連立 1次方程式の解法 問題 3 解答 - 熊本大学

熊本大学 数理科学総合教育センター

連立 1 _{次方程式の解法 問題} 3 _解答

行列の行基本変形とは

• 操作 c·r_i: _第 i _行を c _倍する

• 操作 r_i+c·r_j : _第 i _行に第 j _行の c _{倍を加える}

• 操作 ri $rj : _第 i _行と第 j _{行を入れ替える}

という 3_{つの操作だった}. この行基本変形を連立方程式に対応する拡大係数行列に施すこ とにより, 解を求めていく.

1 次の連立方程式の解を求めよ. (1)

8>

><

>>

:

x+y+ 3z = 0 2x+ 4y+ 5z = 0 3x+ 8y+ 6z = 0

[解]: この連立方程式の係数行列を A _とし, 行基本変形によって変形していくと,

0

@1 1 3 2 4 5 3 8 6

1

A ^{r2 2·r}!¹ 0

@1 1 3 0 2 1 3 8 6

1

A ^{r3 3·r}!¹ 0

@1 1 3 0 2 1 0 5 3

1 A

1 2·r2

! 0

@1 1 3 0 1 1/2

0 5 3

1

A ^{r1 1·r}!² 0

@1 0 7/2 0 1 1/2

0 5 3

1

A ^{r3 5·r}!² 0

@1 0 7/2 0 1 1/2 0 0 1/2

1 A

r1+7·r3

! 0

@1 0 0 0 1 1/2 0 0 1/2

1

A ^{r2 1·r}!³ 0

@1 0 0 0 1 0 0 0 1/2

1

A ^2·r!³ 0

@1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 A

したがってrankA= 3 _より, 求める解は 0 BB

@ x y z

1 CC A=

0 BB

@ 0 0 0

1 CC A.

1

熊本大学 数理科学総合教育センター

(2) 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

3w+x+y+z = 0 w 3x+y+z = 0 w+x 3y+z = 0 w+x+y 3z = 0

[_解]: この連立方程式の係数行列を A _とし, 行基本変形によって変形していくと,

0 BB

@

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

1 CC

A ^r1+3·r!² 0 BB

@

0 8 4 4

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

1 CC A

r3 1·r2

! 0 BB

@

0 8 4 4

1 3 1 1

0 4 4 0

1 1 1 3

1 CC

A ^{r4 1·r}!² 0 BB

@

0 8 4 4

1 3 1 1

0 4 4 0

0 4 0 4

1 CC A

r1$r2

! 0 BB

@

1 3 1 1

0 8 4 4

0 4 4 0

0 4 0 4

1 CC

A ^r2+2·r!³ 0 BB

@

1 3 1 1

0 0 4 4

0 4 4 0

0 4 0 4

1 CC A

r4 1·r3

! 0 BB

@

1 3 1 1

0 0 4 4

0 4 4 0

0 0 4 4

1 CC A

1 4·r3

! 0 BB

@

1 3 1 1

0 0 4 4

0 1 1 0

0 0 4 4

1 CC A

r1+3·r3

! 0 BB

@

1 0 2 1

0 0 4 4

0 1 1 0

0 0 4 4

1 CC

A ^r2$r!³ 0 BB

@

1 0 2 1

0 1 1 0

0 0 4 4

0 0 4 4

1 CC A

r4+1·r3

! 0 BB

@

1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 4 4 0 0 0 0

1 CC A

1 4·r3

! 0 BB

@

1 0 2 1

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 0

1 CC A

r1+2·r3

! 0 BB

@

1 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 0

1 CC

A ^r2+1·r!³ 0 BB

@

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

1 CC A

したがって, _係数行列 A _{の階段行列は} 0 BB

@

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

1 CC A

すなわち A _の階数はrankA= 3 _{と求められる}.

ここで解の自由度は4 3 = 1 _{となるため}, 一般解に含まれるパラメータの個数は 1 個と分かる. 階段行列の表す連立方程式は

2

熊本大学 数理科学総合教育センター 8>

<

>:

w z = 0 x z = 0 y z = 0

したがって, パラメータをz =c_{1 とすると}, 求める解は 0

BB

@ w

x y z

1 CC A=

0 BB

@ c₁ c1

c₁ c1

1 CC A=c₁

0 BB

@ 1 1 1 1

1 CC A.

3

熊本大学 数理科学総合教育センター (3)

8>

><

>>

:

3w 6x+ 5y+ 8z = 0 2w 4x+ 7y 2z = 0 w 2x+ 2y+ 2z = 0

[解]: この連立方程式の係数行列を A _とし, 行基本変形によって変形していくと,

0

@3 6 5 8

2 4 7 2

1 2 2 2

1

A ^{r1 3·r}!³ 0

@0 0 1 2

2 4 7 2

1 2 2 2

1 A

r2 2·r3

! 0

@0 0 1 2

0 0 3 6

1 2 2 2

1

A ^r1$r!³ 0

@1 2 2 2

0 0 3 6

0 0 1 2

1 A

r1+2·r3

! 0

@1 2 0 6

0 0 3 6

0 0 1 2

1

A ^r2+3·r!³ 0

@1 2 0 6

0 0 0 0

0 0 1 2

1 A

1·r3

! 0

@1 2 0 6

0 0 0 0

0 0 1 2

1

A ^r2$r!³ 0

@1 2 0 6

0 0 1 2

0 0 0 0

1 A

したがって, _係数行列 A _{の階段行列は} 0

@1 2 0 6

0 0 1 2

0 0 0 0

1 A

すなわち A _の階数はrankA= 2 _{と求められる}.

ここで解の自由度は4 2 = 2 _{となるため}, 一般解に含まれるパラメータの個数は 2 個と分かる. 階段行列の表す連立方程式は

⇢w 2x+ 6z = 0 y 2z = 0

したがって, _{パラメータを}x=c1, z =c2 とすると,_{求める解は} 0

BB

@ w

x y z

1 CC A=

0 BB

@

2c1 6c2

c₁ 2c2

c₂ 1 CC A=c₁

0 BB

@ 2 1 0 0

1 CC A+c₂

0 BB

@ 6 0 2 1

1 CC A.

4