熊本大学 数理科学総合教育センター
行列の定義と働き 演習問題２ 解答例
mとnを自然数とする．mn個の実数
aij (i= 1,2, . . . , m, j = 1,2. . . , n)*1 をm×nの長方形状に並べて[ ]で括った
a11 a12 . . . a1j . . . a1n a21 a22 . . . a2j . . . a2n
... ... ... ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain
... ... ... ... am1 am2 . . . amj . . . amn
をm行n列の行列，もしくはm×n行列という．本によっては[ ]は丸括弧( )であること も多い．
• 上からi番目の横の実数の並びai1, ai2, . . . , ain をその行列の第i行といい，左からj 番目 の縦の実数の並びa1j, a2j, . . . , amj をその行列の第j 列という．
• 各実数aij(i= 1,2, . . . , m, j = 1,2, . . . , n)をその行列の成分という．とくに第i行と第j 列が交わる位置の成分aij を，その行列の(i, j)成分という．
以上を踏まえた上で，以下の問に答えよ．
問 1. 3×5行列
7 −2 1 √
5 1/3
−1 2 6 −2/5 10
3 4 2 −2 3
に対して，以下の問に答えよ．
(i) 第2行を答えよ．
解 答. 第 2 行 と は ，そ の 行 列 の 上 か ら 2 番 目 の 横 の 実 数 の 並 び で あ っ た か ら ，
−1,2,6,−2/5,10である．
(ii) 第4列を答えよ．
解答. 第4列とは，その行列の左から4番目の縦の実数の並びであったから，√
5,−2/5,−2 である．
(iii) (2,4)成分を答えよ．
解答. (2,4)成分とは，その行列の第2行と第4列の交わりの位置にある成分のことであっ たから，−2/5である．
*1こ こ で は mn 個 の 実 数 を 1 ∼ mn ま で の 番 号 を つ け て a1, a2, . . . , amn と 表 し て い る わ け で は な く ，後 の 都 合 の た め に 1 か ら m ま で 動 く i と 1 か ら n ま で 動 く j と い う 2 種 類 の 添 字 を 用 い て ，aij(i = 1,2,· · ·, m, j = 1,2,· · ·, n) と 表 し て い る ．言 い 換 え れ ば {a11, a12, . . . , a1n},{a21, a22,· · ·, a2n}, . . . ,{am1, am2,· · ·, amn}という n 個の実数でできた組がm 組あると考えればよい．後にわかるように，行列の各(i, j)成分をaij と表している．
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問 2. 3×2行列であって，各(i, j)成分が2i+j であるような行列を求めよ．
解答. 求める行列の(i, j)成分をaij とおく(i = 1,2,3, j = 1,2)．各(i, j)成分が2i+j である ような行列であるから，まずa11 = 2·1 + 1 = 3とわかる．同様にして
a12 = 2·1+2 = 4, a21 = 2·2+1 = 5, a22 = 2·2+2 = 6, a31 = 2·3+1 = 7, a32 = 2·3+2 = 8
とわかるから，求める行列は
a11 a12
a21 a22 a31 a32
=
3 4 5 6 7 8
.
問 3. 2×4行列 [
1 0 −3 4
0 2 2 0
]
に対して，各i行をi列に並べてできる4×2行列を答えよ*2．
解答. 行列 [
1 0 −3 4
0 2 2 0
]
の第1行1,0,−3,4を第1列に，第2 行0,2,2,0 を第2 列に並べてできる行列を答えればよい
ので，
1 0
0 2
−3 2
4 0
.
*2一般にm×n行列に対して，各i行をi列に並べてできるn×m行列を元の行列の転置行列という．
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