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主題：公垂向量 1、公垂向量的定義 若 a  n 且 b  n ，則稱 n 為 a , b 的公垂向量。 ※公垂向量不唯一，但均 2、公垂向量的運算 若已知 a  (a1 , a2 , a3 ) 、 b  (b1 , b2 , b3 ) ， 則其公垂向量 n . 。. Pf： 設 n  ( x, y, z ) ，那麼  a  n   b  n. .   a n 0    b  n 0. . a1 x  a2 y  a3 z  0 （題型：求比例）  b1 x  b2 y  b3 z  0. ※記法：去頭去尾法 a3 a1 a2 a1 a2 a3 a  b3 b1 b2 b1 b2 b3  b ____________________________________ n . (. a2 b2. a3 a , 3 b3 b3. a1 a , 1 b1 b1. 1. a2 ) b2. 二階行列式值的運算. a b  ad  bc c d.

例題 1： 設 a  (1,1,1) 、 b  (5,3, 2) ，求 a 與 b 之公垂向量之單位向量。 Sol：. 例題 2： 設一平面 E ， E // r1  (1,1, 1) 且 E // r2  (2, 1,3) ，試求平面 E 的法向量。 Sol：. 例題 3： 已知 xyz  0 且 2 x  y  z  0 、 x  y  z  0 ，求 x : y : z 。 Sol：. 類題 1： 設 a  (2,3,1) 、 b  (1, 1, 0) ，求 a 與 b 之公垂向量之單位向量。 Ans： (. 5 ) 3 3 3 3 3 3 1. ,. 1. ,. 類題 2： 設 xyz  0 且滿足 3x  y  2 z  2 x  3 y  3z  5x  4 y  5z ，試求 Ans： 8. 2. x y 。 2x  z.

主題：外積（ a  b 是. ）. 1、外積的定義 已知 a  (a1 , a2 , a3 ) 、 b  (b1 , b2 , b3 ) ，則兩向量的外積（ a  b ）仍是 向量，且滿足下列兩條件 (1)方向： a  b // n 且滿足右手規則. （ n 表示 a 與 b 之公垂向量）. (2)大小： | a  b |  a 與 b 所展開之平行四邊形面積值. 那麼， a  b . 【說明】. 3.

2、行列式與面積的關係 (1)在平面上：. a  (a1 , a2 ) 、 b  (b1 , b2 ) ，則 a 與 b 所組成之 三角形面積為. 平行四邊形面積為. (2)在空間中：. a  (a1 , a2 , a3 ) 、 b  (b1 , b2 , b3 ) ，則 a 與 b 所組成之 三角形面積為. 平行四邊形面積為. 例題 1： 平面上有三點 A(1, 2) 、 B(1,3) 、 C (3, 7) ，求 ABC 之面積。 Sol：. 例題 2： 空間中有三點 A(1, 2,3) 、 B(1,3, 2) 、 C (3,3,1) ，求 ABC 之面積。 Sol：. 類題 1： 求 u  (1, 2) 、 v  (3, 2) 所圍成的平行四邊形的面積。 Ans：8 類題 2： A(0,0,0) 、 B(0, 2,3) 、 C (1,3, 0) ，求 ABC 的面積。. Ans：. 94 2. 4.

主題：空間平面 空間中，平面方程式為三元一次方程式，型如： ax  by  cz  d  0 ，其中 a 2  b2  c 2  0 。. 【型一】點法式（已知. 和. ）. 設平面 E 之法向量 n  (a, b, c) 且點 P( x0 , y0 , z0 ) 為平面 E 上的一點，則平面 方程式 E 的求法如下： （1）由法向量 n ，設 E :. （2）點 P 代入 E ，求 k. ＜說明＞. ＜推論 1＞ E : ax  by  cz  d  0 由係數可推出 E 的法向量為 ＜推論 2＞欲求一平面方程式  找 ＜推論 3＞方程式 x  0 之比較 （1）在數線上  表 （2）在平面上  表 （3）在空間中  表. 和 即 即 即. ＜推論 4＞「空間中的平面」與「平面上的直線」意義相近。 【立即練習】 （1）在空間中， 2 x  y  z  2  0 ，表示. ，其法向量為. 。. （2）方程式 x  2 y  3 ， (1)在平面上，表示. ，其法向量為. (2)在空間中，表示. ，其法向量為. （3）在空間中 z  0，表示 （4） xy 平面方程式. ，其法向量為 ； yz 平面方程式. 16. 。. （填坐標軸）. ，且平行 ，且垂直 ； zx 平面方程式. 。 。.

【型二】一點兩向式（已知. 和. ）. 設兩向量 L1  (a1 , b1 , c1 )、 L2  (a2 , b2 , c2 ) 平行於平面 E ，且點 P( x0 , y0 , z0 ) 為 平面 E 上的一點，則平面方程式 E 的求法如下： （1）求平面 E 法向量 n ，則 n . （去頭去尾法）. （2）點 P 代入 E ，求 k ＜說明＞ n. L1 L2. 【立即練習】 平面 E 垂直於 E1 : x  y  2 z  3  0 、 E2 : 2 x  y  z  1  0 ，且過點 (1, 2, 3) ， 求平面 E 的方程式。. 例題 1： 已知平面 E 過 E1 : x  2 y  3z  1與 E2 : x  y  z  2 之交線，求下列各條件下， 平面 E 之方程式： (1)平面 E 過點 (1,1, 0). (2)平面 E 與 x  2 y  3z  4 垂直. Sol：. 17.

【型三】截距式（已知. ）. 設平面 E 與 x 軸、 y 軸、 z 軸之截距分別為 a 、b 、 c（意即交點為 (a, 0, 0) 、 ，則平面方程式 E 為 (0, b, 0) 、 (0, 0, c) ）. 。. ＜說明＞. ＜推論 1＞平面. x y z    1 與三坐標平面所圍成四面體體積為 a b c. ＜比較＞平面上直線 L 與 x 軸、 y 軸之截距分別為 a 、 b ，則 L 之方程式 為. L 與兩軸所夾的三角形面積為. y. B(0, b) A(a, 0). x. 【立即練習】 平面 E 與 x 軸、 y 軸、 z 軸之交點為 (1, 0, 0) 、 (0, 2, 0) 、 (0, 0,1) ，求平面方 程式。. 18.

例題 1： 平面 E 與 x  2 y  3z  1平行，且與三軸的截距和為 220，求平面 E 的方程式。 Sol：. 例題 2： 設平面 E 過點 P(1, 2,3) ，且與 x, y, z 軸正向交於 A, B, C 三點，試求四面體. OABC 之最小體積，並求此時平面 E 之方程式。 Sol：. 19.

主題：空間直線 空間中直線無法用一個方程式表示，但有以下幾種表示方法。 【型一】對稱比例式 已知直線 L 過點 P( x0 , y0 , z0 ) 且 L // v  (a, b, c) ，其中 abc  0 ，那麼 直線 L 可表成. 。. ＜說明＞. 【型二】點向參數式 已知直線 L 過點 P( x0 , y0 , z0 ) 且 L // v  (a, b, c) ，那麼. 直線 L 可表成. 。. ※點向參數式是表示直線上的 法較常用於計算，求. （一個 t 值一個點） ，此種表示 。. ＜說明＞. 22.

【型三】兩面式.  E : a x  b1 y  c1 z  d1 L:  1 1  E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d 2. 表示兩平面之交線。. ＜推論 1＞比例式、參數式、兩面式，三種表示法彼此可以互換。 和. (1)比例式與參數式的條件均為. ，故可以互換。. (2)比例式換兩面式. x  x0 y  y0 z  z0   a b c. .  x  x0 y  y0  a  b   y  y0  z  z0  b c. . bx  ay  bx0  ay0  cy  bz  cy0  bz0. (3)兩面式換比例式.  E : a x  b1 y  c1 z  d1 L:  1 1  E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d 2. ，設 n1 , n2 表 E1 , E2 之法向量. b1 y  c1 z  d1 ①找點：令 x  0 （或 y  0, z  0 ）   ，解聯立得點坐標 b y  c z  d  2 2 2 ②找方向向量： L  n1 ， L  n2  去頭去尾找公垂向量，即為 L. ＜推論 2＞求直線上的點用. ；求過交線之平面用. 【立即練習】 （1） L :. x2 y   z  1  可看出 L 過點 3 2. 點參數式為. ；方向向量. ；兩面式為. 23.

 x  2  3t  （2） L :  y  1  2t z  t . t.  可看出 L 過點. 比例式為. ；方向向量. ；兩面式為. x  y  z  1 （3） L :   可找出 L 過點 x  2 y  z  2 點參數式為. ；方向向量. ；兩面式為. （4） x 軸之 L . ；兩面式. ；點參數式. y 軸之 L . ；兩面式. ；點參數式. z 軸之 L . ；兩面式. ；點參數式. （5）直線. 3  x y 1 , z  2 之點參數式  2 3. （6）過點 A(1, 2,3) 、 B(1, 2,1) 之點參數式. 24.

主題：求平面方程式  找. 和. 例題 1： 空間中， A(1, 2,3) 、 B(3, 2, 1) ，動點 P 使得 PA  PB ，求點 P 所形成之軌 跡方程式。 Sol：. 例題 2：（不共線三點決定一平面） 求過三點 (3,1, 0) 、 (4, 2,1) 、 (4, 1, 1) 之平面方程式。 Sol：. 例題 3：（一線及線外一點決定一平面） 已知 A(2,1, 0) 及一線 L :. x 2 y 3 z 4 決定一平面，求其方程式。   4 5 6. Sol：. 例題 4：（兩平行線決定一平面） 包含兩直線 L1 :. x 1 y  2 z 1 x  2 y 1 z  1 、 L2 : 之平面方程式。     2 3 2 3 1 1. Sol：. 25.

例題 5：（兩相交直線決定一平面） 已知 L1 : x  1  2 y  2  3  z 、 L2 : x  4 . 3 y  z  2 ，求包含直線 L1 與 L2 之 2. 平面方程式。 Sol：. 例題 6： 求過點 A(3,1, 1) 、 B(2,1,3) ，且與 5x  2 y  2 z  6 垂直之平面方程式。 Sol：. 例題 7： 求過點 (1, 1, 0) 且平行於 x  y  z  3 之平面方程式。 Sol：. 例題 8： 空間中有一直線 L 垂直於 E : 2 x  y  3z  7，求過點 (3, 4,5) 且與直線 L 垂直 之平面方程式。 Sol：. 26.

例題 9： 求過點 P(1, 2,3) 、 Q(3, 0,1) ，且平行於 L : x  3 ,. y 1  z  1 之平面方程式。 2. Sol：. 例題 10： 給定一平面 E : x  3 y  4 z  4 及直線 L :. x 1 y  6 z 1 ，試求空間中包含   2 3 5. 直線 L 且與平面 E 垂直之平面方程式。 Sol：. 例題 11： 設 A(1, 2,1) 、 B(2, 1, 2) 、 C (1, 2,3) 、 D(a, a  1, 1) 四點共面，求 a 值。 Sol：. 例題 12：.  x  2 y  z  1 求包含直線  且與 xy 平面垂直之平面方程式。 2 x  y  2 z  3 Sol：. 27.

例題 13： 若平面 E 包含 x 軸，且與直線. x 1 y 1 z 1 平行，求平面 E 之方程式。   2 3 1. Sol：. 類題 1： 設 A(1, 0,1) 、 B(3, 1, 2) 、 C (0,1, 1) ，試求： (1)平面 ABC 的方程式. (2) AB 的垂直平分面之方程式. Ans：(1) x  3 y  z  2 (2) 2 x  y  z  6 類題 2：.  x＋2 y－3z＝0 求點 A(3,1, 5) 與直線 L :  所決定之平面 E 的方程式。 3x－y＋5 z－3＝0 Ans： 4 x  y  2 z  3. 類題 3： 過點 (1, 0, 1) 且包含直線. x－1 y－2 z－3 的平面方程式。   4 5 6. Ans： x  2 y  z  0 類題 4： 平面 E 過 5x  y  z  3 與 x  2 y  4 z  5  0 之交線，且垂直於平面 x  y  z  2 ，求平面 E 之方程式。. Ans： 10 x  9 y  19 z  28 類題 5： 求過 (1, 2,1) 且與二平面 x  2 y  z  1 、 x  y  z  1 均垂直的平面方程式。 Ans： x  2 y  3z  2. 28.

類題 6： 求過 O(0, 0, 0) 、 A(4,1, 0) 、 B(0,3,6) 三點之平面方程式。 Ans： x  4 y  2 z  0 類題 7： 求平行平面 E : 2 x  y  z  0 ，且過點 (1, 2,3) 之平面方程式。 Ans： 2 x  y  z  1 類題 8： 求包含直線. x  4 y  3 z 1 x  1 y z  2 及 的平面方程式。     1 2 2 1 2 2. Ans： 4 x  3 y  z  6 類題 9： 設平面 E 同時垂直於兩平面 x  2 y  z  1  0 x  y  z  1  0 ，且三截距之積 為 36，求 E 之方程式。 Ans： x  2 y  3z  216. 類題 10： 過點 P(2,3, 4) 之平面 E，求平面 E 與三個坐標平面在第一卦限所圍成四面體 體積之最小值，並求此時平面 E 之方程式。 Ans： (6,9,12) ;. x y z   1 6 9 12. 類題 11： 設平面 E 平行平面 x  2 y  z  8  0 ，且與三坐標平面所圍成的四面體體積 為. 1 ，求平面 E 之方程式。 12. Ans： x  2 y  z  1. 29.

主題：求空間直線  找. 和. 例題 1： 求下列各條件之直線，試利用對稱比例式和點向參數式表示： (1)過兩點 (1, 2,3) 、 (1, 4,3) 之直線 Sol：. (2)過點 (1, 2, 3) 且平行 z 軸之直線 Sol：. (3)兩平面 3x  y  z  1  0 和 x  2 y  z  1  0 之交線 Sol：. (4)過點 (1, 2,3) 且垂直於 x  2 y  3z  3 之直線 Sol：. (5)過點 (1, 2,3) 且和平面 x  y  z  0 及 3x  y  2 z  4 皆平行的直線 Sol：. 30.

x  y  z  0 (6)過點 (1, 2,3) 平行於直線  之直線 3x  y  2 z  1  0 Sol：. 例題 2： 已知三點 (1, 2,3) 、 (2, k ,1) 、 (4, 1, s) 共線，試求數對 (k , s) 。 Sol：. 類題 1： 求下列各條件之直線，試利用對稱比例式或點向參數式表示： (1)過點 A(1, 1, 2) 、 B(3, 4,0) 之直線對稱比例式. 2 x＋y－z＝3 (2)兩平面  2 x＋2 y－z＝4. 之交線參數式. x  t x 1 y  1 z  2  Ans：(1) (2)  y  1   2 5 2  z  2  2t . t. 類題 2： 某架幻象 2000 沿直線 L 的方向飛行且垂直平面 E : x  2 y  3z  0 ，並通過點 A(2,1, 2) ，求此飛機飛行路徑所在直線的參數式. x  2  t  Ans：  y  1  2t  z  2  3t . t. 31.

主題：夾角（看到求夾角，想到 cosθ ） 【型一】兩線夾角（  ,    兩個） 設直線 L1 的方向向量 L1  (a1 , b1 , c1 ) 、直線 L2 的方向向量 L2  (a2 , b2 , c2 ).  L1 與 L2 的兩直線夾角 cos   . L1  L2 | L1 || L2 |.  . . a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a2 2  b2 2  c2 2. . 例題 1：. ABC 中， A(1, 2,3) 、 B(1, 0, 2) 、 C (0,1, 2) ，求 cos A 。 Sol：. 例題 2： 求兩相交直線 L1 :. x 1 y  2 z  3 y 2 z 3 與 L2 : x  1, 的夾角。    3 1 2 4 2. Sol：. 類題 1： 求兩相交直線 L1 : x  y  1 . z 1 x y  1 z 1 與 L2 :  的夾角。  2 4 5 3. Ans： 30 或 150. 32.

【型二】兩面夾角（  ,    兩個） 設平面 E1 : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 ，即法向量 n1  (a1 , b1 , c1 ) ； 平面 E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 ，即法向量 n2  (a2 , b2 , c2 ).  E1 與 E2 的兩直線夾角 cos   . n1  n2 | n1 || n2 |. . a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a2 2  b2 2  c2 2.   . 例題 3： 求 E1 : x  2 y  3z  7 與 2 x  3 y  z  5 的夾角。 Sol：. 例題 4： 在空間中，已知平面 E 通過 (5, 0, 0) 、(0, 2, 0) 與正 z 軸上一點 (0, 0, a) 。若 E 與 xy 平面夾角成 45 ，求 a 值。. Sol：. 類題 2： 求兩平面 E1 : x  y  z  5 與 E2 : 3x  2 y  2 z  7 的夾角之正弦值。Ans：. 33. 238 17.

主題：交點 【型一】線面交點. 【型二】兩線交點. 點（交點）在直線上  設直線 L 之 （表示 L 之任意點，即設為. ）. 例題 1： 設 A(1, 2,3) 、 B(1,3, 4) 、 E : 2 x  3 y  z  1  0 ，試求 AB 與 E 的交點。 Sol：. 例題 2： 設 A(2, 1, 0) 、 B(4, 4,6) 、 C (5, 2, 1) 、 D(6, 4,0) ，求： (1)求 AB 與 CD 之交點 P. (2)求過 P 點且與 AB 、 CD 均垂直的直線. Sol：. 34.

類題 1：.  x  1  2t  設 L :  y  3  t 、 E : 3x  2 y  3z  5 ，求 L 與 E 的交點。  z  2  3t  Ans： (3,1, 4). 類題 2： 空間中兩直線 L1 :. x  3 y 1 z  4 x  11 y  5 z  6 、L2 : 是否相交？若     2 3 4 6 3 2. 相交，則交點坐標為何？ Ans： (5, 2,8). 35.

主題：空間中的距離 【型一】兩點距離 空間中 A( x0 , y0 , z0 ) 、 B( x1 , y1 , z1 )  AB  ( x1  x0 )2  ( y1  y0 )2  ( z1  z0 )2 例題 1： 設 A(1, 1,3) 、 B(2,1, 2) ，求 AB 長。 Sol：. 【型二】點面的距離、線面距離、兩平行面距離 設一點 P( x0 , y0 , z0 ) 到及平面 E : ax  by  cz  d  0.  點到平面的距離 d ( P, E ) . | ax0  by0  cz0  d | a 2  b2  c 2. 兩平行平面 E1 : ax  by  cz  d1  0 及 E2 : ax  by  cz  d2  0.  兩平行平面的距離 . a 2  b2  c 2. （※注意兩平面係數需相同）. 〔證明〕. P. n. . 在平面 E 上任取一點 A( x1 , y1 , z1 ).  ax1  by1  cz1  d  0. d ( P, E ).  E. | d1  d 2 |. d ( P, E ) | AP | cos  | AP |. A.  . 36. | AP n |. | AP || n | | a( x0  x1 )  b( y0  y1 )  c( z0  z1 ) | a 2  b2  c2 | ax0  by0  cz0  d | a 2  b2  c2.

例題 2： 求點 (2, 2,1) 到平面 3x  2 y  6 z  6 的距離。 Sol：. 例題 3： 求兩平行平面 2 x  y  5z  3 與 2 x  y  5z  2 的距離。 Sol：. 例題 4： 求直線. x 1 y  2 z  4 與 3x  y  2 z  9 的距離。   1 1 1. Sol：. 例題 5： 設 A(1, 2,1) 、 B(2,1,3) ，若直線 AB 與平面 E : 2 x  y  z  5 相交於 P 點，求. AP : BP 。 Sol：. 37.

例題 6 在右圖空間坐標中， OA  OB  OC 且 D 在 OC 上滿足. OD : CD  1: 3 ，求 O 到平面 ABC 與平面 ABD 的距離比。 Sol：. z C. D. B. y. O A. X. 類題 1： 求點 (5,1, 2) 到 2 x  3 y  z  0 的距離。 Ans：. 15 14 14. 類題 2： 若 2 x  4 y  4 z  1 與 x  2 y  2 z  k 的距離為 7，求 k 值。 Ans：. 41 43 or 2 2. 38.

【型三】點線距離、兩平行線距離. 空間中點到直線的距離 P. 〔法一〕 設垂足點 Q  用 L 點參數式. d ( P, L). d ( P, L)  PQ （利用配方法求最小值） L. Q. 〔法二〕. P. 由直線 L 知  一點及方向向量 d ( P, L). (R).  R. ( L ). L. Q. 利用 RP 及 L 求夾角  cos  . RP L | RP || L |. d ( P, L)  PQ | RP | sin . 空間中兩平行線的距離 P. L2. 由直線 L 知  一點 P. d ( L1 , L2 )  d ( P, L1 ). d ( L1 , L2 ) L1. 即求 P 到 L1 的距離. 39.

例題 7：. x  6  t  求 P(5, 2, 4) 到直線 L :  y  1  2t  z  2  2t . t  的距離。. Sol：. 例題 8：. x  1 t  求 L1 :  y  2  2t  z  2t . t.  x  3  t  及 L2 :  y  2  2t  z  3  2t . t  的距離。. Sol：. 類題 3： 求 P(1,3,1) 到直線. x 1 y z  2 的距離。   2 2 1. Ans：3 類題 4： 求 Ans：. x 1 y 1 z  2 x  2 y  1 z 1 與 的距離。     2 3 2 3 1 1. 83 14. 40.

【型四】兩歪斜線距離 即公垂線段（ PQ ）的長度。 P. L1. 〔方法〕 設 P 、Q  利用 L1、L2 之點參數式(s,t). L2 Q. 利用.   PQ L1  0   PQ L2  0. 解參數 s,t. PQ 即為所求. 例題 9： 兩歪斜線 L1 :. x2 y z 5 x 3 y z 5 、 L2 : 。設 PQ 為 L1 與 L2 的公垂     3 1 2 1 1 8. 線，且 P 在 L1 上、 Q 在 L2 上。求 P 、 Q 兩點坐標及 PQ 長。 Sol：. 41.

例題 10： 設 L1 :. x  2 y 3 z 3 x2 y2 z 與 L2 :     ，求： 1 2 4 1 2 3. (1) L1 與 L2 的關係. (2)求含 L2 與 L1 平行的平面方程式. Sol：. 類題 5：.  x  1  2t  求 L1 :  y  t  z  2t  Ans：. t. 與 y 軸之間的距離。. 2 2. 42. (3)求 L1 與 L2 的距離.

主題：空間中兩平面之交角平分面 角平分面性質：空間中兩平面之交角平分面上任意點，到兩平面等距。. E2 〔方法〕 設動點 P( x, y, z) P( x, y, z ). 利用角平分面性質 d ( P, E1 )  d ( P, E2 ) ※有兩解. E1. 例題 1：. E1 : 2 x  y  z  3  0 及 E2 : x  2 y  2 z  6  0 ，求： (1) E1 與 E2 交角平分面. (2) E1 與 E2 鈍角平分面. Sol：. 類題 1： 求 2 x  2 y  z  1 與 6 x  2 y  3z  2 之交角平分面。 Ans： 4 x  8 y  2 z  1  0 or 32 x  20 y 16 z 13  0. 43.

主題：投影點與對稱點 【型一】空間中點 P 到直線 L 的投影點與對稱點 P. 〔投影點〕 設 P 在 L 之投影點為 Q L. Q. 設 Q  利用 L 之點參數式(t) 利用 PQ L  0 解參數 t 〔對稱點〕. P'. 參數 t  2t 代入即為對稱點 P ' 或利用 Q 為 P 、 P ' 之中點解 P ' 例題 1： 求 P(1,1, 2) 到直線 L :. x 1 y  2 z 1 的投影點、對稱點和最短距離。   1 2 2. Sol：. 類題 1： 直線 L :. x 1 y  3 z   及線外一點 A(1, 2, 0) ，求： 2 2 1. (1) A 到直線 L 的距離. Ans：(1) 2 5. (2) A 對 L 的垂足點. x  1  (2) (1, 2, 2) (3)  y  2  2t z  t . 44. t. (3)過 A 與 L 垂直的直線.

【型二】空間中點 P 到平面 E 的投影點與對稱點. 〔投影點〕. P. 已知 P( x0 , y0 , z0 ) 、 E : ax  by  cz  d  0. n. 設 Q  利用直線 PQ 之點參數式 （過點 P ，方向平行 n ） Q.  x  x0  at   Q  y  y0  bt  z  z  ct 0 . E. P'. Q 在 E 上代入解 t  t  . ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2. ax0  by0  cz0  d   x  x0  a  a 2  b2  c2  ax  by  cz  d  Q  y  y0  b  0 2 0 2 02 a b c  ax0  by0  cz0  d   x  z0  c  a 2  b2  c2  〔對稱點〕. ax0  by0  cz0  d   x  x0  2a  a 2  b2  c2  ax  by  cz  d  p '  y  y0  2b  0 2 0 2 02 a b c  ax0  by0  cz0  d   x  z0  2c  a 2  b2  c2  即參數 t  2t 代入 例題 2： 求空間中一點 P(1, 0, 2) 關於平面 E : 2 x  y  z  1 之投影點和對稱點。 Sol：. 45.

例題 3： 空間中坐標平面中，設 xy 平面為一鏡，有一光線通過點 P(1, 2,1) 射向鏡面上 的點 Q(2,1, 0) 經鏡面反射後通過 R 。若 QR  2PQ ，求 R 的座標。 Sol：. 例題 4： E : x y 2 z 7  ， 0 A(1, 2,3) 、 B(3, 0, 2) ， P 在 E 上，求 PA  PB 的最小值. 及 P 點座標。 給相異兩點 A, B ，動點 P. Sol：. (1)當 P 在 AB 時， PA  PB 有 m  AB (2)當 P 在 AB 但 P  AB 時， | PA  PB | 有 M  AB. 類題 2： 求點 A(2, 5,7) 對平面 E : 2 x  5 y  z  2 的： (1)對稱點. (2)投影點. (3)設 B(1, 2,3) 且 P 在 E 上，求 PA  PB 最小值. Ans：(1) (6,5, 7) (2) (4, 0, 7) (3) 114. 46.

主題：解一次方程組 例題 1： 試求下列各方程組之未知數的解。. 3x  4 y  12 (1)  10 x  6 y  29. 2 x  y  2 z  3  0  (2)  x  y  z  1  0 2 x  3 y  z  2  0 .  xy  x  4 y  (3)  yz  6 y  z  xz  4 z  3 x . Sol：. 例題 2： 若有三數，其和為 20，第一數與第二數的 2 倍及第三數的 3 倍之和為 44， 第一數與第二數的和的 2 倍減第三數的 4 倍為 14 ，求此三數。 Sol：. 50.

類題 1： 甲乙丙三種合金，甲含金 5 公克、含銀 2 公克、含銅 1 公克，乙含金 2 公克、 含銀 5 公克、含銅 1 公克，丙含金 3 公克、含銀 1 公克、含銅 4 公克。今欲將此 三種合金化為一種合金，內含金、銀、銅之量各相等，且其重為 9 公克，則需甲 乙丙三種合金各多少公克？ 1 11 Ans： ( , ,5) 3 3. 類題 2： 一水池有 ABC 三水管，A、B 為入水管，C 為出水管。A、C 同開，6 小時可 注滿。B、C 同開，12 小時可使整池水流盡。A、B 同開，1 小時 20 分可注滿。 求 A、B 各需幾小時可注滿，C 需幾小時可使整池水流盡？ Ans： A  2 小時； B  4 小時； C  3 小時. 類題 3：.  xy  x  y  5  0  解  yz  2 y  3z  5  0 之數對 ( x, y, z ) 。  xz  2 x  z  4  0  Ans： (1,. 11 ,3) or (3, 2,1) 2. 51.

主題：行列式 1、二階行列式的定義：. a b  ad  bc c d 2、三階行列式的定義：  a1 b1 c1   a b c ＝a b c ＋a b c ＋a b c －a b c －a b c －a b c 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2  2 2 2  a3 b3 c3  3、行列式的性質： (1)行與列互換，其值不變，即. a b a c  。 c d b d. (2)任一行（列）乘以一數 k 加入另一行（列） ，其值不變。  a1 b1 c1   a1 b1 ka1＋c1  如： a2 b2 c2 ＝ a2 b2 ka2＋c2 ；  a3 b3 c3   a3 b3 ka3＋c3  × k.  a1 b1 c1  a b c   2 2 2  a3 b3 c3 . ×. a1 b1 c1   ＝ ka3＋a2 kb3＋b2 kc3＋c2 k  a3 b3 c3.    . (3)任意兩行（列）對調，其值變號。 如：. a b c d a b b   ； c d a b c d d. a c. (4)任一行（列）可提出同一數。 如：. ka b a b a b a b k k ； kc d c d kc kd c d. (5)任意兩行（列）成比例時，其值為 0。  a1 ka1 c1   a1 b1 c1    如： a2 ka2 c2 ＝0； a2 b2 c2 ＝0  a3 ka3 c3   ka1 kb1 kc1  (6)行列式的加法：某行（列）各元拆成兩項相加等於原行列式 如：. ae b f a b e f ae   ； c d c d c d c f. 52. b a b e   d c d f. b d.

(7)降階公式：可依某一行（列）降階展開，但是其各項的符號要 ＋ － ＋ 依 － ＋ － 的格式來決定。 ＋ － ＋  a1 b1 c1  如； a2 b2 c2   a3 b3 c3   b2 c2   a2 c2   a2 b2  ＝a1 b c －b1 a c ＋c1 a b （依第一列展開） ，或 3 3 3 3 3 3  b1 c1   a1 c1   a1 b1  ＝－a2 b c ＋b2 a c －c2 a b （依第二列展開） ，或 3 3 3 3 3 3  b2 c2   b1 c1   b1 c1  ＝a1 b c －a2 b c ＋a3 b c （依第一行展開） 3 3 3 3 2 2 例題 1： 求下列各行列式的值： 1 1 3 (1)  1 3 1 3 1 1.    .  15 16 17 (2)  50 51 52  99 101 100.    .  2007 2008 1 (3)  1999 2000 1  1997 1996 1.    . Sol：. 例題 2：  1 1 1  試證 a b c ＝( a－b ) ( b－c ) ( c－a )，並求  a2 b2 c2  Sol：. 53. 2  1 123 123  1 124 1242   1 125 1252.   之值。  .

例題 2：  2a1 3b1 c1－4d1   a1 b1 d1   a1 b1 c1      設 a2 b2 c2 ＝－2， a2 b2 d2 ＝4，求 2a2 3b2 c2－4d2 之值。  a3 b3 c3   a3 b3 d3   2a3 3b3 c3－4d3  Sol：. 例題 3： 2 2  2＋x  解方程式 －3 －3＋x －3 4 4＋x  4.  ＝0。  . Sol：. 類題 1： 求下列各行列式的值：  4 6 －2  (1)  1 6 5  3 3 1 . 6 42   27  8 28  (2)  36   －135 20 35 . Ans：(1)78 (2)37800 類題 2：.  228 －342 399  (3)  －92 138 －161  93 186   1116. (3)0.  3a1－2b1 3a2－2b2 3a3－2b3  a1 b1 c1    c2－b2 c3－b3 設 a2 b2 c2 ＝3，求 c1－b1  a3 b3 c3   2b1 2b2 2b3 Ans： 18 類題 3： 2  3－x 2  1 解方程式 1 4－x  －2 －4 －1－x Ans： x  1, 2,3.  ＝0。  . 54.  之值。  .

主題：行列式的應用 1、 平面上三角形的面積： 設 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )、C ( x3 , y3 ) 為平面上相異三點。 (1) 若 A、B、C 三點不共線，則△ABC 的面積為. 。.  x1 y1 1  (2) A、B、C 三點共線 ⇔  x2 y2 1 ＝0。  x3 y3 1  2、. 在空間中：. a  (a1 , a2 , a3 ) 、 b  (b1 , b2 , b3 ) ， 則 a 與 b 所組成之三角形面積為. 。. 平行四邊形面積為 3、. 。. 平行六面體的體積： (1) 由 u ＝( a1 , b1 , c1 )、 v ＝( a2 , b2 , c2 )、 w ＝( a3 , b3 , c3 ) 所展開的平行六面體的體積為. 。. (2) u ＝( a1 , b1 , c1 )、 v ＝( a2 , b2 , c2 )、 w ＝( a3 , b3 , c3 ) 共平面的條件是. 。. 【說明】. 55.

例題 1： 設 A ( 1 , 2 )，B ( 3 , 4 )，C ( 0 , 6 )，求△ABC 的面積。 Sol：. 例題 2： 設 u ＝( 3 , 2 ,－1 )， v ＝( 1 , 2 ,－2 )，試求由 u 與 v 所決定的平行四邊形 的面積。 Sol：. 例題 3： 設 A ( 1 , 1 , 4 )，B (－1 , 0 ,－1 )，C ( 2 , 1 , 1 )，D ( 0 , k , 1 )。 (1) 若 AB 、 AC 、 AD 所展開的平行六面體的體積是 6，求 k 值。 (2) 若 A、B、C、D 四點共平面，求 k 值。 Sol：. 7 例題 4：設由空間三向量 u 、 v 、 w 所展開的平行六面體的體積為 3 ，求由 u 、 3 v 、 2 w 三向量所展開的平行六面體的體積。. Sol：. 56.

類題 1： 空間中三點 A ( 1 ,－1 , 2 )、B (－1 , 0 , 1 )、C ( 3 , 2 ,－1 )，求△ABC 的面積。 Ans： 4 2. 類題 2： 設 A ( 1 , 2 , 3 )，B (－1 , 2 , 1 )，C ( 2 ,－1 , 2 )，D ( a ,－a－1 ,－1 )。 (1) 若 AB 、 AC 、 AD 所展開的平行六面體的體積是 4，求 a 值。 (2) 若 A、B、C、D 四點共平面，求 a 值。 Ans：(1) a  5, 1 (2) a  3 類題 3： 設由空間三向量 u 、 v 、 w 所展開的平行六面體的體積為 6，求由 2 u  3 v 、 4 v 、 w 三向量所展開的平行六面體的體積。. Ans：48. 57.

主題：克拉瑪公式 1、克拉瑪公式：  a1x＋b1y＋c1z＝d1 設三元一次方程組 L： a2x＋b2y＋c2z＝d2 ，  a3x＋b3y＋c3z＝d3  a1 b1 c1   d1 b1 c1   a1 d1 c1   a1 b1 d1        ＝ a2 b2 c2 ，x＝ d2 b2 c2 ，y＝ a2 d2 c2 ，z＝ a2 b2 d2 。  a3 b3 c3   d3 b3 c3   a3 d3 c3   a3 b3 d3  (1) 若 ≠0 時，則方程組恰有一組解 ( x, y, z )  (2) 若 ＝0，則方程組 【說明】. 或. 。 。. 例題 1：. y  z  5   解方程組 2 x  3 y  z  7 的解。 4 x  5 y  2 z  10  Sol：. 58.

例題 2：. a1 x  b1 y  c1 z  d1  已知方程組 a2 x  b2 y  c2 z  d 2 之解為 ( x, y, z)  (1, 2,3) ，求方程組 a x  b y  c z  d 3 3 3  3 2a1 x  3b1 y  4c1 z  12d1  2a2 x  3b2 y  4c2 z  12d 2 之解。 2a x  3b y  4c z  12d 3 3 3  3 Sol：. 類題 1：  x＋2y＋z＝2 解方程組  2x＋3y＋z＝5 。  2x－3y－2z＝2 Ans： (1, 2, 3) 類題 2：  a1x＋b1y＋c1z＝d1 設方程組 a2x＋b2y＋c2z＝d2 恰有一組解 (2,4,3)，試求方程組  a3x＋b3y＋c3z＝d3  2a1x＋b1y＋c1z＝3d1  2a2x＋b2y＋c2z＝3d2 之解。  2a3x＋b3y＋c3z＝3d3 Ans： (3,12,9). 59.

主題：三元一次方程式的幾何意義 1、三平面相交情形：  a1x＋b1y＋c1z＝d1 三元一次方程組 a2x＋b2y＋c2z＝d2 的解呈現在幾何意義上，  a3x＋b3y＋c3z＝d3 就是表示空間中三平面 E1：a1x＋b1y＋c1z＝d1，E2：a2x＋b2y＋c2z＝d2，E3：a3x＋b3y＋c3z＝d3 的相交狀況，其關係有. 【討論一】 (1)一解  (2)無解 . 種，如下：.  其解為. ：如圖.  ____________________：如圖 ______    ________________________：如圖 ______ . (3)無限多解 . ：如圖. ※無限多解     x   y   z  0 ；但    x   y   z  0 不一定無限多解   0,  x   y   z 有不為0  無解；無解不一定   0,  x   y   z 有不為0. 60.

【討論二】簡易判定解的個數，利用  (1)   0  (2)   0  【討論三】利用消去法消去一個未知數，在判定 (1)若有二平面平行時  無解  如圖 (2)若有二平面重合且無平行時  無限多解  如圖 (3)若無平行和重合時， 一解   如圖 無解   如圖 無限多解   如圖 例題 1： 試判定下列三平面相交情形. 2 x  y  z  1  x  2 y  3z  4  x－2 y  3z  8 x  3y  2z  4     (1)  x  7 y  3z  1 (2) 2 x－4 y  6 z  7 (3) 6 x＋y  5 z  1 (4) 4 x  2 y  2 z  2  x  y＋z  3 3x  6 y  9 z  6 8 x＋2 y  3z  18 8 x  4 y  4 z  3     Sol：. 例題 2： 設三平面 E1：x＋y－z＝1，E2：2x＋3y＋az＝3，E3：x＋ay＋3z＝2。 (1) 若此三平面相異，且交於一直線，求 a 值。 (2) 若此三平面相異，且兩兩的交線不共點，求 a 值。 Sol：. 61.

例題 3：.  x＋2 y＋3z  4  已知方程組 3x＋3 y＋2 z  5 有無限多組解，求 a 值。 5 x＋4 y＋ z  a  Sol：. 例題 4：  x＋2y－3z＝－ax ＋3z＝－ay 除 x＝0，y＝0，z＝0 之解外，尚有其他解， 若方程組  x  x－2y＋ z＝az 求實數 a 之值。 Sol：.  a1x＋b1y＋c1z＝0  a2x＋b2y＋c2z＝0  有解  a3x＋b3y＋c3z＝0 (1)一解  (2)無限多解或. . 例題 5：.  x  y  2 z  2  x  2 y  3z    已知方程組  有解，其中  ,  不是整數，求  ,  之值。 x  3 y  4 z     x  4 y  5 z   2 Sol：. 62.

類題 1：. x  y  z  1 x  y  z  1 x  y  z  1 x  y  z  1     (1)  x  2 y  3z  2 (2) 2 x  2 y  2 z  2 (3)  x  y  z  2 (4)  x  2 y  3z  2  x  3 y  5z  3  x  2 y  3z  3  x  3 y  5z  4 x  y  z  1     Ans：(1)三平面交一線(2)兩重合一相交(3)兩重合一平行(4)三平面交三平行線 類題 2： (1－k ) x＋2 y＋3z＝1  方程組  x＋(2－k ) y＋3z＝－1 無解，求 k 值。  x＋2 y＋(3－k ) z＝2 . Ans： k  0, 6 類題 3： 設三平面 E1：ax＋y＋z＝1，E2：x＋ay＋z＝1，E3：x＋y＋az＝1 兩兩交 於一直線，但三交線不共點，求 a 值。 Ans： a  2 類題 4：  ax＋3y－ z＝0 設方程組 x＋ay＋3z＝0 除了 x＝0，y＝0，z＝0 之解外，尚有其他解，求實數  3x＋5y＋2z＝0 a 之值。 Ans： a  2, 4. 63.

主題：矩陣列運算 1、矩陣的表示法 在數學上為了討論方便，我們常以大寫英文字母 A 、 B 、…表示矩陣。 如果 A 是一個 m 列 n 行的矩陣（橫的稱. ；直的稱. ），我們通常. 將 A 寫成.  a11 a A   21    am1. a1n  a2 n    amn . a12 a22 am 2. 之形式。或簡記為 A  [aij ]mn ，其中 aij 為 A 的第 i 列第 j 行交叉位置上的元， 稱為 A 的第 (i, j ) 元；下標 m  n 表示 A 有 m 列 n 行。 ※矩陣 A 有 m 列 n 行，則稱 A 的階數 m  n ，或稱 A 為一個 m  n 矩陣。 當 m  n 時，則 A 是一個正方形矩陣，簡稱 n 階方陣。 ＜說明＞. A23  [aij ]23.    .    . 2、係數矩陣與增廣矩陣 為了解方程組方便，我們可以捨棄方程組中的變數，表示如下： x  y  z  1  3x  2 y  z  1  x  y  2z  2 . 則稱. 1 1 1  3 2 1 1 1 2. 為增廣矩陣；. 83. 1  1 2 . 為係數矩陣。.

3、矩陣的列運算 矩陣的列運算共有三個： (1)任意兩列對調 (2)任一列乘上非零的數 k (3)任一列乘上一數 k 加至另一列 ※注意：做以上三種列運算，不影響方程式的解。 （列運算就是加減消去法） 4、梯（矩）陣 利用矩陣列運算，將矩陣化簡為 (1)作列運算，使得第一行中 a11  1，其餘均為 0 (2)作列運算，使得第二行中 a22  1 ，其餘均為 0 (3)重覆以上步驟，直到最後一列；或底下每一列均為 0 ※如下方三個矩陣的係數矩陣，均為梯陣. 5、高斯消去法 解一次方程組的方法之一。就是將其係數矩陣化至梯陣，進而求出方 程組的解的方法。 ＜說明＞. 增廣矩陣. 方程組. 解. 1 0 0 2  0 1 0 1    0 0 1 1.     . . 1 0 2 1  0 1 1 2    0 0 0 0 .     . . 1 0 0 2  0 1 1 2    0 0 0 1 .     . . 84.

例題 1： 利用高斯消去法，解下列方程組的解：. 2 x  y  2 z  3  0  (1)  x  y  z  1  0 2 z  3 y  z  2  0  Sol：.  x  2 y  3z  4  (2)  x  3 y  4 z  5 2 x  y  7 z  6  Sol：.  x  2 y  3z  4  (3)  x  3 y  4 z  5 2 x  y  7 z  9  Sol：. 85.

例題 2：. 3 4 a  1 0 2  對矩陣  作列運算若干次後得到    ，求數對 (a, b) 。 5 6 b  0 1 1  Sol：. 例題 3：  x  2 y  3z  0 2 x  y  3z  6  線性方程組  x  y  6  x  2 y  z  8. 1  0 0  0. 0 1 0 0. a c 0 0. 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為. b  d ，求 a, b, c, d 之值。 0  0 . Sol：. 86.

例題 4：. 1 2 3 7  下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 0 1 1 2  。 0 0 1 1  1 2 3 7  (1) 0 1 1 2  0 2 3 5 .  1 3 1 0  (2)  1 1 1 0   3 1 7 0 .  2 1 3 6 (4)  1 1 1 0   2 2 2 1 . 1 3 2 7  (5) 0 1 1 2  0 1 0 1 . 1 1 2 5  (3) 1 1 1 2  1 1 2 5 . Sol：. 類題 1：. 1 1 0 5  1 0 0 a    利用矩陣的列運算，將矩陣 0 1 1 7  化為 0 1 0 b  的形式，求數對 1 0 1 8  0 0 1 c  (a, b, c) 。. Ans： (3, 2,5) 類題 2：.  x  2 y  3z  1  已知方程組 2 x  2 z  2 3x  2 y  z  a . 有解，求 a 值。. Ans： 5. 87.

主題：矩陣的意義及其加法運算 1、矩陣的表示法： 在數學上為了討論方便，我們常以大寫英文字母 A 、 B 、 C 、…表示 矩陣。如果 A 是一個 m 列 n 行的矩陣，我們通常將 A 寫成.  a11 a A   21    am1. a1n  a2 n    amn . a12 a22 am 2. 之形式。或簡記為 A  [aij ]mn ，其中 aij 為 A 的第 i 列第 j 行交叉位置上的元， 稱為 A 的第 (i, j ) 元；下標 m  n 表示 A 有 m 列 n 行。 ※矩陣 A 有 m 列 n 行，則稱 A 的階數 m  n ，或稱 A 為一個 m  n 矩陣。 當 m  n 時，則 A 是一個正方形矩陣，簡稱 n 階方陣。 2、矩陣的相等： 如果兩個矩陣 A 和 B 的階數相同，且 A 的每一個元都和 B 中相同位置 的元相等，那麼我們就稱 A 和 B 相等，以 A  B 表示。 ※ A  [aij ]mn 、 B  [bij ] pq ，則 A  B . (1) (2). 。. 3、矩陣的加法： 如果兩個矩陣 A 、 B 的階數相同，那麼我們可以把兩個矩陣相對位置 的數相加，得到一個新矩陣，以 A  B 表示。 ※ A  [aij ]mn 、 B  [bij ]mn ，則 A  B  4、矩陣加法的性質： 如果 A 、 B 、 C 為階數相同的矩陣，則 (1) ( A  B)  C  A  ( B  C ). 結合律. (2) A  B  B  A. 交換律. 90. 。.

5、零矩陣與加法反矩陣： (1)零矩陣：每個元皆為 0 的矩陣，稱為零矩陣，以 O 表示。 (2)加法反矩陣：設 A  [aij ] mn ，則 A 的加法反矩陣為 [aij ]mn ，以  A 表示。 ※ A  ( A)  O 6、矩陣的減法： 如果兩個矩陣 A 、 B 的階數相同，那麼 A  B 定義為 A  ( B) 。(即對應 位置的數相減) 7、矩陣的係數積： 設 A  [aij ]mn ， r 是任意實數，則 rA 定義為 [raij ]mn ，稱為 r 和 A 的係數 積。(即矩陣 A 中的每個元都乘以 r ) 8、轉置矩陣： 將矩陣 A 的第一行改為第一列，第二行改成第二列，...，第 n 行改成第. n 列。所得的矩陣稱為 A 的轉置矩陣，記為 AT 。 ※ A  [aij ]mn ，則 AT . 。. 9、對稱矩陣與反對稱矩陣： (1)設 A  [aij ]nn 為一個方陣，滿足 aij  a ji 恆成立，稱 A 是對稱矩陣。 ※此時 AT  A 。 (2)設 A  [aij ]nn 為一個方陣，滿足 aij  a ji 恆成立，稱 A 是反對稱矩陣。 ※此時 AT   A 。(主對角線的元均為 0) ※設 A  [aij ]nn 為一個方陣，主對角線的元是 a11 , a22 , a33 ,.  a11  a A   21    an1. a12 a22 an 2. a1n   a2 n    ann . 91. , ann 。.

例題 1： 設矩陣 A  [aij ]25 ，其中 aij  2i  j 。求此矩陣 A 及其轉置矩陣 AT 。 Sol：. 例題 2：.  3 2 4   1 0 2  設A 、B     ，求： 0 3 2   3 1 1 1 (1) A  B (2) B (3) 3B  ( A) (4) A  2B 2 Sol：. 例題 3：.  3 0 5   1 3 2 已知 A   、B     且 2 X  A  3B ，求矩陣 X 。  1 4 2   2 5 6  Sol：. 92.

例題 4： 某工廠僱用男工 25 人，女工 20 人，童工 8 人。這個工廠每天供應所有工人 三餐的水果與點心的數量用下面的矩陣表出： 香蕉. 牛奶. 餅乾. 早 0 男工每人： A  午 2 晚 2. 2 2 2. 4 6 6.    . 早 0 女工每人： B  午 2 晚 2. 1 1 1. 2 3 3.    . 早 0 童工每人： C  午 1 晚 1. 2 2 2. 2 4 4.    . 試用一個矩陣表示這個工廠每天三餐所準備的水果與點心的總數量。 Sol：. 93.

例題 5： 判斷下列哪些是對稱矩陣？哪些是反對稱矩陣？. 0 0 0   0 2 0  2 1 3  1 2  1 0      A   2 0 3 、 B  1 2 0  、 C   、 D  0 0 0  、 E   、  0 1  3 4   0 0 0   0 3 0   3 0 1 0 2 3 1 1 1 1 2   2 0  、G   、 H   2 0 1  、 I   0 、 J  [1] 、 K   F     1 1 1 2 0   0 2  3 1 0  Sol：. 例題 6： 若 A  [aij ]33 且 aij {0,1, 2,3, 4,5} ，試求滿足下列各條件的矩陣有幾個： (1)任意矩陣 A. (2)對稱矩陣 A ( aij  a ji ). Sol：. 94. (3)反對稱矩陣 (aij  a ji ).

類題 1：. 1 2  2 1  4 1     設 A  0 1  、 B   4 3 、 C   3 1  ，求：  3 1  1 0   2 3 (1) 3 A  B  2C.  3 9  Ans：(1)  2 4   6 9 . (2) 2( A  B)  3(2B  3C).  3 9  (2)  2 4   6 9 . 類題 2：. 2 1  1 0   X  2Y  A   設 A  1 3 、 B  5 7  ，試解矩陣 X 、 Y 使得滿足  。 2 X  3Y  B   4 1  6 1 2   4 3 3    Ans： X   7 23  、 Y   3 13  0 5  2 3  類題 3：.  4 0  4 1 2 、 B   a 1  ，且已知 A  BT ，求 x  y  a  b 的值。 若A   x y 3  b 3 Ans：4 類題 4： 今以 2, 1,0,1, 2 為元，任意做一個四階方陣 A ，若每個數字被選取到每個位 置的機會均等，求能滿足 AT   A 的機率。 Ans：. 1 510. 95.

主題：矩陣乘法運算 1、矩陣的乘法： 設 A  [aij ]mn 、 B  [bij ]n p 且 C  AB ，則 C  [cij ]m p ，其中 cij  ai1b1 j  ai 2b2 j . n.  ainbnj   aik bkj 。(即 A 的第 i 列和 B 的第 j 行內積) k 1. ※ A  [aij ]mn 、 B  [bij ]l p 矩陣乘法運算 AB 有意義  ＜練習＞.  a11 a12 a  21 a22. b b  a13   11 12  b b  a23   21 22  b31 b32 . 2、矩陣乘法的性質： 設 A 、 B 、 C 是矩陣， r 是實數，且下列運算都有意義，則 (1) ( AB)C  A( BC ). 結合律. (2) r ( AB)  (rA) B  A(rB). 結合律. (3) A( B  C )  AB  AC. 分配律. (4) ( A  B)C  AB  AC. 分配律. 3、矩陣乘法不一定具有的性質： (1)存在性. ( AB 存在  BA 存在). (2)交換律. ( AB  BA ). (3)消去律. ( AB  AC  B  C 和 AB  O  B  O ). (4)二項式展開. ( ( A  B)2  A2  2 AB  B 2 ). 96. 。.

4、單位矩陣： 設 A  [aij ]nn 為一個方陣，其主對角線的元均是 1，其餘的元均為 0， 則我們稱此矩陣為 n 階單位矩陣，記為 I n 。如： 1 1 0 0   1 0  0 1 0  、 I  0 I  、 I2   3 4    0 0 1  0 0 1   0. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0 0  …。 0  1. ※若 A 是 m  n 矩陣，則 I m Amn  Amn 、 Amn I n  Amn 。 若 A 是 n 階方陣，則 I n Ann  Ann 、 Ann I n  Ann 。 例題 1： 試計算下列各矩陣相乘，並觀察其結果.  2 5 1 4   2 4 1 (1) A   、 B   4 2 0 3  ，求 AB ，並觀察 BA 是否存在。  5 8 0   3 1 2 0   3 2   1 4 3 (2) A  1 4  、 B   ，求 AB 與 BA ，並觀察 AB 與 BA 是否相等。 2 2 1   2 5  1 2   4 2  10 4  0 0  (3) A   、B   、C   、O      ，求 AB 、 AC 和 AO ，   2 1  5 2  0 0  3 6  並觀察 AB 、 AC 和 AO 是否相等及 B 、 C 和 O 是否相等。 Sol：. 97.

例題 2： 某班前三名學生參加學測成績如下，這三人想申請台大醫科、陽明醫科及台 大數學。下表是各校採計之加權數，試求此三人這三校系之加權分數。. 第一名 第二名 第三名. 國文 英文 數學 自然 社會. 國文. 15. 14. 11. 台大醫科. 1. 1.15. 1.25. 1.5. 0. 英文. 14. 14. 13. 陽明醫科. 1. 1.25. 1. 1.25. 1. 數學. 13. 14. 15. 台大數學. 0. 1. 1. 1. 0. 自然. 14. 14. 14. 社會. 15. 14. 12. 前三名學測成績. 三校系採計之權數. Sol：. 例題 3：. 1 2  k 2 2 2 2 設A 、B    ，若 ( A  B)  A  2 AB  B 成立，求 k 值。  3 9 3 4     Sol：. 98.

例題 4：. 1 0 0  1 1 1 1   設 A  1 1 1 、 I  0 1 0  且 ( I  A)4  aI  bA ，求： 3 0 0 1  1 1 1 (1) A2. (2) A3. (3) A4. (4)預測 Ak 並證明之. Sol：. 例題 5：. 1 2  若A  ，試找一矩陣 B 使得 AB  I 2 。 3 7  Sol：. 99. (5) 2a  b.

例題 6： 一實驗室培養兩種菌，令 an 和 bn 分別代表兩種培養菌在時間點 n 的數量， 彼此有如下的關係： an1  2(an  bn ),. bn1  2bn. (n  0,1, 2, )..  an 3   an  a b  若二階方陣 A=  滿足   =A   ，(其中 n=0,1,2,…)，求 (a, b, c, d ) 。  c d  bn 3  bn  Sol：. 例題 7：. 7   2  9  1  設二階方陣 A 滿足 A      且 A      ，試求 A 矩陣。  3 1   4  5 Sol：. 類題 1：. 2 1  3 1  (1) A   、B     ，求 AB 與 BA 。 0 4  1 2. 1  (2) A   2  、 B   4 5 6 ，求 AB 與 BA 。 3   1 2  2 4  1 4 (3) A   0 1  、 B   3 0  3 5    1 4. 3 1  ，求 BA 與 AT BT 。  2  3. 100.

4 5 6 (2) AB   8 10 12  、 BA  [32] 12 15 18.  5 4   6 1 Ans：(1) AB   、 BA      4 8  2 9.  7 17   5 5   、 AT BT   7 5 0 7  (3) BA   17 5 22 15   0 22       7 15 . 類題 2：.  1 3 設A  ，試求：  0 1 (1) A2. (2) A3. (3)預測 Ak. (4)證明 Ak 的預測是正確的. 1 6  1 9  1 3k  Ans：(1)  (2)  (3)     0 1  0 1  0 1  類題 3：.  1 3 試找出一方陣 B 使得 B 2   。  0 1 3  3  1 1      Ans： 2 或 2     0 1 0  1     類題 4： 某小吃店賣魷魚羹、肉羹、花枝羹、蝦仁羹麵大碗、小碗共八種，大碗一律 60 元、小碗一律 40 元。在本週末六、日兩天賣出的數量如下表，求兩天中哪種 羹麵收入最多？ 售價. 大碗. 小碗. 大碗. 60. 魷魚羹. 100. 300. 小碗. 40. 肉羹. 160. 200. 花枝羹. 50. 420. 蝦仁羹. 210. 100. 售價表. 賣出的數量. Ans：花枝羹. 101.

主題：乘法反方陣 1、乘法反方陣： 設 A 是一個 n 階方陣，如果存在一個 n 階方陣 B 使得 AB  BA  I n ，則 稱 B 是 A 的乘法反方陣，簡稱為反方陣。 ※乘法反矩陣只有唯一一個，我們以 A1 表示 A 的反矩陣。 pf：. 2、反方陣的求法：. a b  1 設A  是一個 2 階方陣，有兩種方法可以求 A c d   【法一】增廣矩陣法 利用矩陣列運算化簡將  A | I 2    I 2 | X  ，則 X  A1 。. 【法二】公式解(克拉瑪). A1 . 1  d b  det( A)  c a . 1 2  ＜練習＞設 A   ，求 A1 。  3 7 . 105.

3、反方陣的性質： (1)方陣 A 有反方陣 . 。. (2)「 AB  AC  B  C 」成立的條件： (3)若 AX  B  (4) ( AB)1  B1 A1. 。. 。 ＜c.f.＞ ( AB)T  BT AT. 4、方陣與行列式的乘法： 設 A 、 B 都是二階方陣，則 det( AB)  det( A) det( B) 。 例題 1：. a  2  3a 設A  ，若 A 沒有反方陣，求 a 。  4a  1 a  4  Sol：. 例題 2：. 2 0 ，求 A1 。 設A  1 6  Sol：. 例題 3：. 1 2  2 3 4 X  設   ，求矩陣 X 。 3 4  7 6 5  Sol：. 106.

例題 4：. 2 x  3 y  5 利用乘法反方陣解下列線性方程組  3x  4 y  7 Sol：. 例題 5：. 7   2  9  1  若 A      且 A      ，求矩陣 A 。  3 1   4  5 Sol：. 例題 6： A, B, C 均為二階方陣， I 為二階單位方陣，則下列敘述何者正確？. (1)若 A  B  A  C ，則 B  C. (2)若 AB  AC 且行列式 det A  0 ，則 B  C. (3) AB  BA 恆成立. (4) AI  IA  A 恆成立. (5)若 A2  I ，則 A  I 或 A   I. (6)若 A 的反方陣 A1 存在，則 ( A1 )1  A. (7)行列式值 det(2 A)  2det( A). (8)若行列式值 det( A)  k  0，則 det( A)1 . Sol：. 107. 1 k.

例題 7：. 1 2  設A  ，求： 3 4  (1) A2  5 A  2I 2. (2) A5  4 A4  8 A3  3 A2  2 A  I 2. Sol：. 例題 8：.  2 6 2 3 設A 、P   ，若 A  P1BP ，求：   1 2   2 5 (1) B. (2) An. Sol：. 108.

類題 1：. cos   sin   設A ，求 A 1 。   sin  cos    cos  sin   Ans： A      sin  cos   類題 2：. 1 2  1 2  3 4  設 X    ，求矩陣 X 。  8  7 6  5 2 5  21 24 27 30  Ans： X     10 11 12 13 類題 3：. 1 2  設A  ，求 2 5 (1) A2  6 A  I 2. 0 0  Ans：(1)   0 0 . (2) A4  5 A3  2 A2  A  I 2. 39 84  (2)   84 207 . 類題 4：.  2  3 5  6  設P   、A ，若 A  P1BP ，求：    1 2   2  2 (1) B. (2) An. 2 0 Ans：(1)   0 1.  8  2n  3 12  2n  6  (2)   n n  4  2  2 6  2  4 . 類題 5：. 1  4 1  3 若 A      且 A      ，求矩陣 A 。 0  1 1  5  3 1  Ans：   1 4 . 109.

主題：轉移矩陣 1、轉移矩陣： 若 A  [aij ]nn 是一個 n 階方陣，且滿足下列兩個性質： (1) A 的每一個元都是非負實數. ( aij  0. i, j ). (2) A 的每一行的和都是 1. (  aij  1. n. j ). i 1. 則稱 A 為一個轉移矩陣。 2、馬可夫鏈： 一個隨機試驗可能有多種結果出現。假設我們連續做了這個試驗而且 我們知道第 1 次到第 n 次的試驗結果，則第 n  1 次的試驗結果僅僅和第 n 次 有關。則我們稱這一序列的連續試驗為馬可夫鏈。 3、馬可夫鏈的轉移矩陣： 設一個馬可夫鏈，其可能出現不同的結果有 S1 , S2 ,. , Sn 。而一次試驗. 後，由結果 S j 變成結果 Si 的機率為 pij 。也就是. S1. 試驗前 S2 Sn. S 試 1 驗 S2 後. p11 p21. p12 p22. p1n pn 2. Sn. pn1. pn 2. pnn. 那麼可寫成一個矩陣.  p11 p A   21    pn1. p12 p22 pn 2. p1n  pn 2  ，   pnn . 則矩陣 A 稱為馬可夫鏈的轉移矩陣。(請檢驗滿足轉移矩陣之條件). 110.

 x1k   x10   S1 機率  0  k x x2   S 2 機率  ※起始機率矩陣 X 0  ，試驗 k 次後的機率矩陣 X k   2  ，      0  k  xn   S n 機率  xn  則 X1  AX 0 ， X 2  AX1  AAX 0  A2 X 0 ，…， X k  Ak X 0 。 ※設 A 是一個轉移矩陣，不論 X 0 為何，則當 k 趨近無限大時， X k  Ak X 0 會 趨近一個行矩陣 X ，也就是 lim Ak X 0  X 。其中 X 滿足下列兩個條件： k . (1) ( A  I ) X  0 或 AX  X (2) X 的各元之和為 1 例題 1： a b  5  是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為 8 ，求 a  d 。 c d  . 已知  Sol：. 例題 2： 所謂「轉移矩陣」必須滿足下列兩個條件 (甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 (乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1 0.2 0.3 0.9 0.6 以 2  2 矩陣為例，  和  滿足(甲)(乙)這兩個條件，因此都是轉 0.8 0.7  0.1 0.4 移矩陣。今設 A、B 是兩個 n  n 的轉移矩陣，請問下列那些敘述是正確的？ (1) A2 是轉移矩陣 (2) AB 不滿足條件(乙) (3). 1 (A  B)是轉移矩陣 2. (4). 1 2 (A  B2)是轉移矩陣 4. Sol：. 111.

例題 3： 大明每天晚上的晚餐不是吃麵就是吃飯，假如某一天他晚餐要吃麵，則第二 天仍吃麵的機率為 40％；若是吃飯，則第二天仍吃飯的機率為 20％。 (1)某星期一他晚餐吃飯，則星期三吃麵的機率為何？ (2)長久以來，吃麵與吃飯的比例各占多少？ Sol：. 例題 4： 設甲袋中有 2 個紅球，乙袋中有 2 個紅球 1 個白球，每次從甲袋任取 1 球 與乙袋任取 1 球互換稱為一局，試問： (1)2 局後，甲袋中有 1 個白球的機率。 (2)經過長期間換後，甲袋中有 1 個白球的機率。 Sol：. 112.

例題 4： 某地區有三家牛乳供應商，根據研究顯示：甲公司每年保留 50%的顧客，轉 而訂購乙公司和丙公司牛乳的顧客各佔 25%；乙公司每年保留 30%的顧客，轉 而訂購甲公司和丙公司牛乳的顧客分別佔 60%和 10%；丙公司每年保留 30%的 顧客，轉而訂購甲公司和乙公司牛乳的顧客分別佔 40%和 30%。若目前甲、乙、 丙三家牛乳供應商的市場佔有率為 20%、20%、60%。試問： (1)三年後，這三家公司的市場佔有率各多少？ (2)長期而言，這三家公司的市場佔有率各多少？ Sol：. 例題 5： 設 A 袋中有 2 個 10 元硬幣， B 袋中 3 個 5 元硬幣。從 A 袋中任取一個錢幣 與 B 袋中任取一個硬幣互換。若這樣的互換進行了三次，求 A 袋中 10 元硬幣恰 一個的機率。 Sol：. 113.

例題 6： 設有 A、B 兩支大瓶子，開始時，A 瓶裝有 a 公升的純酒精，B 瓶裝有 b 公 升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶 的溶液倒出一半回 A 瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設 n 輪操作後，. a A 瓶有 an 公升的溶液，B 瓶有 bn 公升的溶液。已知二階方陣  11  a21.  an   a11 b   a  n   21. a12 . a22 . 滿足. n. a12   a  。 a22   b . a  a (1) 求二階方陣  11 12  。  a21 a22  2 1 (2) 當 a  , b  時，求 a100 及 b100 。 3 3. 2 1 (3) 當 a  , b  時，在第二輪操作後，A 瓶的溶液中有百分之多少的酒精？ 3 3. Sol：. 114.

類題 1： 假設有一學生，他的讀書習慣是：如果他在今天晚上讀書，則他在明晚有 60%的機會不讀書；如果他在今天晚上不讀書，則他在明晚有 50%的機會不讀書。 (1)若已知他在這星期一晚上讀書，求他在這星期三晚上讀書的機率。 (2)求長期下來，他晚上讀書的機率。 Ans：(1)0.46 (2). 5 11. 類題 2： 設 A 、 B 兩箱中， A 箱內有一黑一白共兩球； B 箱內有一白球。甲乙兩人輪 流取球，每次先由甲自 A 箱內任取一球，放入 B 箱內，再由乙自 B 箱內任取一球， 放入 A 箱內，這樣稱為一局。 (1)那麼當第一局結束時，求 A 箱內兩球為一黑一白的機率。 (2)長期而言，求 A 箱內兩球為一黑一白的機率。 Ans：(1)0.75 (2). 2 3. 類題 3： 有一人流浪於 A 、 B 、 C 、 D 四鎮之間，此四鎮相鄰關係如右圖。假設每日 1 清晨，此人決定當日繼續留宿該鎮，或改前往相鄰任一鎮的機率皆為 ，若此 3 B A 人第一夜宿於 A 鎮，則第三夜亦宿於 A 鎮的機率是多少？. Ans：. 1 3. D. C. 類題 4： 小明口袋裡 2 個白球，大華口袋裡有 3 個紅球﹐現在兩人每次自口袋裡隨機 取一個球和對方交換，求： (1)在交換二次後，有 2 個紅球在小明口袋裡的機率。 (2)在經過長期交換後，小明口袋裡有 2 個紅球的機率趨近於何值。 Ans：(1). 1 (2)0.3 3. 115.

主題：平面上的線性變換 1、平面上的線性變換：. x 對於平面上任一點 P( x, y) ，就有一個 2 1 階的行矩陣 P   與之對應。  y a b  x a b   x   x ' 設A 為一個二階方陣，對於 P   ，若 AP          ，則 c d   c d   y   y '  y 稱方陣 A 將點 P( x, y) 變換到點 Q( x ', y ') 。 Q( x ', y ') 也稱為 P( x, y) 的像。亦即.  x '  ax  by (等式右邊都是 x, y 的一次式)，這種由矩陣所決定 A 的變換是   y '  cx  dy 的變換稱為線性變換。 ※點 P 經過方陣 A 可得到點 Q ，也就是說 A 決定一個函數，稱為線性函數。 2、線性變換(二階方陣)的幾何性質：. a b  設二階方陣 A    ，可將其視為一個線性變換，則 c d  0 0 (1)當 A    ：表示平面上所有的點經過 A 變換都是原點 (0, 0) 0 0 0 0  (2)當 det A  0 但 A    ：表示平面上所有的點經過 A 變換會是直線 0 0  x  ky 上的一點。. (3)當 det A  0 ：表示平面上所有的點經過 A 變換還是整個平面坐標。 例題 1：. 3 2  A  ，求： 1 3 (1) P(1, 2) 經過 A 的變換後的像 (2) x 軸經過 A 的變換後的像 (3) Q 點，其中 Q 點經過 A 的變換後的像為 P(1, 2) Sol：. 118.

例題 2： 求一矩陣 A ，使得 A 的變換將 P(1, 2) 變為 Q(3, 4) ，將 P '(2,1) 變為 Q '(2,1) 。 Sol：. 類題 1：. 2 3  設A  ，已知點 Q(a, b) 經過 A 變換後得到點 R(0,5) ，求數對 (a, b) 。 1 1 Ans： (3, 2). 類題 2：.  1 2  設A  ，試求直線 2 x  3 y  6 經過 A 變換後的直線 L ' 的方程式。  2 1  Ans： 8x  7 y  18. 類題 3：. 1 a  設A ，已知直線 x  y  1  0 經 A 變換成 x  2 y  5  0，求數對 (a, b) 。 b 2  7 17 Ans： ( , ) 2 2. 119.

主題：基本矩陣 1、基本矩陣： 由 I n 經過一次列運算( Rij 、 rRi 、 rRi  R j )所得的矩陣，稱為基本矩陣。. 1 0 0  0 1   2 0 例如：  、  2 1 0  、   。 1 0   0 0 1   0 4    2、基本矩陣的應用： 每一個列運算都對應一個基本矩陣。我們舉 2 階方陣為例： 0 1   r 0 1 0  R12   rR  rR  、 、 1 2  0 1  0 r  、 1 0     . 1 0 1 r  rR1  R2   rR  R  、 2 1  0 1 。 r 1   而且任意一個二階方陣經過列運算所得的結果就等於在 A 的左邊乘以所對 應的基本矩陣的積。 那麼，如果 A 是一個 n 階方陣且 det A  0 ，一定存在某些基本矩陣 E1 , E2 , , Ek 使得， Ek Ek 1 E2 E1 A  I n 。 ※若 A 是一個二階方陣且 det A  0 ，則 A 所表示的變換必為鏡射、伸縮、推 移或它們的組合。 例題 1：. 0 3 試將矩陣 A    寫成基本矩陣的乘積。 1 2  Sol：. 120.

例題 2： 解下列聯立方程式時，.  x  2y  3   4x 5y 1 將相關的係數與常數以矩陣 A 表達如下：. 3 1 2    4  5  1 對矩陣 A 進行高斯消去法的一個步驟：第一列不改變，並將第二列減去第一列 的四倍成為新的第二列。 試問下列哪一個選項中的矩陣乘積代表對 A 進行上述步驟？.  4 (1)   0  1 (3)   4. 0  1 2 3   0  4  5  1 0  1 2 3   0  4  5  1.  0 (2)   4  0 (4)   4. 3  1 0  1 2   (5)    4 1  4  5  1 Sol：. 121. 0  1 2 3   0  4  5  1 0  1 2 3   1  4  5  1.

主題：伸縮與推移變換 1、伸縮的矩陣表示法： 設點 P( x, y) ，經下列各種變換得到點 P( x ', y ') (1)以原點為中心伸縮 k 倍( k  0 )，則  x '  kx ，表示成   y '  ky  x ' k 0   x   y '   0 k   y      . P '( x ', y '). k倍. P( x, y). P' k 倍. (2) x 軸坐標不變， y 軸坐標伸縮 k 倍，則 x '  x ，表示成   y '  ky  x '  1 0   x   y '   0 k   y      . P. (3) x 軸坐標伸縮 k 倍， y 軸坐標不變，則  x '  kx ，表示成  y'  y  x '   k 0  x   y '   0 1   y      . k倍. P. P'. (4) x 軸坐標伸縮 h 倍， y 軸坐標伸縮 k 倍，則  x '  hx ，表示成   y '  ky  x '   h 0  1 0   x   1 0   h 0  x   h 0   x   y '   0 1   0 k   y    0 k   0 1   y    0 k   y               2、推移的矩陣表示法： 設點 P( x, y) ，經下列各種變換得到點 P( x ', y ') (1)沿 x 軸推移 y 坐標的 k 倍，則  x '  x  ky ，表示成  y'  y P ( x, y ). P '( x  ky, y ).  x '  1 k   x   y '   0 1   y       (2) 沿 y 軸推移 x 坐標的 k 倍，則 x '  x ，表示成   y '  kx  y. P '( x, y  kx).  x ' 1 0  x   y '   k 1   y      . P ( x, y ). 122.

例題 1：. 2 0 直線 L 經 A    變換成 3x  2 y  2 ，求直線 L 之原方程式。 0 4 Sol：. 例題 2： 求點 A(8,1) ，沿 x 軸推移 y 坐標的 2 倍得到的新坐標。 Sol：. 類題 1： 將直線 L : x  y  5 沿 x 軸推移 y 坐標的 2 倍，求所得到的新方程式。 Ans： x  y  5  0. 類題 2：. 2 0 設A  為一伸縮變換，求下列各圖形經 A 伸縮變換後，所得的圖形坐 0 1 標或方程式。 1 (1)點 P( ,3) 2. Ans：(1) (1,3). (2)指數函數 y  2 x (2) y  ( 2) x. 123.

主題：旋轉與鏡射變換 1、旋轉(點旋轉)的矩陣表示法： 在坐標平面上，點 P( x, y) 以原點 O 為中心，旋轉  後得點 P '( x ', y ') ，則 y  x '  x cos   y sin  ，可表成  P( x ', y ')  y '  x sin   y cos .  x '  cos   y '   sin     x. x' y'.  sin    x  cos    y  y. cos .  sin . sin . cos . 或. . P( x, y) x. O. ＜說明＞. cos  ※A  sin .  sin   cos  . cos n  sin n . An .  sin n  cos n . 2、鏡射(線對稱)的矩陣表示法： 在坐標平面上，設直線 L 與正 x 軸夾角為  且 L 通過原點。點 P( x, y) 對 直線 L 鏡射後得點 P '( x ', y ') ，則 y.  x '  x cos 2  y sin 2 ，可表成   y '  x sin 2  y cos 2  x '  cos 2  y '   sin 2    x. x' y'. sin 2   x   cos 2   y  y. cos 2. sin 2. sin 2.  cos 2. 或.  O. ＜說明＞. cos 2 ※A  sin 2. An . sin 2   cos 2 . cos n  sin n .  sin n  cos n . ※直線斜率 m  tan  ※ cos 2 . L. P( x ', y '). 1  tan 2  2 tan  、 sin 2  2 1  tan  1  tan 2 . 124. P( x, y) x.

例題 1： 將平面上原點 O ，點 A(2,2) 。若 OAB 為正三角形且點 B 在第二象限，求 B 點坐標。 Sol：. 例題 2： 將坐標平面上雙曲線  : xy  4 圖形上每一點旋轉 45 ，求所得圖形方程 式。 Sol：. 例題 3： 設 L : x  2 y  0 ，點 P(2, 4) 對直線 L 鏡射後得到點 Q ，求 Q 點坐標。 Sol：. 125.

例題 4： 直線 L : 2 x  y  1 經直線 y  2 x 鏡射後為直線 L ' ，求直線 L ' 方程式。. 例題 5： 設A. 1 3  2  1. 1 2 2  ，求 A20 、 B8 。 、B    3   2 2 . Sol：. 類題 1： 試求直線 x  y  0 經旋轉 30 後再對 y  x 鏡射所得之直線方程式。 Ans： ( 3  1) x  ( 3  1) y  0 類題 2：  3  矩陣 A   2  1   2. 1   30 2  ，試求 Ak 。  k 1 3  2 .  1 2  3 Ans：   1   2  3. 126.

主題：線性變換的面積比 1、線性變換的面積比： a b a b  設A 且 det( A )   ad  bc  0 ，  c d c d  若平行四邊形區 R 透過 A 作線性變換，變換到另一平行四邊形區 R ' ，則 ( R ' 面積)：( R 面積) = | det( A) | ：1。 例題 1： 給了一個矩形 ABCD ，其中 A(1, 0) ， B(1,1) ， C (1,1) ， D(1,0) ，推移變換 1 0  M   將矩形 ABCD 變換到四邊形 A ' B ' C ' D ' ，試描繪出四邊形 A ' B ' C ' D ' 2 1 的圖形，並求它的面積。 Sol：. 例題 2：.  2 1 設 O(0, 0) ， P(3, 2) ， Q(1,5) ，若線性變換   將 OPQ 變換到 O ' P ' Q ' ，  4 3 試求 O ' P ' Q ' 面積。 Sol：. 類題 1：. 1 2  設 P(1, 1) , Q(0, 4) , R(2,0)，經 A    變換後的點依次分別為 P ', Q ', R ' ， 3 4  試求 P ' Q ' R ' 的面積。 Ans：10. 127.

主題：拋物線的定義 1、拋物線的定義： 給予一定點 F （焦點）及一定直線 L （準線），動點 P( x, y) 滿足 (1). (2). 則動點 P 所形成的軌跡圖形稱為拋物線。 ＜畫畫看＞ (1). (3) F  L. (2). L. L L. F F. F. 2、拋物線圖形各部分之名稱： L. (1)準線（ L ）： (2)焦點（ F ）：. A. (3)對稱軸： M. (4)頂點（ V ）：. V. F B. (5)弦： (6)正焦弦（ AB ）： (7)正焦弦長： (8)焦半徑： (9)焦距：. ＝. 151. ＝. ＝.

例題 1： 某慧星之軌道為一拋物線，而以太陽為焦點，當此慧星與太陽之距離為 d 時， 兩者連線與軸成 60 度角，如下圖，試求： (1)當兩者連線與軸互相垂直時，求其距離 (2)兩者之最近距離 Sol：. 彗星 60 太陽. 類題 1： 某慧星之軌道為一拋物線，而以太陽為焦點，當此慧星與太陽之距離為 d 時， 兩者連線與軸成 45 度角，如下圖，試求： (1)當兩者連線與軸互相垂直時，求其距離 (2)兩者之最近距離 Ans：(1). 2－ 2 d 2. (2). 2－ 2 d 4. 152.

主題：拋物線之方程式 1、拋物線的分類： (1)開口上下之拋物線. (2)開口左右之拋物線. 準線平行 x 軸. 準線平行 y 軸. y  y0. x  x0. (3)斜拋物線. 準線不平行 x, y 軸 ax  by  c  0 , ab  0. 2、定義式  適用 給定準線 L : ax  by  c  0 ，焦點 F ( x0 , y0 ) ，動點 P 滿足 (1) d ( P, F )  d ( P, L). (2) F  L. 則可得拋物線方程式為. 。. ※若 P 滿足 d ( P, F )  d ( P, L) 且 F  L，則動點 P 軌跡圖形為 例題 1： 設焦點 F (1,1) ，準線 L : x  y  2  0 ，求： (1)拋物線方程式. (2)對稱軸方程式. (3)正焦弦長. Sol：. 153. (4)頂點. 。.

例題 2： 已知點 F (1,1) ，直線 L : x  y  2  0 ，若動點 P 滿足 d ( P, F )  d ( P, L) ，試求 此動點所形成之軌跡方程式。 Sol：. 例題 3： 判定下列方程式之圖形 (1) ( x  1)2  ( y  2)2 . | 3x  4 y  5 | 5. (2) ( x  1)2  ( y  2)2 . Sol：. 例題 4： 試求拋物線 ( x  4)2  ( y  5)2  (1)焦點. (2)準線. (3)對稱軸. (3x  4 y  7) 2 之 25 (4)頂點. Sol：. 154. (5)正焦弦長. | 3x  4 y  5 | 5.

例題 5： 已知一拋物線之頂點 V (1,1) 、焦點 (2,3) ，求 (1)對稱軸. (2)準線. (3)拋物線之方程式. Sol：. 例題 6： 已知一拋物線之準線 y  2 、焦點 (0, 2) ，求 (1)對稱軸. (2)頂點. (3)焦距. (4)方程式. (5)圖形. Sol：. 類題 1： 方程式 ( x  3) 2  ( y  1) 2  (1)頂點. x y2 2. 所表示之圖形為拋物線，求. (2)對稱軸的方程式. Ans：(1)(2，2). (2)x  y  4  0. 類題 2： 已知一拋物線之頂點 V (3, 2) 、焦點 (5, 2) ，求 (1)對稱軸. (2)準線. (3)拋物線之方程式. Ans：(1) y  2 (2) x  1 (3) y 2  8x  4 y  28  0. 155.

3、標準式： 拋物線的定義：給定 類型. 和. （ c 值有正負）. 左右型. 上下型. 方程式 頂點 焦點. (c, 0). (c  h, k ). (0, c). (h, c  k ). 準線. x  c. x  c  h. y  c. y  c  k. 對稱軸 焦距 正焦 弦長. 圖形 (c  0). 圖形 (c  0). 156.

＜討論＞ 1. 標準式的決定  (1). (2). (3). 2. 標準式的資訊： (1) y 2  4cx.  (1). (2). (3). (1) ( x  h)2  4c( y  k )  (1). (2). (3). 3. 如何判定方向： (1)對稱軸為水平線  開口. 對稱軸為鉛直線  開口. (2). y 2  4cx.  開口. x 2  4cy.  開口. (3). c0.  開口. c0.  開口. 4. 圖形的特色 (1)圖形必彎向. 準線必在圖形. (2)頂點的求法  為 F , M 之中點  V . (3)正焦弦長＝ 例題 7： 設動點 P( x, y) 滿足 d ( P, L)  d ( P, F ) ，求動點 P 之軌跡方程式： (1) F (c, 0) ， L : x  c  0 (2) F (0, c) ， L : y  c  0 Sol：. 157.

例題 8： 已知拋物線的部分條件，試將下列表格填滿： 方程式. y 2  8 x. x2  8 y. ( y  2)2  8( x  1). 方向 頂點 焦點 準線 對稱軸. c值 正焦 弦長. 圖形. 158. ( x  1)2  12( y  2).

例題 9： 已知拋物線的部分條件，試將下列表格填滿：. x2  2 x  4 y  7. 方程式 方向 頂點. (2, 4). 焦點. (2,3). 準線. y 1. 對稱軸. c值. 4. 正焦 弦長. 圖形. 159.

類題 3： 用下列條件，求滿足該條件的拋物線方程式： (1)頂點 (0, 0) ，焦點 (2, 0) (2)焦點 (4,3) ，準線與軸的交點 (4, 1) (3)準線 x  4  0 ，頂點 (4,1) Ans：(1) y 2  8 x (2) ( x  4)2  8( y  1) (3) ( y  1)2  32( x  4). 4、一般式  適用於 (1)上下型： 將 ( x  h)2  4c( y  k ) 展開整理可得.  開口. ； 準線為. 。 線 ； 軸為. (2)左右型： 將 ( y  k )2  4c( x  h) 展開整理可得.  開口. ； 準線為. 。 線 ； 軸為. ※需要知道開口方向才可以用的假設法：. 上下：__________________   左右：__________________  例題 10： 求拋物線 y 2  x  4 y  7  0 之頂點、焦點和準線。 Sol：. 160.

例題 11： 已知一拋物線軸平行 x 軸，且過三點 (1,1) 、 (3, 2) 、 (3, 1) ，試求此拋物線。 Sol：. 類題 4： 已知拋物線的軸平行 x 軸，且過 (1,1)、(3, 2) 、(3, 1)，求此拋物線的方程式。 Ans： x  y 2  y  1. 161.

主題：求拋物線方程式 例題 1： 求下列各條件之拋物線方程式 (1)頂點在原點，對稱軸是坐標軸且通過 P(6,3) 。 Sol：. (2)以 (0, 0) 為頂點，且通過 (2, 2) 、 (2, 2) 。 Sol：. (3)頂點為原點，軸為 x 軸，且正焦弦長為 8。 Sol：. (4)頂點為 (2,5) ，軸為 x 軸，且過點 (5, 4) 。 Sol：. 162.

(5)過點 (2,3) 、 (1, 6) ，且軸為 x  1 。 Sol：. (6)頂點在 y 軸上，軸為 y  2 且焦點在直線 x  2 y  7 上。 Sol：. (7)過 (1,10) 且與 y 2  x2  2 x  3 共頂點且共軸。（共軸共頂） Sol：. (8)過 (2, 4) 且與 y 2  4 x 共軸且共焦點。（共軸共焦） Sol：. 163.