線形代数は線形写像 (線形性) を解析するための理論の集合であり、線形写像は定数関数以外の最も単純な関数であるという見方もできます。
ユークリッド空間における和とスカラー倍
線形写像を数式として定義するには、集合、写像、ベクトル、スカラー倍算、ユークリッド空間などのさまざまな用語を説明する必要があり、これが代数学を学ぶ理由です。
写像とその合成
マッピングと関数はほぼ同義であることに注意してください。
線形写像と行列
上記の説明から、線形マップと R2 間の 2×2 行列の間には 1 対 1 の対応関係があることがわかります。
加法定理 ( よりみち )
一般的な m×n 行列 A は次のように表すことができます。
行列の和とスカラー倍
上記の定義によれば、n次の列ベクトルとn次の行ベクトルは別の行列となるため、誤解を招く可能性があります。
行列の積
は A と B の積と呼ばれ、A B で表されます。A の行数と B の列数は任意です。
行列演算の性質
これらの計算は一つでも間違っていると正しい結果が得られませんが、実際には次のように計算が行われます。
行列の表し方 22
成分の空白と任意性
さらに、すべての 0 コンポーネントが結合領域にある場合、それらはまとめて O で表されます。重要度の低いコンポーネントは * で置き換えることができます。
転置行列
A が (m, n) 行列の場合、それは (m, m) 行列であり、その成分は A、AtA の行の内積です。 n)-行列は tA A です。
行列の分割
行列分割に基づく計算は、帰納法によって行列の特性を実証する場合に非常に強力です。
連立 1 次方程式 29
- 連立 1 次方程式と行列
- 逆行列を持つ場合
- 行列の行基本変形
- 簡約行列
- 連立 1 次方程式の解法
- 連立 1 次方程式の解の形と任意定数の個数について
- 簡約行列の性質 ( よりみち )
以下の条件 (I) ～ (IV) をすべて満たす行列 A = [aij] は、簡約形式であると言われます。
可逆行列 41
行基本変形再考
行の基本変換を行列の積に関連付けてみましょう。
逆行列の求め方
A の逆行列を見つけるには、(n,2n) 行列 [A|En] を単純化する必要があります。実際、次のステートメントは、 D が A の逆行列でもあることを示しています (つまり D=B )。
行列の階数 46
- 連立 1 次方程式と階数
- 同次形の方程式
- 重ね合わせの原理
- R n 上の線形変換の体積拡大率
- 体積拡大率から分かること
- クラメルの公式
- 微積分学における行列式
方程式 (I) の解 a を取得して修正しましょう。また、方程式 (I) の解 a(x) を取得し、それを修正します。
置換 60
- 置換の表示
- 置換の積
- 巡回置換とその表示
- 置換の符号
- 対称性と群 ( 発展 )
これは順列の積と考えられ、σ τ または στ と書かれます。したがって、σ は A 上の順列と考えることができ、これは恒等順列です。
置換の符号と転倒数 ( よりみち ) 69
文字列の並び替えと転倒数
この場合、順列 σ∈Sn は「n 文字列の順列」と考えることができます。
カヴァリエリの原理
ところで、上の例は図形の体積が積分で与えられるという前提でしたが、では図形の体積が積分で与えられるという証明は何でしょうか？
多重線形性
カヴァリエリの原理を使用すると、体積を変えずに図形を変形できます。で描いた図形Bの面積に等しい
歪対称性
微積分の演習を数多く実行すると、行列式が平行体の符号付き体積であることが理解できるようになります。行列式のサイズを小さくすることも可能です。
計算例
上の方程式の証明 (余因子展開) については、セクション 13.1 を参照してください。行列のサイズに関する帰納法によって示されます。
行列式と符号つき体積
つまり、σ が Sn 上を重なりなく移動すると、I(σ) は Sn 上を重なりなく移動します。
歪対称性の証明
つまり、aσ(ki)ki = aiσ−1(i)となり、積の順序を並べ替えると、各項の積の順序が入れ替わります（p番目とq番目が入れ替わります）。 。
多重線形性と歪対称性から導かれる性質
列の置換については、定理 10.3.1 を使用して行の置換に還元できます。歪み対称性を満たす F の場合、列の置換が複数回実行されると、F の値は元の値の ±1 になります。倍増する。
行列式の特徴づけ
和の数がℓの場合に等式が成立すると仮定し、和の数がℓ+1の場合を示します。マップ F :Mn(R) → R は、列ベクトルのペアに対して多重線形性とスキュー対称性を持ちます。 、各 A∈Mn(R) に対して F(A) = detA F(E) となります。
命題 11.1.1 の証明
さらに、逆行列の式は余因子展開を使用して取得できます。
余因子行列
等号が振幅 k−1 に対して成り立つと仮定して、振幅 k の場合を示しましょう。
クラメルの公式の証明
集合 A = {リンゴ、スイカ} と集合 B = {リンゴ、スイカ、スイカ} は等しい。
集合の表し方
すべての写像 f :R2→R2 の集合 Y が次の形で表現できることを確認した。
外延的か内包的か
定義 14.2.4 で与えられた各区間について、それを集合の内包表記で表現します。 集合 X の外延表記を与えます。次の式で与えられます。
和集合と共通部分
これを考慮して、複数の集合の和集合と積集合を次のように定義します。
集合論と逆理 ( よりみち )
同様に、集合論では、厳密に定義されるのは集合そのものではなく、公理です。
線形空間の例
C(I) で和とスカラー乗算を定義しましょう。 例 15.2.5 の多項式を区間 I を定義域とする関数とみなすという観点から、すべての多項式が実行されます。
体 K 上の線形空間 ( 発展 )
たとえば、R⊂C であるため、C は R 上の線形空間です。部分空間となるための条件(ii)と(iii)をまとめると以下のようになります。
R n の部分空間
W ⊂WA): x∈W を任意にとると、実数 r を使って x=ry と書けます。WA を任意にとると、Ax=0 が成り立ちます。
部分空間の様々な例
また、ゼロベクトルを線形結合として表す式 ∑n が、u1,...,un の線形結合として記述できると仮定します。
線形独立性
この意味で un が不要であれば、un は V の要素であるため、u1, ...,un−1 の線形結合として書くことができます。なれ。
線形独立性の判定
上記の命題を適用して、他のベクトルの線形結合によってどのベクトルが記述できるかを見てみましょう。W は V の部分空間であり、命題 16.1.5 により、W は線形結合で閉じられます。
基底の定義と例
ベクトル集合 u1, ,un∈V を線形独立とし、v∈V の場合、次のことが成立します。矛盾法を使用して、次のことを示します。
基底の探し方
V ができるまでは線形独立性を満たすように要素を 1 つずつ追加していけばよいので、un1 と un2 の線形結合では表現できないベクトルがあり、このベクトルを un3 と呼びます。
一般の基底 ( 発展 )
このとき、各 W ∈ W, ∩ に含まれるすべての要素を集めた部分集合 V が求められます。
全射と単射
また、f が X の各要素を特定の点 b∈Y にマッピングする定数値マップ (定数関数) の場合 (つまり、f(x)≡b の場合)、f(x) =b または f = We とします。 b. 練習問題 19.1.2 の写像の単射性と全射性は次のとおりです。
逆写像とその性質
もう一つの意味は、y を逆写像 f-1 :Y →X に置き換えた値です。はい。
写像の合成
写像 f :X→Y と g:Y →Z を全単射とすると、可逆行列 B と A の場合、BA の逆行列は A−1B−1 になります。このようになります:
無限集合 ( 発展 )
この場合、 f(ui) = vi を満たす線形写像 f : U → V が 1 つだけ存在します。つまり、線形性(iii)を満たすfは線形写像である。
線形写像による像
線形写像の合成も線形写像 f|W も線形写像であるため、f(W) = Imf|W と書くことができます。
線形写像による逆像
線形写像 f :U →V および定義域の部分空間 W ⊂V の場合、f から W までの逆関数 f−1(W) は U の部分空間です。線形写像 f :U →V では、次の関係が等しくなります。に：。
様々な線形写像の例
定義すると、それは線形写像であり、線形写像 f :U →V が全単射である場合、それを線形同型写像、または単に同型写像と呼びます。
同型な線形空間
このマップは命題 21.1.6 と線形同型です。 Mm,n(R) と Rmn は線形同型ですが、同じ記号を使用しません。
線形写像のなす空間
TA(ei) と TB(ei) はそれぞれ A と B の i 番目の列であり、TA(ei) = TB(ei) と仮定して、可逆性を示します。
多元環とその準同型
線形写像 TA:Rn→Rm は同型なので、命題 21.2.7 より、m=n、A は正方行列なので同型となり (この事実は自分で調べてください)、この時点で τ はいわゆる同型になります。
線形変換と多項式
線形変換 F :U →U と多項式 Φ、Φ1、Φ2、Ψ、Ψk について、次を示します。
次元の定義
この観点から私が与えた量は、通常、不変量と呼ばれます。
連立 1 次方程式の任意定数の個数
これは、トポロジ内で被覆次元が不変であること、つまり、被覆次元が異なる空間は同相ではないことを意味します。不変量 i は完全不変量と呼ばれます。
線形独立な最大個数
V が有限次元の場合、線形独立ベクトルの最大数は dim V です。命題 22.3.3(1) から、V から dimV + 1 ベクトルの線形独立セットを取得することはできません。
次元から分かること
有限次元線形空間間の線形写像 f :U →V の場合、次のようになります。
無限次元の空間も含めた一般論 ( 発展 )
線形空間 V の場合、A と B⊂V が V の基数であれば、A と B は等しくなります。 A と B をそれぞれ線形空間 U と V の底とします。
線形写像の次元公式
したがって、TA(e1) が ImTA の基底となり、e1 と u (e1 に u:=e1+e2 を加えたもの) が R2 の基底となります。すると、u∈/KerTAとなり、uはKerTAの基底ではなくなります。
商空間 ( 発展 )
U を線形空間、W をその部分空間とする。集合 u+W をタイムスパン U/W の要素とみなす場合、[u] と省略します。
商空間の例 ( 発展 )
この場合、次の計算で得られる別の w' ∈W' を使用して、a=v+w' であることを示すことができます。 前のステートメントの u と v として、 u+w および u を取ると、主張。
同値関係と商集合 ( 発展 )
各 u∈U について、≃ に関する同値類 u と集合 u+W は一致します。
第 1 同型定理
完全系列と短完全列
短い完全シーケンスは、完全シーケンスの特殊なケースです。完全なシーケンスが満たさなければならないプロパティの 1 つは、fn+1◦fn=0 です。
ベクトルの組と行列の演算の基本性質 ( 付録 )
線形結合再考
次の定理は、定理 17.3.5 を一般の線形空間に拡張します。
線形独立性の判定 (2)
このセクションで示した事実を使用すると、一般の線形空間におけるベクトルのペアの線形独立性を決定できます: 例 25.4.2。
基底の変換行列
線形マップ f :U →V をユークリッド空間間の線形マップ (つまり行列) にマッピングする方法を説明します。それをどう訳すか考えてみましょう
基底の取りかたによる表現行列の違い
双対基底
双対写像
双対写像の基本的性質
二重双対
内積との類似性
固有ベクトル
固有ベクトルからなる基底と行列の対角化
特性多項式
固有空間
一般の線形写像の固有空間
固有ベクトルからなる組の線形独立性
対角化可能条件
一般の線形変換の場合
多項式と方程式の解に関する基本的性質 ( 付録 )
対角化可能な行列の場合
一般の場合
複素数列のなかの実数列
高次の線形漸化式と表現行列 ( 発展 )
特性多項式が複素解をもつ場合における実数解
高次の線形常微分方程式 ( 発展 )
冪零部分空間
微分作用素とシフト作用素の一般固有ベクトル
冪零部分空間と安定部分空間への分解
直和分解 ( 付録 )
ケーリー - ハミルトンの定理 ( 再論 )
線形漸化式と線形常微分方程式 ( 再論 )
定理 34.1.1 の証明
余弦定理と内積
正規直交基底
シュミットの直交化法
直交補空間
内積空間 ( 発展 )
直交行列による上三角化
直交行列による対称行列の対角化
対称行列が定める 2 次形式
正定値性の判別法
多変数関数の極値判定 ( よりみち )
直交変換
直交射影とその鏡映
対称行列の性質
射影変換 ( 発展 )
線形空間と極限 ( よりみち )
複素内積空間における直交性
エルミート内積から定まるノルムの性質
随伴行列と随伴変換
ユニタリ行列
エルミート行列の性質
正規行列
フーリエ級数展開 ( 発展 )
式 (39.8.2) のあらまし
