１２ . 誘導位相・相対位相
科目： 数学演習IIA（ f組）
担当： 相木
与えられた位相空間や写像から新たな位相空間（特に位相）を定めることができる．
今回は，そのうちの誘導位相と相対位相について解説する．
誘導位相
誘導位相
Xを集合とし，(Y,OY)を位相空間とする．写像f :X →Y が与えられたとき，Xの 部分集合系Of を
Of ={f−1(O) | O∈ OY}
によって定めるとOf はXの位相であり，f は(X,Of)から(Y,OY)への連続写像と なる．さらに，Of はfが連続となるようなXの位相のうち，最も弱い位相である．
こうしてfを介して作られたXの位相Ofのことをfによって(Y,OY)から誘導され る位相という．
上の状況を少し一般化して以下を考えてみよう．
集合X と２つの位相空間(Y1,OY1)，(Y2,OY2)があり，さらに写像f1 : X → Y1 と f2 :X →Y2が与えられたとき，Xに適当な位相を定めてf1とf2が両方連続になるよう にできるか？また，そのような位相で最弱な位相とはなにか？
先に定義した誘導位相を用いればf1とf2それぞれから誘導されるXの位相O1とO2
が作れる．連続写像の定義からf1とf2が両方連続となるためにはXの位相は少なくとも O1とO2の元は全て含まなくてはならない．一番最初に思いつく定め方は
{O | O ∈ O1 または O ∈O2}
である．つまり，O1∪ O2であるが，一般にこれはXの位相にならない（演習問題）．た だ，O1∪ O2はXの部分集合系ではあるので，M= O1∪ O2とおき，Mから生成され る位相O(M) を考えると，これはXの位相であり，Mを含む最弱な位相である．した がって，O(M)はf1とf2がともに連続となるXの位相のうちで最弱なものである．
上の議論はさらに一般化でき，
• n個の位相空間と写像からXに位相を定める．
• 位相空間と写像の族からXに位相を定める．
こともできる．複雑に聞こえるが，位相の作り方は上で解説した２つの場合と同じであ る．つまり，それぞれの写像から誘導される位相の和集合をとり，それから生成される位
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相を考えればよいのである（詳しくは教科書p.187）．あまり一般化したものを詳しく書 いてもかえって分かりづらくなるので割愛する．
相対位相
相対位相
(X,OX)を位相空間とし，M ⊂X, M ̸=∅に対してMの部分集合系OM を以下のよ うに定める．
OM ={U ⊂M | ∃O ∈ OX, U =O∩M}. (1)
すると，OM はMの位相となる．OM をMにおけるOX の相対位相という．
一般に，OX と相対位相OM に包含関係はない（演習問題）．相対位相の性質として写像 の連続性が保たれるというものがある．
写像の連続性と相対位相
(X,OX)と(Y,OY)を位相空間とし，写像f :X →Y は連続であるとする．空でない M ⊂Xに対してMにおけるOX の相対位相をOMとおく．このとき，fの定義域を Mに制限して得られるM 上の写像f|M :M →Y は連続である．
記法の注意：一般にX, Y を集合とし，写像f :X →Y が与えられたとする．M ⊂Xに 対してf の定義域をM に制限して得られる写像をf|M などと書く．つまり
f|M :M →Y
であり，∀x∈Mに対してf|M(x) =f(x)である．
上の性質は，写像の定義域を制限した際には相対位相を考えれば連続性が保たれると いうことである．例えばこれは，
「R上の連続関数fがあるとき，これを閉区間I = [−1,2]などに制限して考えてもf はI上の連続関数である」
という性質の位相空間への拡張であると考えると分かりやすい．
予約制問題
(12-1) Xを集合とし，O1,O2をXの位相とする．このとき，O=O1∪ O2によってO を定めると，一般にOはXの位相ではない．具体例を１つ挙げてこれを示せ．
（ヒント：X ={a, b, c}として例を作ってみよ）．
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(12-2) (X,OX)を位相空間としM ⊂Xは空でないとする．(1)で定義したMの部分 集合系OM が位相であることを示せ．
(12-3) (X,OX)を位相空間としM ⊂X, M ̸=∅とする．M におけるOX の相対位相を OM としたとき，一般にO ∈ OM であり，かつO ̸∈ OX となるような集合Oが存 在し得る．具体例を１つ挙げて示せ．
（ヒント：Rで考えると分かりやすい）．
早いもの勝ち制問題
(12-4) Rから位相空間(R,Od(1)) への写像fをx∈ Rに対してf(x) =ax+bによって 定める．ただし，a, b∈ Rは定数である．このとき，f から誘導されるRの位相 を求めよ．
（ヒント：aが0かそうでないかで変わるので場合分けをする）．
(12-5) (X,OX)を位相空間としM ∈ OX とする．このとき，M におけるOX の相 対位相OM に対してOM ⊂ OX が成り立つことを示せ．
(12-6) (X,OX)を位相空間とし，M ⊂X, M ̸=∅とする．写像iM :M →Xを標準的 な単射とする．つまり，∀x∈M に対してiM(x) =xで定まる写像とする．iM が Mに誘導する位相OiM は，MにおけるOXの相対位相OMと一致することを示せ．
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