PDF 9 線形写像と行列表現 - 東京理科大学

９ . ^{線形写像と行列表現}

科目： 線形代数学IB及び演習（１‐１組）

担当： 相木

線形写像

K-ベクトル空間からK-ベクトル空間への線形写像について解説する．

線形写像

U, V をK-ベクトル空間とする．写像f :U →V が以下を満たすとき，fは線形写像

（あるいはK-線形写像）であるという．

(i) ∀a,b ∈U, f(a+b) =f(a) +f(b)

(ii) ∀a∈U, ∀c∈K, f(ca) = cf(a)

上の定義の(i)においてa+bはU における和であり，f(a) +f(b)はV における和であ ることに注意．また，(ii)の条件から分かるように，U, V のスカラーは同じでなければな らない．

同型写像

U, V をK-ベクトル空間とする．写像f :U →V が以下を満たすとき，fは同型写像

であるという．

(i) fは全単射 (ii) fは線形写像

同型

K-ベクトル空間U, V の間に同型写像が存在するとき，U とV は同型であるといい，

U ∼=V と表す．

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表現行列

数ベクトル空間のときと同様に，一般のK-ベクトル空間の間の線形写像は行列を用い て表すことができる．

今，Uをn次元K-ベクトル空間，V をm次元K-ベクトル空間とし，f :U →V を線 形写像とする．また，{a₁, . . . ,a_n}と{b₁, . . . ,b_m}をそれぞれUとV の基底とする．

基底の定義から∀x∈U に対してスカラーx₁, . . . , x_n∈K が存在し，

x=

∑n j=1

xjaj

と表すことができる．ここで，f(x)を考えてみる．fは線形写像なので

f(x) = f(

∑n j=1

x_ja_j) =

∑n j=1

x_jf(a_j) (1)

が成り立つ．また，∀j ∈ {1,2, . . . , n}に対してf(a_j)∈V なのでスカラーa_1j, a_2j, . . . , a_mj ∈ Kが存在し，

f(a_j) =

∑m i=1

a_ijb_i (2)

と表せる．

こうして，線形写像fが与えられると，自然とKの要素を成分に持つようなm×n行 列A= [a_ij]が求まった．逆に，Kの要素を成分に持つようなm×n行列A= [a_ij]を１つ 与えると式(2)と(1)を経てf :U →V なる線形写像が定まる．

全てのjに対して(2)が成り立つことを

[f(a₁), . . . , f(a_n)] = [b₁, . . .b_m]A

と表すこともできる．

表現行列

Uをn次元K-ベクトル空間，V をm次元K-ベクトル空間とし，f : U →V を線形 写像とする．また，{a₁, . . . ,a_n}と{b₁, . . . ,b_m}をそれぞれUとV の基底とする．上 のようにして得られるm×n行列Aをfの{a₁, . . . ,a_n}と{b₁, . . . ,b_m}に関する行列 表現という．

注意：行列表現は基底に依存する．したがって，同じ線形写像であっても定義域および値    域の別な基底に関する行列表現は互いに異なる．

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以下では特に断りがない限り，U, V はK-ベクトル空間であるとする．

予約制問題

(9-1) 線形写像f :U →V に対してf(0) =0であることを示せ．

(9-2) a₁, . . . ,a_n∈Uと線形写像f :U →V に対して，f(a₁), . . . , f(a_n)が一次独立な     らばa₁, . . . ,a_nも一次独立であることを示せ．

(9-3) a₁, . . . ,a_n∈U に対してV =L(f(a₁), . . . , f(a_n))ならばf は全射であることを     示せ．

(9-4) a₁, . . . ,a_n ∈U に対してU =L(a₁, . . . ,a_n)かつf(a₁), . . . , f(a_n)が一次独立なら    ば，fは単射であることを示せ．

(9-5) {a₁, . . . ,a_n}と{b₁, . . . ,b_n}をそれぞれU とV の基底とする．∀x∈Uを x=

∑n i=1

x_ia_i

   と表したとき，写像f :U →V を

f(x) =

∑n i=1

x_ib_i

   によって定める．このとき，fは同型写像であることを示せ．（他の問題の結果を用    いてもよい）

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早いもの勝ち制問題

(9-6) 線形写像f :U →V に対して

∀a ∈U, f(−a) =−f(a)    が成り立つことを示せ．

(9-7) a₁, . . . ,a_n∈Uと線形写像f :U →V に対して，fが単射でa₁, . . . ,a_nが一次独立    ならばf(a₁), . . . , f(a_n)も一次独立であることを示せ．

(9-8) a₁, . . . ,a_n∈Uに対してU =L(a₁, . . . ,a_n)かつfが全射ならばV =L(f(a₁, . . . , f(a_n))    であることを示せ．

(9-9) 有限次元K-ベクトル空間U, V が同型ならばdim_KU = dim_KV であることを示せ．

   （他の問題の結果を用いてもよい）

(9-10) 線形写像f :R³ →R⁴を



x y z



7→







x−y y−z z−x x+y+z







    によって定める．R³,R⁴の標準基底に関するfの行列表現を求めよ．

(9-11) n次元ベクトル空間Uの基底{a1, . . . ,an}から基底{a^′₁, . . . ,a^′_n}への変換行列を     P とし，m次元ベクトル空間V の基底{b₁, . . . ,b_m}から基底{b^′₁, . . . ,b^′_m}への      変換行列をQとする．また，線形写像f :U →V の{a₁, . . . ,a_n}と{b₁, . . . ,b_m}     に関する行列表現をA，{a^′₁, . . . ,a^′_nと{b^′₁, . . . ,b^′_m}に関する行列表現をA^′とす      る．このとき，A^′ =Q⁻¹AP であることを示せ．

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