2019 年度 線形代数学・同演義 II
（担当：松本佳彦）第 1 回中間試験
2019年11月7日（木）3限 試験時間75分
配布物：問題，解答用紙1枚，計算用紙1枚
以下の問題に答えよ．解答の順番は問わない．
𝐾 はR（実数全体の集合）またはC（複素数全体の集合）を表す．また𝐾[𝑥]𝑛 は，𝐾 の元を 係数とする𝑛次以下のすべての𝑥の多項式からなる𝐾 上の線形空間を表す．
1. 次に掲げるのは，この授業で採用した線形空間の定義である．
集合𝑉 が以下の条件(a)，(b)をみたしているとき，𝑉 は𝐾 上の線 形空間であるという．
(a) 𝑉 には次の2つの演算が定義されている．
(i) 𝒖，𝒗 ∈𝑉 に対し𝒖+𝒗 ∈𝑉 を与えるもの（加法）．
(ii) 𝒖 ∈𝑉，𝜆∈𝐾 に対し𝜆𝒖 ∈𝑉を与えるもの（スカラー倍）． (b) 加法，スカラー倍は以下の性質をもつ．
(i) 𝒖+𝒗 =𝒗+𝒖．
(ii) (𝒖+𝒗) +𝒘 =𝒖+ (𝒗+𝒘)．
(iii) 「任意の𝒖 ∈𝑉 に対し𝒖+0= 𝒖」をみたす0 ∈𝑉 が存在 する．（この性質をもつ0を零ベクトルという．）
(iv) 任意の𝒖 ∈𝑉 に対し，𝒖+𝒗 =0をみたす𝒗 ∈𝑉 が存在す
る．（この性質をもつ𝒗を−𝒖で表す．）
(v) 𝜆(𝜇𝒖) = (𝜆𝜇)𝒖． (vi) 1𝒖 =𝒖．
(vii)
(1) 空欄にはいわゆる「分配法則」を表す記述が入る．ここに入れるべき内容を書け．
(2) 𝐾 上の線形空間𝑉 において，任意の𝒖∈𝑉 に対し0𝒖 =0であることを示せ．証 明の中で，どこで上掲の性質のどれを使っているのか，明確に説明すること．
2. 次の主張が正しければ証明し，誤っていればその理由を説明せよ．
(1) 「𝑉 =𝐾[𝑥]3において，ちょうど2次の多項式をすべて集めて得られる部分集合 𝑊 は𝑉 の線形部分空間である．」
(2) 「𝑉 を，各項が 𝐾 の元であるような数列全部からなる 𝐾 上の線形空間とする．
写像 Φ:𝑉 → 𝑉 を，数列 {𝑎𝑛} ∈ 𝑉 に対し数列 {𝑏𝑛} を 𝑏𝑛 = 𝑎2𝑛 により定め，
Φ({𝑎𝑛})={𝑏𝑛} とおくことによって定義する．このΦは線形写像である．」
(3) 「𝑉 を𝐾 上の線形空間とし，𝑘 を2以上の整数とする．𝒖1, 𝒖2, . . ., 𝒖𝑘 ∈𝑉 が線 形従属ならば，これらのうち少なくとも一つのベクトル𝒖𝑗 を，他の𝑘 −1個のベ クトル𝒖𝑖（𝑖 ≠ 𝑗）の線形結合として表すことができる．」
3. 実線形空間𝑉 =R[𝑥]3，𝑊 =R[𝑥]1を考える．写像Φ:𝑉 →𝑊 を Φ(𝑓(𝑥)) =
∫ 1
0
(𝑥−𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
によって定義する．
(1) Φが線形写像であることを示せ．
(2) 𝑉 の基底 Σ = [1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3]，𝑊 の基底Ξ = [1, 𝑥] をとる．基底 Σ，Ξに関する線 形写像Φの表現行列を求めよ．
(3) Φの核KerΦの基底の一例を挙げよ．
(4) Φの像ImageΦが𝑊 に一致することを証明せよ．
4. 𝑉，𝑊1，𝑊2を，いずれも𝐾 上の有限次元線形空間（有限個のベクトルからなる基底 をもつような線形空間）とする．また
Φ1: 𝑉 →𝑊1, Φ2:𝑉 →𝑊2
を線形写像とする．
(1) Ψ◦Φ1= Φ2をみたすような線形写像Ψ:𝑊1 →𝑊2が存在するならば，KerΦ1 ⊂ KerΦ2であることを示せ．
(2) 逆に，もしKerΦ1 ⊂ KerΦ2が成立していれば，Ψ◦Φ1= Φ2をみたすような線 形写像Ψ: 𝑊1→𝑊2が存在することを示せ．
𝑊1
𝑉
𝑊2 Ψ?
Φ1
Φ2
答案の返却について 答案は次回（11月21日）の授業で返却する予定です．
