PDF 代数学 I ( 4回 - 広島大学

都築 暢夫

5月 12 日（金） 3・4時限

固有値・固有ベクトルに関して復習する(教科書 160 - 165ページ)。F を体とする。今 回考える行列はすべてF 係数とする。また、線形空間はF 線形空間とする。

1. 相似な行列

n 次正方行列A と B が相似とは、あるn 次可逆行列P が存在してP⁻¹AP =B とな ることである(教科書 164 ページ)。A と B が相似のとき、A∼B と表す。

命題 1.1. V を n 次元線形空間、f : V → V を線形写像 (線形変換) とする。V の基 底 v₁,· · · , v_n に関する f の表現行列を A、V の基底w₁,· · · , w_n に関するf の表現行 列を B とすると(f の定義域と値域はともに V であるから同じ基底がとれることに注 意せよ)、A∼B となる。

2. 不変部分空間

A を n 次正方行列、W を Fⁿ の部分空間とする。W が A 不変とは任意のx∈W に 対して Ax∈ W となることである(教科書 189 ページ)。線形写像 f : V → V の不変部 分空間 W を、同様に f(W)⊂W で定める。

次の補題は、行列の様々な性質を帰納法を用いて証明する上で重要である。

補題 2.1. Aを n次正方行列、W を m次元 A不変部分空間とする。v₁,· · · ,v_m をW の基底とし、v₁,· · · ,v_m,v_m+1,· · · ,v_nをFⁿの基底への延長とする。P = (v₁,· · · ,v_n) として n 次可逆行列を定めると

P⁻¹AP =

µB1 B3

0 B2

¶

(B₁ は m 次正方行列、B₂ は n−m 次正方行列、B₃ は m 行 n−m 列行列) となる。

とくに、B₁ は基底 v₁,· · · ,v_m に関する線形写像A のW への制限の表現行列である。

証明. Av_i(1 ≤ i ≤ m) はv₁,· · · ,v_m の一次結合で表され、それが表現行列 B₁ を定め

る。 ¤

3. 固有値・固有ベクトル

以後、F を代数閉体とする。ここで、F が代数閉体とは、任意のF 係数の1 次以上の 代数方程式f(x) = 0が F の中に解を持つような体のことである (ノートの最後の補足を 見よ)。例えば、複素数体 C は代数閉体である。このノートを読むときには、体とは有理 数体Q、実数体 R または複素数体 Cで、それが代数閉体のときは Cと思えばよい。

定義 3.1. (教科書 160 - 161 ページ) A を n 次の正方行列とする。F の元 λ が A の 固有値とは、ある零でない数ベクトル v∈Fⁿ が存在して

Av=λv

となることである。このとき、v を固有値 λ の固有ベクトルという。

V を F 線形空間、f :V →V を線形写像とする。F の元 λ が f の固有値とは、ある 零でないベクトル v ∈V が存在して

f(v) =λv

となることである。このとき、v を固有値 λ の固有ベクトルという。(教科書160 ページ) V を有限次元線形空間とすると、線形写像 f : V → V の固有値は f の表現行列の固有 値である。f の固有値は、f の表現行列の取り方 (すなわち、V の基底の取り方) によら ない。

例 3.2. 実数体R 上の C^∞ 級関数実数値関数上の線形写像 _dx^d2₂ に関して、−1は固有値で ある。実際、

d²

dx²sinx=−sinx, d²

dx²cosx=−cosx である。sinxや cosx がその固有ベクトルとなる。

4. 固有多項式

定義 4.1. (教科書 161 ページ) A を n 次正方行列とする。F 係数多項式 φ_A(x) = det(xE_n−A)

を、A の固有多項式(特性多項式ともいう) という。

命題 4.2. 固有多項式に関して次が成り立つ。

(1) (教科書 162 ページ・定理 7.2) A を n 次正方行列とすると、φ_A(x) =xⁿ− tr(A)xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿdet(A) となる。特に、λ₁,· · · , λ_n を固有多項式 φ_A(x) の根(重複するものはその個数だけ数えて、λi の重複度という) とすると

tr(A) = λ1 +· · ·+λn

det(A) = λ1· · ·λn

となる。

(2) (教科書 164 ページ・例題 7.2) A∼B ならばφ_A(x) =φ_B(x) である。

(3) (教科書 164 - 165 ページ・問 5) A=

µA₁ A₃ 0 A₂

¶

とすると φ_A(x) =φ_A1(x)φ_A2(x)

である。

V を有限次元線形空間、f :V →V を線形写像とするとき、f の表現行列の固有多項 式を f の固有多項式という。命題 1.1 と 4.2 (2) から、f の固有多項式は V の基底の取 り方によらずに決まる。

定理 4.3. (教科書 164 ページ・定理 7.1) λ が正方行列 A の固有値であることと固有 多項式φ_A(x) の根であることは同値である。特に、n 次正方行列 A には、(重複する ものも数えて) n 個の固有値が存在する。

証明. A を n 次正方行列とする。このとき、

λ が A の固有値 ⇔ ∃v∈Fⁿ,v6= 0 s.t. Av=λv ⇔ dimF Ker(λEn−A)>0

⇔ dimFIm(λEn−A)< n ⇔ det(λEn−A) = 0

⇔ φA(λ) = 0

となる。3 番目の同値は次元公式による。 ¤

例 4.4. A=

µcosθ −sinθ sinθ cosθ

¶

(x∈R) とすると

φ_A(x) =

¯¯

¯¯ x−cosθ sinθ

−sinθ x−cosθ

¯¯

¯¯= (1−cosθ)²+ sin²θ

= x²−2 cosθx+ 1 = (x−e^iθ)(x−e^−iθ)

となるので、θ が整数でないとき A は実数の範囲で固有値を持たず、固有値は複素数に

なる。 ¤

系 4.5. (行列の三角化・教科書173 ページ・定理 7.7) ある n 次可逆行列 P が存在し て、P⁻¹AP は上三角行列かつ対角成分は固有値を並べたものになる。

以下の例から、正方行列の帰納的な上三角化の方法を示す。

例 4.6. A=



0 −2 2 1 −3 1 2 −2 0



 とする。A の上三角化を求める。A の固有多項式φ_A(x) は

φ_A(x) =

¯¯

¯¯

¯¯

x 2 −2

−1 x+ 3 −1

−2 2 x

¯¯

¯¯

¯¯= (x−1)(x+ 2)²

となる。固有値 −2に対する固有ベクトルは

(−2E₃−A)



x y z



=



−2 2 −2

−1 1 −1

−2 2 −2







x y z



=



0 0 0





の解より、例えば



1 1 0



が固有値 −2 に対する固有ベクトルである。



1 1 0



を含む数線形

空間F³ の基底



1 1 0



,



0 1 0



,



0 0 1



 をとり、Q=



1 0 0 1 1 0 0 0 1



 とおく。すると

A⁰ =Q⁻¹AQ=



 1 0 0

−1 1 0 0 0 1







0 −2 2 1 −3 1 2 −2 0







1 0 0 1 1 0 0 0 1



=



−2 −2 2 0 −1 −1 0 −2 0





となる。B を 1 行と 1 列を除いた 2 次の正方行列、すなわちB =

µ−1 −1

−2 0

¶

とする。

φ_A(x) = (x+ 2)φ_B(x)より、B の固有値は 1 と −2である。固有値 1に対する固有ベク トルとして

µ 1

−2

¶

をとる。

µ 1

−2

¶

を含む F² の基底として、

µ 1

−2

¶ ,

µ0 1

¶

をとり、これ を右下に置き、R=



1 0 0 0 1 0 0 −2 1



とする。すると、

R⁻¹A⁰R=



1 0 0 0 1 0 0 2 1







−2 −2 2 0 −1 −1 0 −2 0







1 0 0 0 1 0 0 −2 1



=



−2 −6 2

0 1 −1

0 0 −2





となる。したがって、P =QR=



1 0 0 1 1 0 0 −2 1



とおくと

P⁻¹AP =



−2 −6 2

0 1 −1

0 0 −2





となり、上三角化できた。固有値の順番の選び方や固有ベクトルの取り方で上三角化は異

なるが、対角成分に固有値が並ぶ。 ¤

定理 4.7. (Hamilton-Cayley・教科書 176 ページ・定理7.9) n 次正方行列 A の固有多 項式をφA(x) = xⁿ+a1xⁿ⁻¹+· · ·an とすると

Aⁿ+a₁Aⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1A+a_nE_n= 0 となる。

以後、多項式 f(x) に代入するときは単に f(A) と表し、定数項を単位行列の定数倍に 変える。

例 4.8. A=

µ 4 4

−1 0

¶ , B =

µ 1 0

−2 3

¶

をQ 上の2 次正方行列とする。

f : Mat(2;Q)→Mat(2;Q) X 7→AX−XB

を、2次正方行列全体のQ線形空間Mat(2;Q)上の線形写像とする。Mat(2;Q)の基底を v1 =

µ1 0 0 0

¶ , v2 =

µ0 0 1 0

¶ , v3 =

µ0 1 0 0

¶ , v4 =

µ0 0 0 1

¶

とする。このとき、

f(v₁) =

µ 4 4

−1 0

¶ µ1 0 0 0

¶

−

µ1 0 0 0

¶ µ 1 0

−2 3

¶

=

µ 3 0

−1 0

¶

= 3v₁−v₂ f(v₂) =

µ 4 4

−1 0

¶ µ0 0 1 0

¶

−

µ0 0 1 0

¶ µ 1 0

−2 3

¶

=

µ 4 0

−1 0

¶

= 4v₁−v₂ f(v₃) =

µ 4 4

−1 0

¶ µ0 1 0 0

¶

−

µ0 1 0 0

¶ µ 1 0

−2 3

¶

=

µ2 1 0 −1

¶

= 2v₁+v₃−v₄ f(v4) =

µ 4 4

−1 0

¶ µ0 0 0 1

¶

−

µ0 0 0 1

¶ µ 1 0

−2 3

¶

=

µ0 4 2 −3

¶

= 2v2+ 4v3−3v4

となる。したがって、線形写像f の表現行列 A は

f(v₁, v₂, v₃, v₄) = (v₁, v₂, v₃, v₄)F F =







3 4 2 0

−1 −1 0 2

0 0 1 4

0 0 −1 −3







となる。

W = hv1, v2i とおく。f(v1) = 3v1 −v2 ∈ W かつ f(v2) = 4v1 −v2 ∈ W なので f(W)⊂W となり、W は f 不変空間である。

f の固有多項式 φ_f(x) を求める。C =

µ 3 4

−1 −1

¶ , D =

µ 1 4

−1 −3

¶

とおくと φ_f(x) = φ_A(x) = φ_C(x)φ_D(x) =

¯¯

¯¯ x−3 −4 1 x+ 1

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ x−1 −4 1 x+ 3

¯¯

¯¯

= (x²−2x−3 + 4)(x²+ 2−3 + 4) = (x−1)²(x+ 1)²

となる。よって、A の固有値は 1 と −1 で、ともに 2重に重複している。 ¤ 5. 補足 : 代数閉体

定義 5.1. 体 F が代数閉体とは、任意のF 上の 1次以上の代数方程式 f(x) = 0 が F の中に解を持つことである。

次の定理は「代数学の基本定理」とよばれる。(「解析学C」または「代数学 B」等で 証明する。)

定理 5.2. 複素数体C は代数閉体である。

実数体R や有理数体Q は代数閉体でない。実際、方程式x²+ 1 = 0 は解を持たない。

実数体 R や有理数体 Q は複素数体 C に含まれるように、代数閉体に関しては以下の 事実は重要である。

定理 5.3. 任意の体F に関して、F を含む代数閉体が存在する。

6. 補足 : F が一般の体のとき F を一般の体とする。

(1) F 係数正方行列 A の固有値を次のように定義する。Ω を F を含む代数閉体 (定 理5.3 から存在)として、Aを Ω係数の行列と見る。このときの固有値がA の固 有値である。

(2) 定理4.3 の証明から、A の固有値 λ が F に含まれるとき、固有値 λ の固有ベク トルは成分がF に含まれるものでとれる。例えば、A が有理数係数の行列で固有 値 λ が有理数のとき、固有ベクトルは成分がすべて有理数のものがとれる。

(3) 体F 上の Hamilton-Cayleyの定理3.9 は、F を含む代数閉体 Ωでφ_A(A) = 0 を 証明すればよいので成り立つ。