物理学 2 自習問題 No. 3
• 特に提出は求めないが，授業の予習・復習のために解いておくことを勧めます。
• 講義で話していない範囲の内容が含まれる場合があります。
問題1 (基本問題)
あるばねの先端に質量5 kg のおもり Aをつけ，水平な床の上に置いた。以 下の問に答えよ。なお，ばねの質量は無視できるとする。
(a) ばねを5 cmのばすのに20 N の力が必要であった。このばねのばね定数 を答えよ。
(b) おもりAの運動を考える。この運動は単振動になる。この単振動の周期 を答えよ。
(c) このばねの先端からおもり Aを取り外して，かわりに物体 B をとりつ け，ばねの一端を天井に固定して静かにつりさげた。このとき，ばねは 約3 cm のびた。物体B の質量はいくらか? ただし，重力加速度の大き さを10 m/s2 とする。
問題2 (基本〜標準問題)
地球上で，ばねばかりに物体をつるすと，物体に作用する重力が測定され，
重力の大きさを重力加速度の値で割ることによって質量が分かる。もし，地 球上で使われているばねばかりを月面に持っていった場合，ばねばかりが示 す質量と，実際の質量の値にはどのような関係があるか? ただし，月面の重
問題3 (発展問題)
ばね定が数5 kg/s2 のばねがある。このばねの先端に質量10 kgの物体をつ け，もう一端を手で支えてばねが鉛直方向に向くように吊り下げて静止させ た。以下の問に答えよ。なお，ばねの質量は無視できるとする。
(a) ばねののびを求めよ。
(b) ばねと物体に対して鉛直上向きに10 N の力を加えたところ，ばねと物 体は一体となって鉛直上向きに等加速度運動を行った。等加速度運動を 行っている最中のばねの自然長からののびを求めよ。
問題4 (標準問題)
水平な床の上に，壁に一端が固定されたばね定数がk のばねがあり，このば ねの先に質量 mの質点がとりつけられている。以下の問に答えよ。
(a) ばねの先端にとりつけられた質点の運動を表す運動方程式を書け。
(b) 上の運動方程式を解くと，
x(t) = C1cosωt +C2sinωt ,
のような解が得られる。C1, C2 は積分定数である。このとき，ω を求 めよ。
(c) この質点は，t = 0 のときに x = x0 の位置にいて，速度 v = v0 で運動 していた。任意の時刻 t における質点の位置 x(t) と速度 v(t) を表す式 を求めよ。
(d) この運動の周期を求めよ。
(e) x(t)の値が取り得る範囲を求めよ。
問題5 (標準問題)
水平な床の上に，壁に一端が固定されたばね定数がk のばねがあり，このば ねの先に質量 2kgの質点がとりつけられている。以下の問に答えよ。
(a) この質点に 10Nの力を加えてばねをのばしたところ，ばねが5mのびた ところで力がつりあって静止した。ばね定数の値を求めよ。
(b) ばねの先端にとりつけられた質点の運動を表す運動方程式を書け。
(c) 上の運動方程式を解くと，
x(t) = C1cosωt +C2sinωt ,
のような解が得られる。C1, C2 は積分定数である。このとき，ω を求め，
数値で答えよ。
(d) この質点は t = 0 のときに x = 5m の位置に静止していたとする。質点 の位置x(t) および速度 v(t) を求めよ。
(e) ばねによる力のポテンシャルは，質点の位置によって，
U = k 2x2
のように決まる。質点が x = 5m から x = 0 まで質点が動いたときに，
ばねによる力がする仕事を求めよ。
(f) x = 5mから x = 0まで質点が動いたときの運動エネルギーの変化を求 めよ。
(g) ばねによる力のポテンシャルと，運動エネルギーの和
E = k
2x2 + m 2v2 ,
問題6 (標準問題〜やや発展問題)
ばね定数kのばねが一端が天井に固定されて，鉛直方向にぶらさげられてお り，もう一方の端には質量 m の質点がつり下げられている。重力加速度の 大きさをg として以下の問に答えよ。
(a) 質点がつりあいの状態にあるとき，ばねは自然長のときからどれだけ伸 びているか?
(b) ばねが自然長の長さであるときの質点の位置をy = 0 とし，鉛直下向き にy 軸をとる。この質点の運動方程式を書け。
(c) 前問の運動方程式の一般解を求めよ。
(d) この質点は，t = 0のときにy = y0 の位置にいて，速度 v = v0 で運動し ていた。任意の時刻tにおける質点の位置y(t)と速度v(t)を表す式を求 めよ。
(e) この運動について，力学的エネルギー保存則が成り立つかを議論せよ。
問題7 (発展問題)
物体が単振動するとき，1周期についての運動エネルギーとばねによる力の ポテンシャルの平均値は互いに等しいことを示せ。
問題8 (発展問題)
x 軸上を運動している質量 m の物体がある。この物体は x = 0からの距離 の2乗に反比例する引力を受けると同時に，x = 0からの距離の3乗に反比 例するような斥力を受けている。この物体の運動が振動となる条件を求め，
そのときの周期を求めよ。
問題9 (発展問題)
空間的に一様でない磁束密度
B⃗ = (Bx(x, y, z), By(x, y, z), Bz(x, y, z)) ,
の磁場がある。この磁場中を質量m，電荷q の粒子が運動している。この粒 子が受ける力は，F⃗ = q⃗v ×B⃗ となる。この粒子の運動エネルギーが保存す ることを示せ。
問題10 (発展問題)
一様な密度の，半径が R で質量 M 球から任意の位置 ⃗r にある質量 m の物 体が受ける万有引力を求めよ。また，力の大きさを位置の関数として図に 示せ。
問題11 (発展問題)
前問において，一様な密度の球の代わりに，半径がR で質量がM の一様な 密度の薄い球殻があった場合に質量m の物体が受ける万有引力と，そのポ テンシャルを求めよ。
