PDF 復習 No - 東京理科大学

情報数学 I-A ^{講義のポイント} No.7

復習 No.6

１）Xの直和分割A ≡ {A_i⊂X; i∈J} A_i̸=∅ (∀i∈J) A_i∩A_k =∅ (i̸=k)

X =∪

i∈J

Ai

２）X上の同値関係RとXの直和分割Aの関係について 定理 1 Xの直和分割Aに対して，X上の関係Rを

(x, y)∈R ^def⇔ ∃i∈J s.t. x, y∈Ai

で定めると，Rは，X上の同値関係である。このとき，A=X/Rが成り立つ。

証明. i) 反射律

∀x∈X に対して，∃i∈J s.t. x, x∈Ai

⇒(x, x)∈R ii) 反対称律

(x, y)∈R ⇒ ∃i∈J s.t. x, y∈Ai

⇒ ∃i∈J s.t. y, x∈Ai

⇒ (y, x)∈R iii) 推移律

(x, y)∈R，(y, z)∈R

⇒ ∃i∈J s.t. x, y∈Ai,∃j∈J s.t. y, z∈Aj

⇒ y∈A_i∩A_j

⇒ i=j (i.e., i̸=jであればA_i∩A_j =∅)

⇒ ∃i∈J s.t. x, y, z∈A_i

⇒ (x, z)∈R

以上のことよりRはX上の同値関係である。次に，A=X/Rを示す。

∀A_i ∈ A

∀x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾∈A_i(̸=∅)

⇒ (

x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)

∈R

⇒ x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾∈[ x⁽ⁱ⁾]

=[ y⁽ⁱ⁾] Ai⊂[

x⁽ⁱ⁾]

A_i⊂[ x⁽ⁱ⁾]

のとき

[x⁽ⁱ⁾]

\A_i=∅を示す

A_i ⊂[ x⁽ⁱ⁾]

のとき

[x⁽ⁱ⁾]

\A_i̸=∅と仮定すると，

⇒ ∃z∈[ x⁽ⁱ⁾]

∩A^c_i

⇒ ( x⁽ⁱ⁾, z)

∈R かつ z /∈A_i

⇒ x⁽ⁱ⁾, z∈Ai かつ z /∈Ai となり矛盾 よって

∀A_i∈ A ⇒ A_i =[ x⁽ⁱ⁾]

∈X/R より (*)

A⊂X/R が成立 逆に，

∀[x]∈X/R

∀y, z∈[x] ={u∈X; (x, u)∈R}

⇒ ∃i∈J s.t. x, y, z∈A_i

∃i∈J s.t. [x]⊂A_i

[x]⊂A_i のとき A_i\[x] =∅を示す

x∈[x]⊂Ai のとき Ai\[x]̸=∅と仮定すると，

⇒ ∃z∈Ai∩[x]^c

⇒ z, x∈Ai かつ z /∈[x]

⇒ z, x∈A_i かつ z /∈[x]

⇒ (x, z)∈R かつ z /∈[x]

⇒ z∈[x] かつ z /∈[x] となり矛盾 よって，

∀[x]∈X/R ⇒ ∃i∈J s.t. [x] =Ai∈ A より (**) X/R⊂ A が成立

式(*)と 式(**)より

A=X/R

３）X上の順序関係R

i) 反射律 ∀x∈X に対して，(x, x)∈R

ii) 反対称律(x, y)∈R かつ (y, x)∈R ⇒ x=y iii) 推移律(x, y)∈R，(y, z)∈R ⇒ (x, z)∈R 上記のi)ii)iii)を満たす関係Rを(半)順序関係という。

X上の順序関係Rに対して，(x, y)∈R を x≼y と書き，(X,≼)で 順序集合を表す。

４）順序集合(X,≼)の例

R^X ≡ {f | f :X →Rの写像の全体} f ≼g ^def⇔ f(x)5g(x) (∀x∈X) で≼を定めると，(

R^X,≼)

は順序集合である。

５）(X,≼)を順序集合とする。Xの最大元，最小元，極大元，極小元 1. X の最大元 x∈X ^def⇔ y≼x (∀y∈X)

2. X の最小元 x∈X ^def⇔ x≼y (∀y∈X)

3. Xの極大元 x∈X ^def⇔ x≼y, y∈X ⇒ x=y 4. Xの極小元 x∈X ^def⇔ y≼x, y∈X ⇒ x=y

６）順序集合(X,≼)とXの部分集合Aに対して，Aの上界，下界，上限，

下限

1. x∈X が Aの上界の元 ^def⇔ a≼x (∀a∈A) 2. x∈X が Aの下界の元 ^def⇔ x≼a (∀a∈A)

3. x∈X が Aの上限 (x= supA) ^def⇔ Aの上界の最小元 4. x∈X が Aの下限 (x= infA) ^def⇔ Aの下界の最大元

講義 (No.7) ^の内容

１）順序集合(X,≼)の種類

有向集合， 全順序集合， 整列集合， 帰納的順序集合

２）集合の濃度

集合Xの元・要素の個数（例えば，α）を集合の濃度(cardinal num- ber)または基数といい，

|X|=α, ♯(X) =α

などで表す。集合Aから集合Bへの全単射が存在するとき，集合Aと集合 Bは対等（equipotent）であるといい，

A∼B

で表す。このとき，集合Aと集合Bの濃度（要素の数）は等しい。

|A|=|B| 2-1)有限集合（finite set）

X が有限集合とは，

0≤ |X|=n <+∞

を満たすことをいう。

例) A={a₁, a₂,· · ·, a_n}，B={0,1,· · · , n−1}に対して，集合Aと集 合Bは，異なる，すなわち，

A̸=B

であるが，集合Aと集合Bの濃度（要素の数）は等しい。

|A|=|B|=n

命題 2 上記の集合Aと集合Bは対等である。すなわち，集合Aから集合B への全単射が存在する。

∃f :A→B s.t. f(a_k) =k−1∈B (∀k= 1,2,· · · , n) 2-2) 無限集合（infinite set）

有限集合でない集合を無限集合という。

2-2-1) 可算集合(countable set) 命題 3 自然数の全体Nは無限集合である。

自然数の全体Nの濃度をℵ₀(”アレフゼロ”と読む)と表す。

|N|=ℵ0

濃度ℵ0をもつ集合Xを可算(countable)集合または可付番集合という。す

命題4 整数の全体Zは可算集合である。

命題5 N²=N×Nは可算集合である。

例)有理数の全体Qは可算集合である。

無限集合の性質

無限集合Xの部分集合Aに対して，すなわち A⊂X ⇒ |A|=|X|

となる場合がある。有限集合Y の部分集合Bに対して，

B⊂Y ⇒ |B| ≤ |X|

が常に成り立つ。

2-2-2) 非可算集合(uncountable set)

命題 6 実数の全体Rは可算でない無限集合である。

実数の全体Rの濃度を連続体の濃度といい，ℵ(”アレフ”と読む)で表す。

上記の証明で用いられた方法を対角線論法という。