123 一元二次方程式

(1)

123

^{一元二次方程式}

一、一元二次方程式的解 1. 一元二次方程式：

僅含一種未知數，且未知數的最高次方為二次的等式，稱為一元二次方程式。

例：

2 5 7 0

x  x 

為一元二次方程式。 ※一元二次方程式的標準式：

2 0

ax bx c 

2. 一元二次方程式的解(根)：

若^{x m}^ 為一元二次方程式

2 0

ax bx c 

的解(或根)，則可將^{x m}^ 代入，得

2 0

am bm c 

3. 因式分解解一元二次方程式：

解題步驟例子

將方程式整理成標準式：

2 0

ax bx c  14x²11x  11 4 14x²11x15 0

將

ax2bx c

因式分解成兩個一次式的乘積

14x211x15 (7 x5)(2x3)

由「^{A B}^{   }⁰ ^A ⁰^或^B^⁰」得兩個一元一次方程式

(7x5)(2x  3) 0 7x 5 0 2或 x 3 0

兩個一元一次方程式的解即為一元二次方程式的解 5 3

7 5 0 2 3 0

7 2

x   x 或 x    x

4. 一元二次方程式解的情況：

一個一元一次方程式若有解，則一定有兩個解，又分為兩種情況，若兩個解不同，稱為兩相異根；若兩個解是同一個數時，稱此情況為重根。

5. 方程式的減根問題：

若方程式的等號兩邊有相同的未知數部分，不可以將這部分直接消去，因為會造成減根。

例：若

(2x3)2 (7x5)(2x3)

直接消去(2x3)

得(2x 3) (7x5)

，會減少(2x 3) 0

的根。

6. 由方程式的根反推原方程式：

若已知方程式的兩根為 、

，則此方程式為(x)(x) 0

例：若

2x2ax b 0

的兩根分別為3或－1，試求a和b的值。

班級座號姓名

(2)

法一：

2 2

3 1 ( 3)( 1) 0 2 3 0 2 4 6 0 4 6

x 或；  x x   x  x   x  x    a b 

法二：分別將x3 和x 1 代入

2x2ax b 0

得到a和b的二元一次聯立方程組，解開即可。

二、配方法與公式解

若無法利用因式分解法將一元二次式化為兩個一次式乘積時，則用另外一種方法：配方法 1. 平方根解

(1) 若

2 =

x m ，則x  m。

(2)

( )2 = b c

ax b c ax b c ax b c x

a

  ，則        

2. 完全平方式

2 2 2 2

9x 12x 4 (3 )x    2 3x 2 2 (3x2)

稱為完全平方式。

3. 利用配方法解一元二次方程式

解題步驟例子公式解

將 x2

項係數化成1 ³^x²^⁵^x^{ }^{1 0}^ ^x²^⁵₃^x^{ }¹₃ ⁰ ^ax²^^{bx c}^{ }⁰^ ^x²^^b_a^x^{ }^c_a ⁰ x2

項與^x項留在等號左邊常數項移到等號右邊

2 5 1

3 3

x  x   ² b c

x x

a a

  

等號兩邊同時加上

2

x 

 

 

項係數 2 5 5 2 1 5 2

+ ( ) + ( )

3 6 3 6

x  x   ² + ( )² + ( ) ²

2 2

b b c b

x x

a a a a

  

等號左邊寫成完全平方式且算出等號右邊相加的和

5 2 13

( )

6 36

x  ² ²

2

( ) 4

2 4

b b ac

x a a

  

由平方根概念得到解 5 13 5 13

6 36 6

x x 

    

2

4

2 2

4 2

b b ac

x a a

b b ac

x a

   

  

 

4. 判別式與方程式解的關係：

從公式解

2 4

2

b b ac

x a

  

 中可看出，方程式的兩根是否存在或相等取決於根式是否存在，而

根式是否存在又取決於根式內的正負性，故將公式解根式內的值稱為判別式。

(3)

判別式解的情形

2 4 0

b  ac 兩相異根

2 4 0

b  ac 重根

2 4 0

b  ac 無解

※ 一元二次方程式

2 0

ax bx c 

有解

判別式

2 4 0

b  ac

※ 一元二次方程式

2 0

ax bx c 

解的情形為重根  ax²bx c

為完全平方式

5. 根與係數的關係：

若 、

為一元二次方程式

2 0

ax bx c 

的兩根，

則兩根和 b

   a

兩根積 c

 a

例題：

1.(1) 判別

3x22x5

是不是3x5

的倍式？

(2) 若

2 2

x mx

是x1

的倍式，則m之值為？

(3) 若

9x2mx25

為一個完全平方式，m=？

(4)若x b 為

2 18

x ax

的因式，則b不可能為下列何者？(A) 4 (B) 6 (C) 9 (D) 18

2. 將下列各式因式分解：

(1) (a b x y z )(    ) (a b z y x)(   )

(2)

2(x2 )y 25 (2x y x )

(4)

3.將下列各式因式分解：

(1)

3a26ax5ac4ab8bx10cx

(2)

2 2 2 2

( ) ( )

a b c c a b

4.將下列各式因式分解：

(1)

2 2 2 2

1 4 x 9y 36x y

(2)

4 2 2 4

a a b b