面積是__________.

答案：4 解析：

2 2

2 2

4 1

4 4

x y

x −y = ⇒ − = ，二漸近線^{y= ±( 2}₂^{)x⇒ = ±y x} 設切點P(2 sec , 2 tan )θ θ ，∴切線L: secθx−tanθy=2

sec tan 2 2 2

: ( , )

0 sec tan sec tan

x y

A A

x y

θ θ

θ θ θ θ

− =

 ⇒

 − = − −



sec tan 2 2 2

: ( , )

0 sec tan sec tan

x y

B B

x y

θ θ

θ θ θ θ

− =

 −

 + = ⇒ + +



∴△OAB面積

2 2

1 sec tan sec tan

2 2

2

sec tan sec tan

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− −

= −

+ +

¹ ₂ ⁴ _{2 2} ⁴ ₂ ¹ 4 4 4

2 sec θ tan θ sec θ tan θ 2

− −

= − = − − =

− −

30、點P(3, )a 為拋物線x²+4y=0外一點，自點 P 作拋物線的兩條切線，此二條切線會互 相垂直，則a=_______.

答案：1

解析：x² = −4y之切線為y=mx+m²代入(3,a)⇒m²+3m a− =0二根m₁,m₂ 又過P點兩切線垂直⇒m m_{1 2} = −1 ∴ 1

1

−a = − ，a=1

31、試求與拋物線 ^{1 2}

y= 4x 相切，且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式為______________，

其圖形為___________.

答案：y= −1, 一水平直線

解析：x² =4y之切線為y=mx m− ²代入點P x y( , ) ⇒m²−mx+ =y 0二根m₁,m₂ 其過P點之兩切線互相垂直⇒m m₁⋅ ₂ = −1 ∴ 1

1

y = − ，y= −1，其圖形為一水平直線 32、在第一象限內直線L與橢圓4x²+25y² =100相切於P，且與兩坐標軸分別交於A，B兩

點，設O為原點，則△OAB面積之最小值為__________，又此時P點坐標為___________.

答案：10, (^{5 2} 2 , 2 ) 解析：

2 2

2 2

4 25 100 1

25 4 x y

x + y = ⇒ + =

設切點P為(5cosθ，2sinθ)，則切線方程式為2 cosθx+5sinθy=10

∴ ( ⁵ , 0) A cos

= θ , (0, ² ) B sin

= θ

∴∆ABO面積 ^{5 10} 10 sin cosθ θ sin 2θ

= = ≥

(− ≤1 sin 2θ ≤1 )

∴最小值為10，此時sin 2θ =1，θ = °45 ∴P(^{5 2} 2 , 2 ) 33、過橢圓

2 2

8 2 1 x y

+ = 上一點P的切線與兩坐標軸分別交於A、B兩點，則AB之最小值為

_______，在第一象限內，產生AB的最小值之P點坐標為______________.

答案：3 2 , (^{4 3}, ⁶)

3 3

P

解析：設P=(2 2 cos , 2 sin )θ θ ，切線為^{2 2}cos ²sin 1 8 θx+ 2 θy=

∴ (^{2 2} , 0) A cos

= θ , (0, ² ) B sin

= θ , 8₂ 2₂

cos sin

AB⁼ θ ⁺ θ

由柯西不等式 ( ⁸₂ ²₂

cos θ ⁺sin θ )(cos²θ +sin²θ)≥(2 2+ 2)² ∴AB ≥3 2 AB之最小值3 2，此時 ^{cos sin}

2 2 2

cos sin

θ θ

θ θ

= ⇒cos²θ =2 sin²θ

又cos²θ +sin²θ = ⇒1 ² 2

cos θ =3, sin^{2 1}

θ =3 2 1

cos , sin

3 3

θ θ

⇒ = =

∴ (^{4 3}, ⁶)

3 3

P

34、設橢圓兩焦點分別為(4,0)，(−4,0)又其上有一切線方程式為4x+3y=41，則此橢圓之 長軸長為__________，又其橢圓方程式為________________.

答案：2 73 ,

2 2

73 57 1 x y

+ =

解析：設F(4,0)，F′(−4,0)，P為切點

其中F(4,0)對4x+3y=41之對稱點H為(4,0) 2 ^{( 25)}(4, 3) (12, 6) 25

− × − =

∴長軸長2a=PF+PF′=HF′為 16²+6² =2 73⇒ =a 73

2 10 5

FF′ = c= ⇒ =c ；b² =a² −c² =57 ，∴橢圓方程式為

2 2

73 57 1 x + y =

35、設F(5,0)，F′( 5− ,0)為雙曲線Γ的兩焦點，3x−4y= −10與Γ相切，則Γ的貫軸長為____，

又Γ的方程式為____________________.

答案：4 5 ,

2 2

20 5 1 x y

− =

解析：F(5,0)對3x−4y+10=0之對稱點H為(5, 0) 2 ²⁵(3, 4) ( 1,8)

− ×25 − = −

∴貫軸長2a=PF′−PF =HF′ = 4²+8² =4 5⇒ a=2 5, c=5，b= c²−a² = 5，

∴雙曲線為

2 2

20 5 1 x − y =

36、坐標平面上給定點 ( , 2)⁹

A 4 、直線L y: = −5與拋物線Γ:x² =8y.以d P L( , )表示點P到 直線L的距離.若點P在Γ上變動，則 d P L( , )−AP之最大值為_______.(化成最簡分數) 答案：²¹

4

解析：拋物線Γ:x² =8y= ⋅4 2y的焦點F(0, 2)，準線L′:y= −2依題意作圖.

由拋物線的定義可知：拋物線線上任一點到焦點的距離與到準線的距離相等.

( , )

d P L′ ′ −AP′ = P F′ −AP′ ≤AF = PF−AP = d P L( , ′)−AP ， 故 d P L( , ′ −) AP 之最大值發生於P，最大值為 ⁹

AF= 4.

9 21

( , ) ( , ) ( , ) 3

4 4

d P L −AP = d P L′ −AP +d L L′ ≤ + = ， 即 d P L( , )−AP 之最大值為²¹

4 .