５ . 線形写像・逆行列
科目： 線形代数学IA及び演習（１‐３組）
担当： 相木
今回のプリントにおいてKはRまたはC を表すとする．したがってKnはn次元実 ベクトル空間Rn，あるいはn次元複素ベクトル空間Cnである．前回のプリントで行列 を定義した際，実行列と複素行列は同じように扱うことができると述べたが，それに合わ せて今回扱う内容もRnとCnの両方に通用するような記述の仕方をするためにKという 記号を導入した．分かりづらければKは全てRであると思って読んでも差し支えない．
注意：以下の解説において１つのboxの中ではKを全てRかCのどちらかにして読む必 要がある．例えば：
Kの扱い
a∈K, b∈K, ならば a+b∈K
上のboxにおいて２つ目のKをC，他をRとして読むと一般には嘘になってしまう．な ので
１つのbox内ではKをRかCのどちらかに決めて読むこと．また，KをRとしたら行 列は実行列，Cとしたら複素行列として読むこと．
どちらに選んでも主張が正しくなるように書いているが，最初にも述べたようにKは全 てRとして読むのが最初は分かりやすいかと思う．
線形写像
さて，第一回のプリントで写像の定義をしたが，今回はその中でも線形写像と呼ばれ
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るものを扱う．
線形写像
数ベクトル空間Knから数ベクトル空間Kmへの写像f が以下の２つを満たすとき，
fは線形写像であるという．
(i) 任意のa,b ∈Knに対して
f(a+b) = f(a) +f(b)
(ii) 任意のa∈Knと任意のスカラーc∈Kに対して f(ca) = cf(a)
Rnにおける内積を定義した際にも似たような性質を見たが，性質(i),(ii)を持つことを「線 形性を持つ」というのであった．
行列から定まる線形写像
m×n行列Aに対して写像fA:Kn →Kmを fA(a) = Aa によって定めるとfAは線形写像である．
復習：m×n行列とn次元数ベクトルの積は定義でき，その結果はm次元数ベクトル となることを思い出そう．
実は上の逆も成り立つ（演習問題参照）．つまり
表現行列
f :Kn →Kmを線形写像とする．このとき，m×n行列Aが存在し，
f(a) =Aa
と表される．f に対してこのような行列Aをfの表現行列という．
このようにして線形写像と行列は一対一に対応する．
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逆行列
逆行列
n次正方行列Aに対して
AX =XA =En
を満たす行列Xが存在するとき，XをAの逆行列といい，A−1と表す．
復習：Enは対角成分が全て1，他が0であるn次単位行列であった．
正則行列
n次正方行列Aに対してその逆行列A−1が存在するとき，Aは正則行列であるという．
行列Aの逆行列A−1は，実数xに対する逆数 1
x に相当するものである．x= 0に対して は逆数がないのと同様に，逆行列が存在しない行列もある．ただ，実数と違うのは逆行列 が存在しない行列は無数にある．
一般に行列Aが与えられたとき，その逆行列A−1を（存在すれば）求めることはでき るが，その方法はもう少し先の話になる．また，逆行列を実際に求めずに与えられた行列 が正則行列であるかを判定する方法も後に扱う．
予約制問題
(5-1)f :Kn →Kmを線形写像とする．このとき，m×n行列Aを用いて f(a) = Aa
と表されることを示せ．また，このような行列はfに対して１つしかないことを 示せ．（ヒント：第４回のプリントの結果も参照）
(5-2) 写像f :Kn→Kmが線形写像であることが以下と同値であることを示せ．
任意の a,b∈Kn と任意のスカラーx, y ∈K に対して f(xa+yb) =xf(a) +yf(b)
が成り立つ
(5-3) n次正方行列Aに対して逆行列A−1は，存在すれば一つしかないことを示せ．
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(5-4) f :Kn →Knを全単射な線形写像とし，f(a) = Aaと表されるとする．このとき，
行列Aは正則行列であることを示せ．
(5-5) f :Kn →Knを全単射な線形写像とし，f(a) = Aaと表されるとする．このとき，
逆写像f−1はb∈Knに対して
f−1(b) = A−1b
を満たすことを示せ．ただし，(5-4)と(5-7)の結果は認めてよい．
早いもの勝ち制問題
(5-6)
a1 a2 a3
を (2a1
3a2 )
に対応させる写像としてf :R3 →R2を定める．fは線形写像で あることを示せ．また，fの表現行列を求めよ．
(5-7) f :Kn→Knを全単射な線形写像とする．このとき，逆写像f−1も線形写像であ ることを示せ．
(5-8) n次正方行列A, Bに対してt(AB) =tBtAであることを示せ．
(5-9) 正則なn次正方行列Aに対してt(A−1) = (tA)−1を示せ．ただし，(5-8)の結果を 用いてよい．
(5-10) a, b∈Rに対して関数f(x)をf(x) = ax+bと定めるとき，fがRからR への線 形写像となるための必要十分条件（a, bに対する条件）を求めよ．
(5-11) 任意のx, y ∈Kに対して
(0 0 x y
)
は正則行列でないことを示せ．
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