６ . 関数の極限と ε-δ 論法
科目： 基礎解析学I及び演習（１‐３組）
担当： 相木
高校までに学んだ関数に関する極限を厳密に定義する．まず，関数に関する復習から 始める．
関数
I ⊂ Rとする．全てのIの元xに対して１つの実数f(x)を対応させる対応fを関数 と呼ぶ．このとき，fは「I上で定義された関数」であるといい，Iをfの定義域とい う．fがI上で定義された関数であることを略して「I上の関数」と言ったりもする．
また，fがI上で定義された関数であることを f :I →R
などとも書く．特に，f(x)が実数の値をとることを強調して実数値関数とも呼ぶ．
関数の値域
I ⊂R上で定義された関数f に対して
R(f) = {y∈R| ∃x∈I, y =f(x)} によって定義される集合R(f)をf の値域という．
次に関数に関する極限を定義する．これらは高校までで扱った極限の定義の厳密化に なっている．
極限
I ⊂Rとし，fをI上の関数f :I →R とする．
a∈Iとb∈Rに対して，x→aのときにf(x)がbに収束するとは
∀ε >0, ∃δε,a >0, ∀x∈I, (0<|x−a|< δε,a ⇒ |f(x)−b|< ε) (1)
が成り立つことを言う．このとき，bをf のx → aでの極限値といい，このことを
xlim→af(x) =bと書く．
関数の収束の条件(1)を噛み砕いて考えてみよう．数列の収束のときと同様にε >0は 小さい値のときが本質的である．(1)は
どんなに小さいε >0に対しても，それに応じてδε,a >0を十分小さくとれば「xとa が近い（誤差δε,a以内）ならばf(x)とbも近い（誤差ε以内）」が成り立つ．
という意味になる．添字が付いているようにδε,aはεに依存するし，考えている定義域の 点aにも依存する．
このようにε > 0に応じてδε,a >0を決めて議論するのでこのような論法をε-δ 論法 という．
また，(1)において一部が括弧で囲まれているのは，「括弧で囲まれている部分を１つ の命題として扱いなさい」という意味である．つまり，|x−a|< δε,aと|f(x)−b|< εを 別々の命題として扱うのではなく，|x−a|< δε,a⇒ |f(x)−b|< εという命題（構造とし ては「P ならばQ」）として扱う必要がある．これは，否定命題を作るときに重要になる ので注意が必要である（演習問題参照）．
関数の極限に対しては「右極限」と「左極限」という概念もある．
右極限・左極限
I ⊂Rとし，fをI上の関数f :I →R とする．
右極限 a∈ Iとb+ ∈Rに対して，x→ a+のとき（つまり，xがaの右側から近 づくとき）にf(x)がb+に収束するとは
∀ε >0, ∃δε,a >0, ∀x∈I, (a < x < a+δε,a ⇒ |f(x)−b+|< ε)
が成り立つことを言う．このとき，b+をfのx → a+での右極限値といい，
lim
x→a+f(x) = b+と書く．
左極限 a∈ Iとb− ∈Rに対して，x→ a−のとき（つまり，xがaの左側から近 づくとき）にf(x)がb−に収束するとは
∀ε >0, ∃δε,a >0, ∀x∈I, (a−δε,a < x < a⇒ |f(x)−b−|< ε)
が成り立つことを言う．このとき，b−をf のx → a−での左極限値といい，
lim
x→a−f(x) = b−と書く．
右極限・左極限においてはそれぞれ考えている定義域の点aの右側（a < x < a+δε,a） および左側（a−δε,a < x < a）にあるxに対してのみ条件を課していることに注意．
x→ ±∞のときにf(x)が収束することを定義する．
x→ ±∞における極限
a, b∈Rとする．
• I = (a,∞)とし，fをI上の関数とする．x→ ∞でf(x)がbに収束するとは
∀ε >0,∃Lε >0, ∀x > Lε, |f(x)−b|< ε が成り立つことを言う．このとき，lim
x→∞f(x) =bと書く．
• I = (−∞, a)とし，fをI上の関数とする．x→ −∞でf(x)がbに収束するとは
∀ε >0,∃Lε >0, ∀x <−Lε, |f(x)−b|< ε が成り立つことを言う．このとき， lim
x→−∞f(x) =bと書く．
最後にa∈Iにおいてf(x)が発散することを定義する．
関数の発散
I ⊂R，a∈Iとし，fをI上の関数とする．
• x→aでf(x)が∞に発散するとは
∀L >0, ∃δL,a >0, ∀x∈I, (0<|x−a|< δL,a ⇒ f(x)> L)
が成り立つことを言う．
• x→aでf(x)が−∞に発散するとは
∀L >0, ∃δL,a >0, ∀x∈I, (0<|x−a|< δL,a ⇒ f(x)<−L) が成り立つことを言う．
以上で定義した関数に関する極限の定義は，数列の極限と似た部分もあるので２つを比 べながら考えると分かりやすいかと思う．大きく違うのは数列においては添字番号nが n→ ∞となる場合のみを考えたのに対し，変数xは定義域Iの任意の点aに対してx→a におけるf(x)の極限を考えることができるところである．
注意：ここまでで，I ⊂Rとa ∈Iに対してx→ aにおけるf(x)の収束を定義した際に aにおけるfの値f(a)が現れていないことに気づく．実は，a ∈Iにおいてfが定義され ていなくてもx→aにおけるf(x)の極限は定義できる．実際このプリントで書いた定義 はf(a)が定義されていなくても通用するような書き方になっている．
例）I = (−1,1)とし，関数fをx̸= 0に対して
f(x) = xsin1 x
によって定める．このf(x)はx= 0において定義されていないが，x→0におけるf(x) の極限値は0である．実際，定義に従って示してみる（収束の定義(1)と見比べながら以 下の証明を見るとよい）．
∀ε >0に対してδε,0 =εとして定めると，∀x∈Iに対して0<|x−0|< δε,0ならば
|f(x)−0|=xsin1
x=|x|sin1
x≤ |x|< δε,0 =ε となり，lim
x→0f(x) = 0であることが示された． □
これは，右極限，左極限に関しても同様である．
特に断りがない限り以下の演習問題においてはI ⊂Rとする．
予約制問題
(6-1) このプリントで解説した定義を参考にしてI = (0,∞)上の関数fがx → ∞のと きに∞に発散することの定義を（論理記号を用いて）書け．
(6-2) I上の関数f，a ∈I，b∈Rに対して以下の２つが同値であることを示せ．
(i) lim
x→a+f(x) = lim
x→a−f(x) = b (ii) lim
x→af(x) = b
(6-3) I上の関数f，a ∈I，b ∈R に対して，x→ aのときにf(x)がbに収束すること の否定を論理記号を用いて書け．
早いもの勝ち制問題
(6-4) このプリントで解説した定義を参考にしてI = (−∞,0)上の関数fがx→ −∞の ときに−∞に発散することの定義を（論理記号を用いて）書け．
(6-5) 以下で与えられるR上の関数fのグラフの概形を描き，指定されたa ∈Rにおけ る右極限と左極限を求め，それぞれ右極限，左極限であることを定義に従って示 せ．（グラフの概形は増減表などを書く必要はなく，「形がなんとなくわかる」程度 のものでよい）
(i)f(x) =x2, a= 1
(ii) f(x) =
x2, x̸= 1 2, x= 1
, a= 1
(6-6) a∈I，b ∈Rとする．数列{an}∞n=1は∀n ∈N, an∈Iと lim
n→∞an=aを満たすとす る．さらに，I上の関数fがlim
x→af(x) =bを満たすとき，
bn=f(an)
で与えられる数列{bn}∞n=1がbに収束することを示せ．
(6-7) 開区間(0,∞)上の関数fがf(x) = 1
xで与えられるとき，x→0+でf(x)が∞に 発散することを定義に従って示せ．
(6-8) 具体例を用いて，ある点において右極限値と左極限値は存在するが極限値が存在
しないような関数を作れ．また，極限値が存在しないことを証明せよ．
(6-9) a ∈ Iとb ∈Rに対してI 上の関数fがlim
x→af(x) = bを満たすとする．このとき，
以下が成り立つことを示せ．
∃δ >0, ∀x∈I, (|x−a|< δ ⇒ |b|
2 <|f(x)|)
