2017
代数学シンポジウム アブストラクト
寺井 直樹 （佐賀大学 教育学部）単項式イデアルのべきと記号的べきについて
Abstract. S = K[x1, . . . , xn] を 体 K 上 の多項式環とする. [n] := {1,2, . . . , n} 上の 単体的複体 ∆ に対して, I∆ = (xi1· · ·xip : 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n, {i1, . . . , ip} ∈/ ∆) を ∆ の Stanley-Reisner イデアル と呼ぶ. PF = (xi : i ̸∈ F) とおくとき, I∆(ℓ) =
∩
F:maximal face in∆PFℓ (ℓ≥1)をI∆のℓ-th symbolic powerと言う．次が成立する. 定理1(Minh-Trung, Varbaro, Terai-Trung) 次は同値である：
(1)任意の ℓ≥1に対して,S/I∆(ℓ) は Cohen–Macaulayである. (2)ある ℓ≥3 に対して,S/I∆(ℓ) はCohen–Macaulay である. (3) ∆はマトロイド である.
定理2(Terai-Trung)次は同値である：
(1)任意の ℓ≥1に対して,S/I∆ℓ は Cohen–Macaulayである. (2)ある ℓ≥3 に対して,S/I∆ℓ はCohen–Macaulay である. (3)S/I∆ は完全交叉(complete intersection)である.
毛利 出 （静岡大学 理学部）
Noncommutative quotient singularities
Abstract. Letk be a field. Note that a finite subgroup G≤GLn(k) naturally acts on the affine space An and the polynomial algebra S = k[x1, . . . , xn]. The quotient space An/Ghas a singularity, called a quotient singularity. IfSG is the invariant subalgebra of S by G, thenAn/G can be described as SpecSG, so the algebra SG is essential to study the quotient singularity. In this talk, we will study the invariant subalgebra SG of an AS-regular (Koszul) algebraS, which can be thought of as a noncommutative analogue of a polynomial algebra in noncommutative algebraic geometry, by a finite groupG acting on S.
中嶋 祐介 （東京大学 IPMU）
Conic divisorial ideals of Hibi rings and their applications
Abstract. 本講演ではトーリック環のconicと呼ばれる階数1の反射的加群のクラスに注 目します。Conicな加群はトーリック環Rを定める錐(cone)の情報を用いて定義されるも のであり、「Rの元のn乗根の成すR加群R1/nの直和因子として現れる加群」としても特 徴付けられることが知られています(ここでnは十分大きな自然数)。また、上記の特徴付
けによりconicな加群は正標数の可換環や非可換特異点解消といった話題と深く関連する
ことがわかっています。本講演では、日比環と呼ばれる半順序集合から構成される特別な トーリック環に対してconicな加群を考察し、その具体的な記述を半順序集合の言葉を使っ て与えます。時間が許せば、その具体的な記述を用いて正標数の可換環や非可換特異点解 消との関係についても紹介したいと思います。本講演は東谷章弘氏との共同研究に基づい たものです。
相原 琢磨 （東京学芸大学 教育学部）
On the existence of silting objects
Abstract. 傾理論は, 加群圏や導来圏の構造を具体的に記述するための道具として, 1980 年頃に登場した. さらに, 一般の三角圏においても傾理論は威力を発揮し, 特に, (代数的) 三角圏を環上の(完全)導来圏として実現できることが知られている. このように, 傾理論 は数学の様々な分野で注目されている.
傾理論において中心的な役割を果たすものが(準)傾対象であり, 与えられた三角圏の構 造を把握するために,できるだけ多くの傾対象を得ることが要求される. そこで導入された 方法が傾変異であり, これによって, 一つでも(零でない)傾対象を見つけることができれ ば,無数に多くの傾対象を得ることができる. 一方,傾対象を持たない三角圏も知られてい る. 本講演では,いくつかの三角圏を観察しながら,傾対象の存在・非存在について述べる.
高橋 亮 （名古屋大学 多元数理科学研究科）
可換環の右有界導来圏のテンソル構造とBalmer spectrum
Abstract. テンソル三角幾何学（tensor triangular geometry）は、今世紀に入ってから
Balmerによって創設され目下発展中の新しい理論である。古典的な可換環のスペクトル
（アフィンスキーム）は、可換環の素イデアルの集合にZariski位相を入れた位相空間とし て構成される。これの類似として、与えられたテンソル三角圏（対称モノイダル構造をも つ三角圏）に対し、それのテンソル積を積と見立てて素イデアルに相当するthick部分圏を 考え、これら全体のなす集合にZariski位相に類似する位相を入れて、Balmerスペクトル と呼ばれる位相空間が構成される。テンソル三角幾何学は、このBalmerスペクトルを用い て可換環論・代数幾何学的な考察を展開する理論である。2010年の国際数学者会議（ICM）
でBalmerが招待講演を行ったように、テンソル三角幾何学は近年世界の注目を集めてい
る。この講演では、可換Noether環上の有限生成加群の右有界複体のなす導来圏のBalmer スペクトルを調べる。
石田 正典 （東北大学 理学研究科）
非有界凸多面体とトーリック型カスプ特異点
Abstract. r次元トーリック多様体の記述には互いに双対な実空間MR≃Rr とNR≃Rr を用いる．それぞれ格子点集合として M ≃Zr とN ≃Zr を含む．射影的トーリック多 様体とその上のアンプル直線束の組には，MR のあるr 次元凸多面体ですべての頂点が格 子点となるものが対応する．この講演ではMR の有界とは限らない有理凸多面体を定義し て，そのような凸多面体Pから得られるトーリック多様体について議論する．P には 0か らr までの値をとる cc次元が定義される．cc次元 0はP の有界性と同値である．cc次 元r の場合のトーリック多様体を離散群の作用で割った後，因子を収縮させて得られるの が土橋宏康によるトーリック型カスプ特異点である．佐武コンパクト化などの数論的な例 から目を外すと，トーリック多様体の観点から面白いものが見つかる．最近，土橋によっ て発見された 4次元カスプ特異点の例などを紹介する．
川又 雄二郎 （東京大学 数理科学研究科）
非可換環上の変形について
Abstract. 非可換 Artin環上の変形理論について述べる。小平・Spencerの変形理論では パラメーター空間は複素多様体であった。Grothendieck, Artin, Schlessinger はパラメー ター空間として可換Artin環を考えた。Laudalはパラメーター空間として非可換Artin環 を考えた。Donovan, Wemyssは３次元 flop の例外曲線に対して非可換変形を考えた。非
可換 Artin環は局所環の直積にはならないので、相互作用を持つ多体問題となる。この講 演では、単純組というものを定義し、その非可換変形を考えると、Abel圏における拡大の 理論と一致することを見る。そして、相対的例外対象や相対的球面対象を構成し、半直交 分解や球面関手が得られることを示す。
小島 秀雄 （新潟大学 自然科学系）
対数的小平次元がゼロとなる開代数曲面について
Abstract. 飯高茂氏による対数的小平次元の理論により、開代数多様体、特にアフィン代
数多様体の研究が進展しており、消去問題等のアフィン代数幾何学での重要な問題に応用 されてきました。
本講演ではまず、開代数曲面の対数的小平次元による構造定理を紹介し、近年得られた 結果をいくつか紹介します。その後、対数的小平次元がゼロの場合について、現在までに 分かっている結果を紹介します。更に、平面曲線の補集合となるアフィン代数曲面でその 対数的小平次元がゼロになるものについて得られた結果とその応用例についても紹介する 予定です。
渡邉 究 （埼玉大学 理工学研究科）
Geometric characterizations of rational homogeneous manifolds
Abstract. 70年代前後，射影空間の特徴付けは複素幾何学，代数幾何学両分野に股がる大 問題であったが，森重文によるFrankel-Hartshorne予想の解決により一段落を迎えた．そ の証明に用いられたアイデアを一般化することにより，J. M. HwangとN. Mokを中心に VMRT（Varieties of Minimal Rational Tangents）の理論が研究されてきた．VMRTとは ファノ多様体上の極小有理曲線の接方向により定まる図形である．ファノ多様体の様々な 幾何学がVMRTから読み取れることがHwangとMok等の研究によって知られている．特 に，ピカール数1の有理等質多様体は三つの例外を除いてVMRTにより特徴付けられるこ とが知られている．また，それら例外の場合に関しても，同様の結果が成り立つことが予 想されている．ここで，三つの例外とはシンプレクティックグラスマン多様体と二種類の F4型の等質多様体である．本講演において，シンプレクティクグラスマン多様体とF4(4) 型の等質多様体についてVMRTの観点から特徴付けを与える．本研究はG. Occhetta と L. E. Sol´a Condeとの共同研究である．
高山 茂晴 （東京大学 数理科学研究科）
ファイバー空間の相対多重標準束と充填問題
Abstract. 代数多様体のファイバー空間f :X → Cは中心ファイバーX0 =f∗(0)を除 き滑らかであるとする. このときにX0に沿った適当な双有理変換φ: X 99KX′を施し, f′:X′ →Cの中心ファイバーX0′ が滑らか,もしくはマイルドな特異点しか持たないよう にできるかどうかを考える.
一般ファイバーXtがCalabi-Yauやcanonically polarizedのようにK¨ahler -Einstein計 量ωtを許容する場合に,ωtに関する直径の一様有界性diam (Xt, ωt)< αと,置き換えた中 心ファイバーX0′ が高々標準特異点しか持たないことが同値であることを示す. これには, Hodge構造の変動から定まるC\ {0}上の退化ケーラー計量の0∈ Cでの非完備性, およ びX0 =∑
i∈IFiとしたときの多重種数間の等式Pm(Xt) =∑
i∈IPm(Fi)が深く関係して いることを説明する.
志甫 淳 （東京大学 数理科学研究科）
エタール層とアイソクリスタル
Abstract. 射影的で滑らかな連結複素代数多様体Xの基本群の定義は代数的ではない．代 数的に考えると，代数多様体としてのX上の有限エタール被覆(あるいはX上のエタール 位相に関する局所定数構成可能層)を分類する副有限群としてエタール基本群が定義され るが，一方，ドラーム的なアプローチとして，X上のOX 連接DX 加群を分類する副代数 群としてドラーム基本群が定義される．そして，エタール基本群が自明ならばドラーム基 本群も自明であることがわかる．この事実の標数p >0における類似がGiesekerにより予
想され，Esnault-Mehtaにより証明されているが，その解決を受け，更にp進版の予想が
de Jongにより提起された．これは，標数p > 0の代数閉体上の射影的で滑らかな連結代
数多様体Xに対して，Xのエタール基本群が自明ならば，X上のアイソクリスタルとい うp進的対象が自明なものしかないであろうというものである．講演では，このde Jong の予想に関する諸結果について述べる．
古澤 昌秋 （大阪市立大学 理学研究科）
保型L函数の特殊値の代数性について - 極私的総括
Abstract. L函数（ゼータ函数）の研究は現代の数論における中心的課題のひとつです．特に それらのL函数の特殊値は，数論的に有益な情報を内包していると考えられます．Langlands 予想によれば，数論的なL函数の多くは保型L函数としてとらえられると思われ，したがっ て，それらの特殊値の研究は重要です．保型L函数の特殊値研究を深めていくための端緒 として，その代数性を示すことがあげられます．代数性を示した後には，整除性を示す，特 殊値を数論的な不変量と結びつける，などといった方向への深化が期待されます．
保型表現論の急速な発展に伴い，保型L函数の特殊値の代数性の研究は，特に高階数の 代数群の場合に関して，活発になりつつあるように見受けられます．しかし，その全体に ついて総括講演を行うことは，手に余る大きな課題であります．そこで本講演においては，
講演者の本研究課題への関わり及び森本和輝氏との共同研究による結果に基づいた，極私 的総括について講演したいと考えています．
佐野 昂迪 （大阪市立大学 理学研究科）
Euler系の理論の最近の発展について 山内 卓也 （東北大学 理学研究科）
高次代数群に対する保型形式とその周辺
Abstract. この講演ではトロント大のヘンリーキム氏と共同で得られた保型表現とガロア
表現に関する一連の研究を 2部に分けて概観する。先ず初めにラングランズ対応について 簡単に解説し像が有限となるガロア表現(Artin表現)にどのような性質を備えた保型形式 が対応すべきかについて述べる。続いて対称空間がエルミートであるような代数群上に保 型形式を具体的に構成する池田保氏によって考案された方法を述べる。この方法は現在で は池田リフトと呼ばれている。このリフトは池田、山名, Kim,山内によってすべてのtube
domainの場合に拡張され、レベルが自明な場合の楕円保型形式をそのtube domain 上の
保型形式にリフトする対応である. その後このリフトは新しいアイデアの導入により池田 山名両氏によってレベル付きのヒルベルトモジュラー形式からのリフトに拡張された。こ のリフトについても概観し例外群E7 の場合に彼らの理論がどのように拡張されるかも述 べる。さらに時間が許せば構成したリフトの応用を述べたい。
若林 泰央 （東京大学 数理科学研究科）
l-adic CohFT and the Witten conjecture for dormant opers
Abstract. 代数的解を持つ（複素数係数の）線型常微分方程式に対する理解は, 1870年 代のSchwarz, Fuchs, Gordan, Klein等の研究以来進められて（?）きました. 今回は正標 数におけるそのような対象の数え上げ問題について考えてみたいと思います. 代数的解を 最大限に持つ正標数の線型常微分方程式を一般化した概念として, dormant operと呼ばれ る代数曲線上の（正標数固有の）然るべき可積分接続付き主束があり, 特別な場合はp進 Teichm¨uller理論において導入された歴史を持ちます. 本講演では, dormant G-oper（G は有限体上の半単純代数群）における数え上げ幾何学の基盤となるべき（仮想基本類を持 つ）コンパクトモジュライ及び（l進）コホモロジー的場の理論の構成,そしてWitten予
想（Witten-Kontsevichの定理）の類似について紹介します（概説のみで込み入った議論
はしない予定です）. 時間が許せば,小平消滅定理などの正標数における反例の構成といっ た関連トピックについて紹介する予定です.
阿部 紀行 （北海道大学 理学研究院）
p進簡約群の既約法p表現の分類定理とその応用
Abstract. p進体上定義された簡約代数群（の有理点のなす群）をp進簡約群と呼んでいま す．その表現論は，主にLanglands対応への研究を動機として多くの研究者により進めら れてきました．一般に群の表現論は，その表現論を考える体の標数に強く依存しますが，こ こで法p表現と呼んでいるものは，この標数がpの場合のものです．もともとのLanglands 対応が複素数体上で考えられていたこともあり，p進簡約群の表現論は標数0の体上で定義 されている場合が長らく研究されていましたが，近年p進Langlands対応や法pLanglands 対応などと関連し，法p表現論の研究が進んできました．そのような法p表現論の現状と これからの問題などについてお話しする予定です．
越谷重夫（千葉大学 先進科学センター）
有限群の表現論における局所大域予想–最近5年間の大きな進展
Abstract. 有限群の表現論の研究は Frobenius, Burnside, Schur 等によって19世紀から 20世紀に変わる頃始まった。そのSchur の学生であったRichard Brauer (1901–1971)は, ほとんど一人でモジュラー表現論を構築した。Brauerは 1963年に「有限群の表現」と題 する総括的な講演を行い,数多くの興味深い問題,予想,進むべき道を提案した。それから 半世紀以上経った現在も, まだその多くは完全な解決,解答が得られていない。その後, J.
McKay, J.L. Alperin, E.C. Dade, M. Brou´e等 によって1970年代初めから1990年ころま
でに, Brauerの思想を基にした新たな興味ある予想を提案したが,これらも,やはり未解決
のまま残っている。しかし10年ほど前から,これらのうちいくつかの問題は「有限単純群 の場合に帰着される」という定理,理論ができ始めた。最後は「有限単純群の分類定理」を 用いて解くことを試みるのである。実際, 成功した例がある。これらに関して講演者が係 わった部分も含めて,話をしたい。
土岡 俊介 （東京大学 数理科学研究科）
柏原クリスタル理論を用いたRogers-Ramanujan型分割定理へのアプローチ Abstract. RamanujanがHardyに宛てた手紙中の公式のうち，現在Rogers-Ramanujan 連分数と呼ばれているものはHardyを特に魅了したそうです（Amer.Math.Monthly, 44,
(1937), p.144）．これを母関数の立場から書き直すとRogers-Ramanujan恒等式がえられ，
分割理論から書き直すとRogers-Ramanujan分割定理（RRPT）となります．Schurは1926
年にRRPTのmod 6版を発見しました．この奇数pへの一般化を証明したので報告しま
す（渡部正樹さんとの共同研究．p= 3がSchurの定理）．この定理のp= 5の場合は
• AndrewsによってRRPTの一般化の際に
• Bessenrodt-Morris-Olssonによって標数5の対称群のスピンモジュラー表現論から 予想されていたもので，1994年にAndrews-Bessenrodt-Olssonによって計算機を用いて証 明されました．我々の証明は量子群の表現論（柏原クリスタル理論）に基づいています．
大島 芳樹 （大阪大学 情報科学研究科）
ユニタリ表現の指標と軌道の方法
Abstract. Kirillovによって1960年代に導入された軌道の方法とは、Lie群の既約ユニタ リ表現とLie環の余随伴軌道とを関連づける理論である。余随伴軌道とはLie環の双対空 間へ自然に定まるLie群の作用に関する軌道であり、シンプレクティック多様体になる。ベ キ零Lie群の場合、既約ユニタリ表現の指標、表現の誘導・制限は、軌道の言葉で完全に 記述できることが知られており、ユニタリ表現論は軌道の方法を通してよく理解されてい る。一方で、一般線形群GL(n,R)や不定値直交群O(p, q)などを含むクラスである非コン パクトな実簡約リー群についても、軌道の方法によるユニタリ表現の理解が試みられてい るが、完全にはうまくいっていない。この講演では実簡約リー群について、無限次元の既 約ユニタリ表現の指標や誘導が軌道の方法によってどのように捉えられるかをお話しした い。この講演はBenjamin Harris氏との共同研究の内容に基づく。
飯寄 信保 （山口大学 教育学部）
クイバーの表現と有限群の部分群束
Abstract. 本講演の内容は、千葉大学教育学部澤辺正人氏との共同研究によるものであ
る。有限群の構造を調べる上で、部分群束を考察することは非常に重要である。これに関 連する話題として、p-部分群束の考察、素数グラフ、バーンサイド環、指標の誘導などい ろいろとある。本講演では、部分群束より得られるクイバーを考え、その表現を用いて有 限群の指標環を考察する。例えば、p-ブラウワー指標（標数pの体上の表現より得られる ブラウワー指標）とq-ブラウワー指標の相互律、更に、p-ブラウワー指標をπ-ブラウワー 指標（πは、素数の集合）に一般化しそれらの間の関係について報告する。この応用とし て、通常指標についての基本的な結果を紹介する。
