都築 暢夫
6 月 2日（金） 3・4 時限
今回から、この講義の本題である行列のJordan 標準形について解説する。
F を代数閉体とする。ここでは、F =Cと思えばよい。今回考える行列はすべて F 係 数とする。また、線形空間は F 線形空間とする。
1. どう考えるか A=
5 2 2
−2 2 −3
−1 −1 2
を 3 次複素行列とする。A の固有多項式は、
φA(x) = det (xE3−A) =
¯¯
¯¯
¯¯
x−5 −2 −2 2 x−2 3
1 1 x−2
¯¯
¯¯
¯¯
= (x−5)(x−2)2−4−6−3(x−5) + 2(x−2) + 4(x−2)
= x3−9x2+ 24x−20−10−3x+ 15 + 2x−4 + 4x−8
= x3−9x2+ 27x−27
= (x−3)3
となる。よって、A の固有値は 3 のみである。固有値 3 の固有空間は
(3E3−A)
x1 x2
x3
=
−2 −2 −2
2 1 3
1 1 1
x1 x2
x3
=
0 0 0
を満たす数ベクトル全体である。行に関する基本変形すると
−2 −2 −2
2 1 3
1 1 1
−→
−2 −2 −2 0 −1 1
0 0 0
となるので、rank(3E3−A) = 2 となる。よって、dimV(3) = 3−2 = 1で、固有値 3の 固有空間の次元は 1 であり
V(3) =
*
2
−1
−1
+
となる。A の固有値は 3 のみだから、A は対角化できない。
固有ベクトルのみを考えていては、C3 の基底を構成することはできない。どうすれば よいだろうか。
3E3−A のべきを考える。すると (3E3−A)2 =
−2 −2 −2
2 1 3
1 1 1
2
=
−2 0 −4 1 0 2 1 0 2
(3E3−A)3 =
−2 0 −4 1 0 2 1 0 2
−2 −2 −2
2 1 3
1 1 1
=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
となる。それぞれの階数が 1 と 0より、核の次元は 2 と 3 になり Ker(3E3−A)2 =
*
2 0
−1
,
0 1 0
+
Ker(3E3−A)2 =
*
2 0
−1
,
0 1 0
,
1 0 0
+
である。したがって、3E3−A のべきを考えると、C3 の基底がその中にとれる。
2. 広義固有空間
A を n 次正方行列とする。
定義 2.1. (教科書 189 ページ) A の固有値λ に対して
W(λ) = {x∈Fn|ある正の整数 j に対して(λEn−A)jx= 0}
を広義固有空間という。
正の整数 j に対して
Wj(λ) = {x∈Fn|(λEn−A)jx= 0}
とおくと、部分空間の増加列
V(λ) =W1(λ)⊂W2(λ)⊂ · · ·Wj(λ)⊂ · · · ⊂W(λ) ができる (V(λ) は固有空間)。Fn は有限次元なので、ある m が存在して
Wm(λ) =Wm+1(λ) = · · ·=W(λ)
となる。また、x∈Wj(λ)とすると、(En−A)jx= 0 かつAと (En−A)j は交換可能な ので
(En−A)jAx=A(En−A)jx= 0
となる。よって、Ax∈Wj(λ)、すなわち、Wj(λ)は A不変である。W(λ) =∪jWj(λ)な ので、W(λ) は A 不変である。
命題 2.2. A∼B、すなわち、B =P−1AP とする。固有値λ に対して WB(λ)→WA(λ) x7→Px
は同型である。ただし、WA(λ) と WB(λ) はそれぞれA と B に関する広義固有空間 とする。
定理 2.3. (教科書 189 - 190 ページ・定理 7.15) A の固有多項式をφA(x) = (x − λ1)n1· · ·(x−λs)ns(i6=j ⇒ λi 6=λj, ni ≥1) とする。広義固有空間W(λi)は A 不変 部分空間で、自然な写像
W(λ1)⊕ · · · ⊕W(λs)→Fn (x1,· · · ,xs)7→x1 +· · ·+xs は線形空間の同型である。さらに、各 iに対して
dimF W(λi) =ni が成り立つ。
Fn が広義固有空間の直和空間になるということは、W(λ1),· · · , W(λs) の基底を並べ たものがFn の基底になるということである。
例 2.4. 1章の A=
5 2 2
−2 2 −3
−1 −1 2
において
W1(3) =
*
2 0
−1
+
=V(3)
W2(3) =
*
2 0
−1
,
0 1 0
+
W3(3) =
*
2 0
−1
,
0 1 0
,
1 0 0
+
=F3
となるから、広義固有空間は W(3) =
*
2 0
−1
,
0 1 0
,
1 0 0
+
=F3
である。 ¤
例 2.5. 第 4 回例4.8・第 5回例 2.5 の線形写像
f : Mat(2;C)→Mat(2;C) f(X) = AX−XB A=
µ 4 4
−1 0
¶ , B =
µ 1 0
−2 3
¶
に対する広義固有空間を求める。f の表現行列 F は、F =
3 4 2 0
−1 −1 0 2
0 0 1 4
0 0 −1 −3
で、f の固有値は 1 と −1で、その重複度はともに 2 であった。
固有値 1に対して広義固有空間は 2次元で W(1) =W2(1) となる。
E4−F =
−2 −4 −2 0
1 2 0 −2
0 0 0 −4
0 0 1 4
, (E4−F)2 =
0 0 4 16 0 0 4 −12 0 0 −4 −16 0 0 4 12
なので、(E4−F)2
x y z w
=
0 0 0 0
を解くと
W1(1) =
¿µ 2 0
−1 0
¶À
=V(1) W2(1) =
¿µ 2 0
−1 0
¶ ,
µ1 0 0 0
¶À
=W(1)
となる。同様に、固有値−1に対して広義固有空間は2次元でW(−1) =W2(−1)となる。
−E4−F =
−4 −4 −2 0
1 0 0 −2
0 0 −2 −4
0 0 1 2
, (−E4−F)2 =
12 16 12 16
−4 −4 −4 −4
0 0 0 0
0 0 0 0
なので、(−E4−F)2
x y z w
=
0 0 0 0
を解くと
W1(−1) =
¿µ 2 −2
−1 1
¶À
=V(−1) W2(−1) =
¿µ 2 −2
−1 1
¶ ,
µ−1 1 0 0
¶À
=W(−1)
となる。 ¤
3. 広義固有空間による分解
定理 3.1. (教科書192 ページ・定理7.16) 定理 2.2 の記号のもと、W(λ1),· · · , W(λs) の基底を順番に並べた可逆行列を P とすると
P−1AP =
A1
. ..
As
となり、Ai は ni 次正方行列で、その固有多項式は ΦAi(x) = (x−λi)ni となる。
例 3.2. 例 2.5 において、広義固有空間の基底を並べてP =
2 1 2 −1
−1 0 −1 0 0 0 −2 1
0 0 1 0
とする。
このとき
P−1F P =
0 −1 0 −1
1 2 1 2
0 0 0 1
0 0 1 2
3 4 2 0
−1 −1 0 2
0 0 1 4
0 0 −1 −3
2 1 2 −1
−1 0 −1 0 0 0 −2 1
0 0 1 0
=
0 −1 0 −1
1 2 1 2
0 0 0 1
0 0 1 2
2 3 −2 −1
−1 −1 1 1
0 0 2 1
0 0 −1 −1
=
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 −1 0 0 0 −1
となり、固有値ごとのブロックになる。
これを部分空間の言葉では次のようになる。Mat(2;C) の基底を v1 =
µ 2 0
−1 0
¶ , v2 =
µ1 0 0 0
¶ , v3 =
µ 2 −2
−1 1
¶ , v4 =
µ−1 1 0 0
¶
とし、Mat(2;C) の部分空間 W1, W2 を
W1 =hv1, v2i, W2 =hv3, v4i と定める。すると
f(v1) =v1, f(v2) =v1+v2, f(v3) =−v3, f(v4) =−v3−v4
となり、W1 と W2 はともに f 不変部分空間である。Mat(2;C) = W1 ⊕W2 の直和上で 分解し、その表現行列はそれぞれF1 =
µ1 1 0 1
¶ , F2 =
µ−1 −1 0 −1
¶
