高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.12.16 班級
範
圍 4-1圓方程式+Ans 座號
姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)
1、( D ) 與x軸相切且半徑為2的圓方程式，若圓心為(h,k)則下列何者恆為真？ (A)h=2
(B)k =2 (C) h =2 (D)k =2 (E)h=k
2、( AC ) 設一圓通過A(5, 1), B(3,−1)兩點且圓心在直線x−2y+ =2 0上，則此圓方程式為
，則（複選） (A)
2 2
0
x +y +dx+ey+ =f d = −4 (B)e=4 (C) (D)圓心坐標為(2,−2) (E)半徑為10
2 f = −
解
解析析：令：令圓圓心心OO((22tt−−22,, tt))，，∴∴OA=OB
∴
∴(2t− −2 5)2+ −(t 1)2 =(2t− −2 3)2+ +(t 1)2⇒t=2
∴圓∴圓心心OO((22,, 22))，，半半徑徑r=OA= 10，∴，∴圓圓：：(x−2)2+(y−2)2 =10
，∴，∴
⇒ x2+y2−4x−4y− =2 0 d = −4,,e= −4,,f = −2。 。
3、( B ) 設二元二次方程式 為圓方程式，則下列何者非真？
(A) (B) (C)圓心(
2 2
0 ax +bxy−y +dx ey+ + =f 1
a= − d2+ −e2 4f >0
2 d ,
2
e) (D) (E)此圓之半徑為
0 b=
2 2
4 4
d e
f + + 解
解析析：令：令a= −1，，b= ⇒0 − −x2 y2+dx+ey+ =f 0 ( )2 ( )2 2 2
2 2 4
d e d
x y f
⇒ − + − = + +
4 e
∴圓∴圓心心為為(( 2 d ,,
2
e )，)，半半徑徑為為
2 2
4 4
d e
f + + ∴∴d2 + +e2 4f >0
4、( B ) 圓 之中心及半徑為
(A)(
2 2
2x +2y −6x+2y− =5 0 3
2,1
2); 5 (B)(3 2,−1
2); 5 (C)(−3 2,1
2); 5 (D)(3 2,1
2);5
2 (E)(3 2,−1
2);5 2 解
解析析：：2( 3)2 2( 1)2 5 9 1；；
2 2 2 2
x− + y+ = + + 3 2 1 2
( ) ( ) 5
2 2
x− + y+ =
5、( CD ) 若方程式x2+y2+2(m−1)x−2my+3m2− =2 0之圖形表一圓，則m的範圍為 α < <m β 且當m=γ 時，此圓有最大半徑為δ ，則（複選）
(A)α= −1 (B)β =3 (C)γ = −1 (D)α β γ+ + = −3 (E)δ =4
解析解析：：
[
x+(m−1)]
2+(y−m)2 = −3m2+2+(m−1)2+m2 = −m2−2m+3= −(m+1)2+4∴∴ ，其，其圖圖形形為為圓圓
∴∴m m
∴∴
2 2 3
m m
− − + >0 + − < ⇒
2 2 3 0 − < <3 m 1 γ2 = −(m+1)2+ ≤4 4⇒γ ≤2
∴∴α = −3,,β =1,,γ = −1,,δ =2, , ∴∴α β γ+ + = − + − = −3 1 1 3 二. 填充題 (每題 10 分)
1、設圓C1 :x2+y2+4x+2y− =8 0與直線x+ =y 2相交於A, B兩點，又圓C為通過A, B 兩點，且與x軸相切之圓方程式，則圓C的方程式為______或______。
答
答案案：：x2+y2−2y=0; ; x2+y2−8x−10y+16=0
2
x y x y
x y
⎧ + + + − =
⎩ + = ⇒
解析解析：：⎨
2 2
4 2 8 0 0
2 x y
⎧ =
⎨ =⎩ 或或 1 1 x y
⎧ =
⎨ =⎩
AB之中之中垂垂線線為為y= +x 1 ∴∴設設圓圓心心為為( ,t t+1)，半，半徑徑為為t+1
∴∴t 或或4 4 (1(1)) 時，時，圓圓CC為為
(2(2)) 時，時，圓圓CC為為
2 2 2
( 1 2) ( 1)
t + + −t = +t =0
0 0
t= x2+y2−2y=0 4
t= x2 +y2 −8x−10y+16=0
2、一圓通過A(3, 2)與B(−1,4)兩點並且圓心在直線2x+ + =y 3 上，則此圓的圓心為______， 半徑為______。
答案答案：(：(−−11,,−−11));; 55 解
解析析：：AB之中之中垂垂線線為為y− =3 2(x−1)與與2x+ + =y 3 0，，相相交交於於((−−11,,−−11))，，即即為為圓圓心心，，半半徑徑為為5 5
3、一動點P(x,y)與二點(4,0), (0,2)的距離之平方和為11，此動點之點集圖形為一圓，此圓
之方程式為______。
答案答案：：2x2+2y2−8x−4y+ =9 0
解析解析：：( (x−4)2+y2)2+( x2+(y−2) )2 2 =11⇒2x2+2y2−8x−4y+ =9 0
4、圓O:x2+y2−4x+6y+ =3 0對於直線L:x+ − =y 1 0的對稱圓的方程式為____________
答案答案：：圓圓O:O:x2+y2−4x+6y+ =3 0⇔ (x−2)2+(y+3)2 =10，∴，∴圓圓心心O(O(22,,−−33))，，半半徑徑r= 10
∴圓∴圓心心OO對於對於直直線線LL:: 之之對對稱稱點點M，M，
∴M∴M((
1 0 x+ − =y 2 1 ( 2)
2 2
⋅ ⋅ −
− ,, 3 2 1 ( 2) 2
⋅ ⋅ −
− − )=MM((44,,−−11))，，∴∴對對稱稱圓圓：：(x−4)2+(y+1)2 =10 5、圓O通過兩點A(5,0), B(3,4)，圓O被y軸所截出之弦長為2 6，則圓C之圓心為______
或______。
答案答案：(：(22,,11));; ((3388,,1199))
解析解析：：AB之之中中垂垂線線為為 2 1( 4
y− = 2 x− ) ∴∴x=2y故可故可設設圓圓心心
為(為(22tt,,tt))，，圓圓心心到到yy軸軸之之距距離離為為2t ，，∴∴(2 )t 2+( 6)2 =(2t−5)2+t2
∴∴t2−20t+19=0，，t =1或或1919 ∴圓∴圓心心為為((22,,11))或或((3388,,1199))
6、圓C切y軸於(0,−4)且與x軸交於A, B兩點，若AB=6，則圓C之圓方程式為 _______________或________________。
答案答案：：(x−5)2+(y+4)2 =25;; (x+5)2+(y+4)2 =25
解析解析：設：設圓圓心心為為((hh,,−−44))，，半半徑徑為為h , , h2 =32+42 ∴∴h= ±5
∴圓∴圓方方程程式式為為(x−5)2+(y+4)2 =25或或(x+5)2+(y+4)2 =25
7、求過A(0, 2), B(1, 1), C(1,−1)三點之圓的方程式為________________。
答
答案案：令：令圓圓：：x2+y2+dx+ey+ =f 0，將，將((00,, 22)),, ((11,, 11)),, ((11,,−−11))代代入入
∴∴⎨ ∴圓∴圓：：
4 2 0
2 0
2 0
e f d e f d e f + + =
⎧⎪ + + + =
⎪ + − + =
⎩
2 0
4 d e f
⎧ =
⎪ =⎨
⎪ = −
⎩
⇒ x2+y2+2x− =4 0
8、圓C以(−2,1)為圓心與圓 : 相切，則圓C之方程式為______或 ______。
C1 x2+y2−4x+4y+ =4 0
答 9 9 答案案：：(x+2)2+(y−1)2 = ; ; (x+2)2+(y−1)2 =4 解析解析：圓：圓C1 ::(x−2)2+(y+2)2 =4，連，連心心線線長長55
(1(1))若若圓圓CC與圓與圓C1外外切切可可得得(x+2)2+(y−1)2 =9 (2(2))若若圓圓CC與圓與圓C1內內切切可可得得(x+2)2+(y−1)2 =49
9、設方程式ax2+2y2+4x−6y+ =k 0為圓方程式，則a=______，又k之條件為 ______。
答案答案：2：2;; 13 k< 2 解
解析析：：a=2, , 2 2 4 2 2 2 6 1 2 1
2 2
x + x+ + y − y+ = − + +k
2 3 2 13
2( 1) 2( ) 0
2 2
x+ + y− = − +k > ∴∴ 13 k < 2
10、與二坐標軸均相切且過(−2, 4)之圓的方程式為_________________________________。
答案答案：：(x+2)2+(y−2)2 =4或或(x+10)2+(y−10)2 =100 解析解析：∵：∵與與兩兩坐坐標標軸軸均均相相切切，，∴∴令令圓圓心心((tt,, tt))或或((tt,,−−tt))
¬
¬當圓當圓心心((tt,, tt))時時，，(t+2)2+ −(t 4)2 =t2 ⇒t2− +4t 20=0（不（不合合））
−
−當圓當圓心心((tt,,−−t)t)時時，，(t+2)2+ − −( t 4)2 =t2 ⇒t2+12t+20=0，，∴∴t= −2或−或−
2) ( 2) 4
x+ + y− = x+10) +(y−10) =100
1010
∴圓∴圓：：( 2 2 或或( 2 2
11、一動點P(x,y)到點(−1,0)之距離與其到點(3,0)之距離比為1：3，此動點之點集圖形為一
圓，此圓之圓心為______，半徑為______。
答案答案：(：(−−3
2,0,0));; 3 2 解
解析析：： (x+1)2+y2 : (x−3)2+y2 =1: 3⇒3 (x+1)2+y2 = (x−3)2+y2
∴∴9[(x+1)2+y2]=(x−3)2+y2 ⇒8x2+8y2+24x=0
∴∴x2+y2+3x=0, , ( 3)2 2 (3
2 2
x+ +y = )2，圓，圓心心為為((−−3
2,,00)) 半徑半徑3 2 12、設二圓x2 +y2−2x−8y+ =8 0, x2 −8x+y2 =0的交點為A, B，
則AB的長度為______。
答案答案：：24 5
解析解析：：(x−1)2+(y−4)2 =32, , (x−4)2+y2 =42
連心連心線線長長55，，兩兩圓圓半半徑徑分分別別為為3,3,44，，∴∴AB= 3 4 24
2 5 5
× × =
13、設點A(2,3)為圓O : 之內部一點，則過A點的所有弦中點所形成之點集圖形
方程式為一圓方程式 ，則d
2 2
16 x +y =
2 2
0
x +y +dx+ey+ =f =______, f =______。
答案答案：−：−22;; 00 解
解析析：過：過AA點的點的所所有有弦弦中中點點所所形形成成之之點點集集圖圖形形為為圓圓，，其其((00,,00))與與((22,,33))恰恰為為此此圓圓直直徑徑之之兩兩端端點點
∴
∴圓圓方方程程式式為為( ,x y) (⋅ −x 2,y− =3) 0 ∴∴x2+y2−2x−3y=0，，∴∴d = −2, 3, e= − f =0
14、坐標平面上兩點A(4,3), B(−2,−1)，若AB為圓C之一弦且弦心距為 13，則此圓之圓心
為______或______。
答
答案案：(：(33,,−−22));; ((−−11,,44))
解
解析析：：AB中中點點為為((11,,11)),, AB
K
= − −( 6, 4)，(，(11,,11))± 13 2, 3
( )
13
− =(3(3,,−−22))或或((−−11,,44))為為圓圓心心 15、圓C以A(−1,2)與B(3,5)之線段為直徑，則圓C之方程式為______。
答
答案案：：x2+y2−2x−7y+ =7 0
解析解析：：(x+1,y− ⋅ −2) (x 3,y− =5) 0 ∴∴x2+y2−2x−7y+ =7 0
16、若二元二次方程式4 4 之圖形為一點，則k ______，又此點為
______。
2 2
4 8 1 0
x + y + x− y+ + =k = 答案答案：4：4;; (( 1
−2,1,1))
解析解析：：4x2+4x+ +1 4y2−8y+ = − +4 k 4，(2， x+1)2+(2y−2)2 = − +k 4 ∴∴k=4，，點為點為(( 1
−2,1,1)) 17、直線x+ =y 3截圓(x−1)2+(y−1)2 =1於A, B兩點，求線段AB之長。
答案答案：圓：圓心心到到直直線線的的距距離離
2 2
1 1 3 1 2
2 2 1 1
d + −
= = =
+
則則1 2 2 2 1 1 2 1 ( ) 2
2AB= − 2 = 2 = 2 = ，故，故AB= 2 18、有一圓的圓心為(−1, −2)並且通過點(−2, 2)，求其方程式。
答案答案：由：由兩兩點點距距離離公公式式知知，，圓圓的的半半徑徑r= ( 2 1)− + 2+ +(2 2)2 = 17 故
故圓圓的的方方程程式式為為(x+1)2+(y+2)2 =17
19、設x=3sinθ −1, 3cosy= − θ +2，0≤ ≤θ 2π ，則點(x,y)之點集圖形方程式為______。
答案答案：：(x+1)2+(y−2)2 =9 解
解析析：：(x+1)2+(y−2)2 =(3sin )θ 2+ −( 3cos )θ 2 = ⇒9 (x+1)2+(y−2)2 =9
20、若點P(x, y)是單位圓上的點，求 3x+y的最大值，此時P點坐標為何？
答案答案：單：單位位圓圓方方程程式式：：x2+y2 =1。 。 設設PP((xx,, yy))，，其其中中 cos
sin x y
θ θ
⎧ =
⎨ , ,
⎩ = 0≤ <θ 2π 則
則 3 3 cos sin 2( 3cos 1sin )
2 2
x+ =y θ + θ = θ + θ
2(sin cos cos sin ) 2 sin( )
3 3 3
π θ π θ π θ
= + = +
當當
3 2
π + =θ π 時，時， 3x+y有有最最大大值值2。2。
此 此時時
2 3 6
π π π
θ = − = ，故，故 cos 3
6 2
x= π = ,
, sin 1
6 2 y= π =
。
。
21、設A(−1,3), B(−2,1)為平面上兩定點，P點在圓O :x2 +y2 =1上，則 的最大值為 ______，最小值為______。
PA PB
K K
⋅ 答案答案：1：111;; 11解析解析：設：設P(cos , sin )θ θ
( 1 cos ,3 sin ) ( 2 cos ,1 sin ) PA PB
K K
⋅ = − − θ − θ ⋅ − − θ −θ
2 2
cos θ 3 cosθ 2 sin θ 4 sinθ 3
= + + + − + =3cosθ −4 sinθ + =6 5(cos(θ φ+ ))+6 最
最大大值值1111，，最最小小值值1 1
22、若P為單位圓：x2+y2 =1上的任一點，令O為原點，Q(3,−2)，則△POQ的最大面積 為_________。
答案答案：令：令PP((ccoossθθ,, ssiinnθθ))
∴△∴△PPOOQQ面面積積 1 cos sin
3 2
= 2 =
−
θ θ 1
2 cos 3sin
2 − θ− θ 1
2 cos 3sin
2 θ θ
= +
∴
∴− 13≤2 cosθ+3sinθ ≤ 13，∴，∴最最大大面面積積為為 13 2 。 。
23、設P(x,y)為圓O :x2+y2 =1上的任一點，則2x2+2xy的最大值為______，最小值為 ______。
答案答案：： 2 1+ ;; 1− 2 解
解析析：設：設P(cos , sin )θ θ
∴∴2x2+2xy=2 cos2θ +2 cos sinθ θ = +1 cos 2θ+sin 2θ = 2(sin(2 )) 1 4 θ+π +
∴
∴最最大大值值為為 2 1+ ，，最最小小值值為為1− 2
24、設P(x,y)為圓O :x2+y2 =25上之任一點，則 (1) 的最大值為______，最小值為______，
(2)
2 x+ −y 25 5 5
xy+ +x y 之最大值為______，最小值為______，
(3)4x2+2y2之最大值為______，最小值為______，
(4)(x−6)2+(y−2)2+1之最大值為______，最小值為______。
答案答案：(：(11)) 5 2−2; ; −−5 2−2 (2(2))1 2 2 2
+ ; ; −−11 ((33))110000,, 5500 ((44)) 66 20 10+ ; ; 66 20 20− 解析解析：設：設x=5 cos , 5sinθ y= θ
(1(1)) 2 5 cos 5sin 2 5 2 sin( ) 2 x+ − =y θ + θ − = θ +π4 −
∴∴最最大大值值5 2−2，最，最小小值值−−5 2−2
(2(2)) cos sin cos sin cos sin cos sin 25 5 5
xy+ + =x y θ θ + θ+ θ = θ θ+ θ+ θ 令令sinθ+cosθ =t ∴∴
2 1
sin cos
2
θ⋅ θ =t − 且且− 2≤ ≤t 2
2 1
2
t − + =t 2 2 1 ( 1)2 2
2 2
t + −t = t+ − ，最，最小小值值−−11，，最最大大值值
( 2 1)2 2 2 + −
=1 2 2 2 + (
(33))4x2+y2 = 4 (25 cos× 2θ) (25sin+ 2θ) 2× 50(1 cos 2 )θ 25(1 cos 2 )θ 75 25 cos 2θ
= + + − = +
1 cos 2θ 1
− ≤ ≤ ∴∴50≤4x2+2y2 ≤100
(4(4))平平面面上上((66,,22))到到圓圓OO之之最最近近距距離離為為 40−5，，最最遠遠為為 40+5
∴∴(x−6)2+(y−2)2+1之最之最大大值值( 40+5)2+ =1 66 20 10+
2 2
(x−6) +(y−2) +1之最之最小小值值( 40−5)2+ =1 66 20 20−
