物理学 D 自習問題

物理学 D ^自習問題

•（やや難）マークつき問題は授業であつかう範囲を越えた応用問題です。興味がある人はぜひ挑戦して みてください。

• 緑の文字は略解を表しています。解答が間違っている可能性もあります。

問題1 水の分子量は18である。以下の各問に応えよ。

1. ^グラス1^杯の水(^約150 ml)の 物質量は，およそ何mol^になるか? 8.3 mol

2. 上記の水に含まれる水分子の数はおよそ何個か? 5×10²⁴個

問題2 次の各問に答えよ。ただし，全ての場合で熱は外に逃げないとする。

1. 20^◦Cの水100 gと50^◦Cの水200 gのを混ぜると，温度は何度になるか? 40^◦C

2. 20^◦C^の水100 g^に対し，50^◦Cの水を混ぜたところ，全体の温度が40^◦C^{になった。}50^◦C^の水を何g 混ぜたことになるか?

200 g

3. 20^◦C^の水100 g^{に対し，ある温度の水}200 gを混ぜたら，全体の温度が25^◦C^{になった。混ぜた水の} 温度は何度であったと考えられるか?

27.5^◦C

問題3 銅の比熱はおよそ0.38 J/g·Kである。底面の半径が2.00cm，高さが0.70mの銅でできた円柱 があったとする。なお，銅の密度は8.9g/cm^{3，原子量は}63.6であるとする。以下の問に答えよ。

1. 銅のモル比熱はいくらになるか? 24.2 J/mol·K

2. この円柱の熱容量はおよそいくらか? 2970 J/g·K

3. この円柱に5940 Jの熱量を加えると，温度は何K上昇するか? 2 K

問題4 100 gの鉄の塊を，熱せられて気体の流れの中に充分長い時間さらしておき，その後に0.5L，15^◦C

の水の中にいれる。その結果，水の温度は18^◦Cになった。気体の温度はいくらか? ^{ただし，水の比熱は} 4.2 J/g·K^{，鉄の比熱は}0.435 J/g·K^{であるとする。}

32.5^◦C

問題5 圧力を気圧(atm)，体積をリットル(L)で測定した場合，気体定数の値はどうなるか? ただし，

atm= 1013.25hPa^である。

0.082 atm·L/mol·K

問題6 ^{気体の量を 物質量}(mol^数)ではなく，気体の質量で表すことにする。このとき，状態方程式は pV =miRiTとなり，気体定数に相当する定数Riは気体の種類によって異なる。気体の質量をg単位で表す とすると，酸素と水素の場合にRiはそれぞれいくらになるか?

水素：4.15 J/g·K，酸素:0.26 J/g·K

問題7 容積41.5 Lのボンベに酸素が入っている。酸素の分子量は32である。気体定数を8.31 J/mol·K とし，以下の問に答えよ。

(a) ^{ボンベの圧力が}7.0×10⁶Pa^，温度が7^◦Cに保たれていたとすると，ボンベに入っている酸素は何mol か?また，質量にするといくらか?

125 mol

(b) 前項の状態で，ボンベが加熱され温度が63^◦Cになった。圧力は始めの何倍になったか? 1.2倍

(c) 上記のボンベのバルブがゆるんでしまい，酸素の一部がボンベ外に漏れてしまった。しばらくして圧力と 温度を測ると，圧力が2.9×10⁶Paに下がり，温度は17^◦Cになっていた。漏れた酸素の質量はいくらか? 2400 g

問題8 一辺Lの立方体の中に，N個の気体分子が閉じ込められている。気体分子1個の質量はmであ り，気体分子同士は衝突せず，気体分子と壁との衝突は弾性衝突であるとする。

1. 気体の圧力pの正体は，気体分子が壁に衝突するときに壁に与える力積であると考える。分子の運動を 平均的にあつかうことにより，次式を示せ。

pL³= N mv² 3 .

ただし，NA はアヴォガドロ定数を表している。また，v² は気体分子の速度二乗 v² の平均値を表 しており，速度~vの成分をそれぞれvx, vy, vz とすると，それらの二乗の平均値とv² との間には v²_x=v_y²=v²_z= ^v₃² が成り立っているとしてよい。

略

2. ^温度T の気体の場合，この気体を構成している気体分子1個あたりの運動エネルギーの平均値hKiが hKi=³_2N^R

ATであることを示せ。ただし，Rは気体定数である。

略

問題9 物質量n，圧力p₀，体積V₀の理想気体がある。気体定数をRとして以下の問に答えよ。以下では 物質量は変化しないとする。

(a) ^{このときの温度}T0を求めよ。

T0= ^p_nR^0V0

(b) 温度をT₀で一定に保ったまま，体積をV₁まで変化させた。このときの，圧力pの変化を，横軸を体積 V，縦軸を圧力pにとったグラフで示せ。

略

(c) 温度T0，体積V1となったときの圧力p1を，V0，V1，p0を用いて表せ。

p1= ^p0_V^V0

1

(d) 上記のように，体積をV₀からV₁まで変化させたときに，気体がする仕事W を求めよ。

W =nRT0log^V_V¹

0

問題10 物質量nの理想気体について考える。体積V0，圧力p0の状態から，p=aV⁻²という関係を満

たしつつ気体の状態を変化させていく。ただし，aは定数とする。以下の問に答えよ。

(a) 最初の状態の温度を求めよ。

p0V0

nR

(b) 定数aを求めよ。

p₀V₀²

(c) この変化を表すp-V 図を描け。また，同じ図に，体積V0，圧力p0の状態から等温変化で体積を変化させ た場合の線を描け。

略

(d) この気体の体積を膨張させたときに温度は上がるか?^{それとも下がるか}? 下がる

(e) 体積を2V₀まで膨張させたときに，この気体がする仕事を求めよ。

p0V0

2

問題11 理想気体の状態変化を考える。次のそれぞれの場合に，内部エネルギーがどのように変化するか を「増加する」「減少する」「変化しない」の中から選んで理由つきで答えよ。

(a) 気体の体積を一定に保ちつつ，加熱した。

増加する。理由は略（以下同様）

(b) 気体の体積を一定に保ちつつ，冷却した。

減少する

(c) 温度を一定に保ちつつ，気体を膨張させた。

変化しない

(d) 温度を一定に保ちつつ，気体を圧縮した。

変化しない

(e) 熱の出入りを遮断しつつ，じわじわ気体を膨張させた。

(f) 減少する熱の出入りを遮断しつつ，じわじわ気体を圧縮した。

(g) 増加する気体の温度を上げた。

(h) 増加する気体の温度を下げた。

減少する

問題12 (^やや難)^物質量nの理想気体の状態を，p-V 図上のp=p(V)という曲線に沿って準静的に変化 させる。体積V，圧力pの状態から，体積をV +dV だけ変化させるとき，

dp dV >−p

V が満たされていれば，温度が上がり，

dp dV <−p

V が満たされていれば温度が下がることを示せ。

略

問題13 cV = ⁵₂Rの理想気体が1 mol^{ある。この気体が体積}V = 25L^，温度T = 27^◦C^{の状態から，断} 熱的にじわじわ膨張して，体積がV = 50Lになった。このときの温度と圧力を求めよ。

温度:−45.8 ^◦C,圧力:3.77×10⁴ Pa

問題14 ^物質量nの理想気体に対し，以下のように状態を変化させた。全て準静的に状態が変化したと する。

(a) 温度をT =T0で一定に保ち,体積をV0からV1へ変化させた。

(b) 温度T0，体積V0の状態から，圧力を一定に保ちつつ温度をT1に変化させた。

(c) 体積をV =V₀で一定に保ちつつ，温度をT₀からT₁に変化させた。

(d) 体積V₀，温度T₀の状態から断熱的に温度をT₁まで変化させた。

このとき，下記の表の空欄を埋めよ。Rを気体定数とし，c_V を定積モル比熱として答えよ。

∆U W Q

(a)温度一定 0 nRT0log^V_V¹

0 nRT0log^V_V¹

0

(b)^圧力一定 ncV(T1−T0) nR(T1−T0) n(cV +R)(T1−T0) (c) 体積一定 nc_V(T₁−T₀) 0 nc_V(T₁−T₀)

(d)^断熱変化 ncV(T1−T0) −ncV(T1−T0) 0

∆U は内部エネルギーの変化を，W は気体がした正味の仕事量を，Qは気体に加えられた正味の熱量をそれ ぞれ表している。

問題15 ^物質量n，定積モル比熱cV =⁵₂Rの理想気体が，図のような変化をした。

1. この一連の変化で気体がする仕事を求めよ。

7p₀V₀

2. この一連の変化における内部エネルギーの変化を求めよ。2 25p0V0

3. この一連の変化で，気体が吸収した熱量を求めよ。2

9p0V0

V p

V0 2V0 3V0

p₀ 2p0

問題16 (^やや難)ファンデルワールス気体は，状態方程式が

p= nRT

V −bn−an² V² ,

であり，内部エネルギーが

U =nc_VT−an² V ,

である。この気体に対して，ポアソンの関係式に対応するものを求めよ。

T(V −nb)^cVR =一定，もしくは p+^an_V2²

(V −nb)^cVR+1=一定

問題17 ^{定積モル比熱が}cV の理想気体を考える。断熱的に状態を(T0, V0, n)から(T1, V1, n)までじわじ わ変化させた。物質量はこの変化の途中で一定に保たれているとする。また，気体定数をRとする。次の各問 に答えよ。

1. 内部エネルギーの変化∆Uを求めよ。

∆U =nc_V(T₁−T₀)

2. V₁をT₀，V₀，T₁を用いて表せ。

V₁=V₀

T₀ T1

cV/R

3. 変化の途中の状態を(T, V, n)とする。断熱準静変化の際に成り立つポアソンの関係式を用いて，T を T0，V0，V を用いて表せ。

T =T0 V0

V

^R/cV

4. 上の状態の圧力pをV，T0,V0を用いて表せ。

p= ^nRT_V(cV⁰_+R)^V0R/cV_/cV

5. pをV0からV1まで積分することによって，気体がする仕事を求め，T0およびT1を用いて表せ。ま た，ここで求めた仕事が1で求めた−∆U と一致していることを確認せよ。

W =RV₁

V0 pdV =−nc_V(T₁−T₀)を直接積分を計算することによって確認する。

問題18 理想気体を考える。定積モル比熱c_V と定圧モル比熱c_pの間に，c_p=c_V +R,の関係が成り立つ ことを示せ。

略

問題19 熱機関について，以下の問に答えよ。

(a) 熱機関の効率とは何かを説明せよ。

略

(b) カルノーサイクルとは，4^つの状態A,B,C,D^の間を

A–[^等温膨張]–B–[^断熱膨張]–C–[^等温圧縮]–D–[^断熱圧縮]–Aのような準静変化で結んでできるサイクルで ある。AとBの温度をTH，CとDの温度をTLとするとき，カルノーサイクルの熱効率がη= 1−T_L

TH

となることを示せ。

(c) 略理想気体を用いたカルノーサイクルにおいて，低温熱源の温度を10^◦Cとしたとき，熱効率0.9を実現す るためには高温熱源の温度は何^◦Cでないといけないか?

2558.35^◦C

問題20 (^やや難)ファンデルワールス気体は，状態方程式が

p= nRT

V −bn−an² V² ,

であり，内部エネルギーが

U =nc_VT−an² V ,

である。この気体を用いたカルノーサイクルについて，熱効率を計算して求めよ。

問題16で得られる関係式などを駆使して計算すると，問題19と同じ設定のカルノーサイクルの場合に，

η= 1−_T^TL

H となる。

問題21 オットーサイクルとよばれる熱サイクルについて以下の問に答えよ。

1. どのようなサイクルなのかを自分で調べ，その熱効率を計算して求めよ。

このサイクルに現れる2つの体積をV₁，V₂（V₂> V₁)とすると，熱効率はη= 1−_V

1

V2

^γ−1

2. オットーサイクルに登場する4つの温度のうち，一番高い温度をTH，一番低い温度をTLとする。こ のとき1で求めた熱効率が1−^T_T^L

H より小さくなることを示せ。

略

3. オットーサイクルはガソリンエンジンのモデルであるといわれる。オットーサイクルを構成する4^つの 変化のひとつひとつが，ガソリンエンジンの動作とどのように対応しているかを説明せよ。

略

問題22 スターリングサイクルという熱サイクルについて，その概要を自分で調べた上で以下の問に答 えよ。

1. 熱再生器を用いない場合の熱効率を計算せよ。

サイクルに現れる2^{つの温度を}TH,TL(TH > TL)^，2^{つの体積を} V1，V2(V2 > V1)^{とすると，}η = 1− ^RTLlog

V2

V1+c_V(T_H−T_L) RT_Hlog^V_V²

1+c_V(T_H−TL)

2. 熱再生器を用いた場合の熱効率を計算せよ。

η= 1−_T^TL

3. このサイクルの状態変化を実現するためには，具体的にどのような機構を用いればよいかを考えよ。H

略