連立１次方程式 解 構造 演習問題１ 解答
問 1. 連立1次方程式 {
x + 2y − z= 1
2x + 4y −2z= 4 (1)
x + 2y + z − w = 0 2x + 4y + 3z − w = −1 3x + 6y + z − w = 2
(2)
3x1 + x3 + 4x4 + 2x5 = 3 + x2 + x3 + 5x4 + x5 = 8 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −5 3x1 − x2 − x3 + 2x4 − x5 = −7 3x1 + 3x4 + x5 = −1 + x3 + x4 + 2x5 = 6
(3)
対 ，
(i) 拡大係数行列 行基本変形 行 ，最後 列以外 部分 階段行列 ，
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · ∗ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · ∗
形 変形 ．
解答. （(1) ）第1行 2倍 第2行 引 基本変形 [1 2 −1 1
2 4 −2 4 ]
→
[1 2 −1 1
0 0 0 2
]
得 ．
（(2) ）行基本変形
1 2 1 −1 0 2 4 3 −1 −1 3 6 1 −1 2
−→(I)
1 2 1 −1 0
0 0 1 1 −1
0 0 −2 2 2
−−→(II)
1 2 0 −2 1 0 0 1 1 −1
0 0 0 4 0
(III)
−−−→
1 2 0 −2 1 0 0 1 1 −1
0 0 0 1 0
−−−→(IV)
1 2 0 0 1 0 0 1 0 −1
0 0 0 1 0
得 ． ，上 各基本変形
(I) 第1行 2倍，3倍 第2行，第3行 引 ．
(II) 第2行 第1行 引 ，第2行 2倍 第3行 加 ． (III) 第3行 1/4倍 ．
(IV) 第3行 第2行 引 ，第3行 2倍 第1行 加 ．
行 ．
（(3) ）行基本変形
3 0 1 4 2 3
0 1 1 5 1 8
3 −1 −1 2 0 −5 3 −1 −1 2 −1 −7
3 0 0 3 1 −1
0 0 1 1 2 6
−→(I)
3 0 1 4 2 3
0 1 1 5 1 8
0 −1 −2 −2 −2 −8 0 −1 −2 −2 −3 −10 0 0 −1 −1 −1 −4
0 0 1 1 2 6
−−→(II)
3 0 1 4 2 3
0 1 1 5 1 8
0 0 −1 3 −1 0 0 0 −1 3 −2 −2 0 0 −1 −1 −1 −4
0 0 1 1 2 6
(III)
−−−→
3 0 0 7 1 3
0 1 0 8 0 8
0 0 1 −3 1 0 0 0 0 0 −1 −2 0 0 0 −4 0 −4
0 0 0 4 1 6
−−−→(IV)
3 0 0 7 1 3
0 1 0 8 0 8
0 0 1 −3 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 2
0 0 0 4 1 6
−−→(V)
3 0 0 0 1 −4
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 1 2
−−−→(VI)
3 0 0 0 0 −6
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0
(VII)
−−−→
1 0 0 0 0 −2
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0
得 ． 上 各基本変形
(I) 第1行 第3行, 第4行, 第5行 引 ． (II) 第2行 第3行, 第4行 加 ．
(III) 第3行 第1行, 第2行, 第6行 加 ，第4行, 5行 引 ．最後
3行目 −1倍 ．
(IV) 第4行 第5行 入 替 ，第4行 −1/4倍 ．
(V) 第4行 7倍，8倍，−3倍，4倍 ， 第1行，第2行，第3行，第 6行 引
．
(VI) 第5行 第1行，第3行，第6行 引 ．
(VII) 第1行 1/3倍 ． 行 ．
(ii) 係数行列，拡大係数行列 階数 調 ，方程式 「 1 解 」，「無数 解 」，「解 」， 判定 ． 方程式 解 場合 ， 解 答
．
解答. 以下連立1次方程式(1), (2), (3) ，A，x, b 対応 係数行
列，未知数 ，定数項 ．
（(1) ）(i) 結果 rank [A,b] = 2 ̸= 1 = rankA ，連立1次方程式
Ax=b ，解 ．
（(2) ）(i) 結果 ，rank [A,b] = rankA = 3 < 4 (未知数 個数) ， 連立1次方程式Ax= b 無数 解 ．再 (i) 結果 ，連立1次方程式(2) 解 連
立1次方程式 {x + 2y = 1 z = −1 w = 0
解 等 ． 解
x = 1−2c
y = c
z = −1
w = 0
(c 任意定数)，
x=
x y z w
=
1−2c
c
−1 0
=
1 0
−1 0
+c
−2 1 0 0
(c 任意定数)，
表 ．
（(3) ）(i) 結果 ，rank [A,b] = rankA= 5 (未知数 個数) ，連立
1次方程式Ax=b 1 解 ．再 (i) 結果 解
x1 = −2 x2 = 0 x3 = 1 x4 = 1 x5 = 2
． 表
x=
x1 x2
x3 x4
x5
=
−2 0 1 1 2
.
問 2. 連立1次方程式
x − z = 3
2x + y + (a−2)z = 7
−x − ay − 3(a−1)z = −4
，「 1 解 」，「無数 解 」，「解 」， a 値 求
．
解答. 与 連立1次方程式 係数行列 定数項 A b ．
A=
1 0 −1 2 1 (a−2)
−1 −a −3(a−1)
, b =
3 7
−4
.
拡大係数行列 ，行基本変形 行
[A,b] =
1 0 −1 3
2 1 (a−2) 7
−1 −a −3(a−1) −4
−→(I)
1 0 −1 3
0 1 a 1
0 −a −3a+ 2 −1
−−→(II)
1 0 −1 3
0 1 a 1
0 0 (a−1)(a−2) a−1
=
1 0 −1 3
0 1 2 1
0 0 0 1
(a = 2)
1 0 −1 3
0 1 1 1
0 0 0 0
(a = 1)
1 0 −1 3
0 1 a 1
0 0 (a−1)(a−2) a−1
−−−→(III)
1 0 −1 3
0 1 a 1
0 0 1 (a−2)−1
(a ̸= 2 a̸= 1)
変形 ． 上 各基本変形
(I) 第1行 2倍 第2行 引 ，第1行 第3行 加 ． (II) 第2行 a倍 第3行 加 ．
(III) 第3行 (a−1)(a−2)−1倍 ．
．a ̸= 2 a̸= 1 上 基本変形 最後 行列 ，(3,3)成分 軸 第
3列 掃 出 ， 階数 3 ． a 値 係数行列
拡大係数行列 階数 対応
a= 2 ⇔ rank [A,b]̸= rankA
a= 1 ⇔ rank [A,b] = rankA= 2<3 (方程式 未知数 個数) a̸= 2 a ̸= 1 ⇔ rank [A,b] = rankA= 3 (方程式 未知数 個数)
，a 値 連立1次方程式 解 対応 ，
a= 2 ⇔ 解
a= 1 ⇔ 無数 解
a̸= 2 a ̸= 1 ⇔ 1 解
．
問 3. 3個 未知数 関 2個 方程式 連立1次方程式 ，無数 解 ， 解 自由度 1 1 求 ．
解答. 例 解
x =c y = 1 z = 2
(c 任意定数)
連立1次方程式 見 ，
{ y = 1 2y − z = 0
容易 見 ， 階数 注目 求 ．
3個 未知数 関 2個 方程式 連立1次方程式 係数行列 A,定数項
b ，A 2×3行列，b 2次列 ，拡大係数行列[A,b] 2×4行列 ． 連立1次方程式Ax =b 解 必要十分条件 rank [A,b] = rankA ，加 解 自由度 1 必要十分条件 (未知数 個数)−rankA = 3−rankA = 1，
rankA = 2 ．
rank [A,b] = rankA= 2 (4)
連立1次方程式 求 ． ，階数 定義 [A,b] 2×4行列 rankA≤rank [A,b]≤2
成 立 ，結果 rankA= 2 b (4) 成立
．結局
rankA= 2
2×3行列 求 ， 対応 連立1次方程式 答 ．階数 2
2×3行列 ，行基本変形 行 得 階段行列 [ 1 0 ∗
0 1 ∗ ]
,
[ 1 ∗ 0 0 0 1
] ,
[ 0 1 0 0 0 1
]
(5) 2×3行列 ．基本変形 可逆 操作， 各操作 対 元 戻 行基本変形 思 出 ，(5) 行列 出発 有限回 行基本変形 得
2×3行列 階数2 （逆 階数2 2×3行列 ，(5)
行列 出発 有限回 行基本変形 得 ）．例 [1 2 0
0 0 1 ]
出発 ，第2行 第1行 3倍 加 ， 第1行 第2行 引 基本変形
得 行列 [
1 2 0 0 0 1 ]
→
[1 2 0 3 6 1 ]
→
[−2 −4 −1
3 6 1
]
係数行列 ，定数項 （ 2次列 ）
b= [7
8 ]
連立1次方程式 {
−2x − 4y − z = 7 3x + 6y + z = 8
，無数 解 ，解 自由度 1 ．
問 4. x0 連立1次方程式Ax=b 1 解 ．以下 問 答 ．
(i) 方程式Ax=o 任意 解x′ 対 ，x0+x′ 方程式Ax=b 解 示 ． 解答. x′ Ax =o 任意 解 ． Ax′ =o ． ，Ax0 =b
A(x0+x′) =Ax0+Ax′ =b+o=b
． x0+x′ ，方程式Ax=b 解 ．
(ii) 方程式Ax=b 任意 解x 対 ，方程式Ax=o 解x′ 存在 ，x=x0+x′
表 示 ．
解答. x Ax=b 任意 解 ．x′ =x−x0 ， x=x0+x′
． Ax′ =o 示 ，
Ax′ =A(x−x0) =Ax−Ax0 =b−b=o
示 ．
