熊本大学 数理科学総合教育
基底・次元 演習問題１ 解答
問 1. a1 =
"
2 1
# , a2 =
"
1 1
#
．以下 問 答 ．
(i) R2 含 a1, a2 1次結合 表 ， R2 ⊂ ⟨a1,a2⟩ 示 ．
(Hint : x=
"
x1
x2
#
（任意 R2 含 ）．
x=k1a+k2a2 (k1, k2 ∈R) 形 表 言 ．)
解答. x=
"
x1 x2
#
∈R2 ．
x= x1
x2
= (x1−x2) 2
1
+ (−x1+ 2x2) 1
1
= (x1−x2)a1+ (−x1+ 2x2)a2 ∈ ⟨a1,a2⟩.
，R2 ⊂ ⟨a1,a2⟩ ．
注意. k1, k2 関 連立1次方程式k1a1+k2a2 =x 解 求 ． (ii) {a1,a2} R2 基底 示 ．
解答. ⟨a1,a2⟩ 含 R2 属 ⟨a1,a2⟩ ⊂ R2 ．(i) 合 R2 =⟨a1,a2⟩， {a1,a2} R2 生成系 ． ，
a1,a2= 2 1
1 1
= 2·1−1·1 = 1̸= 0
，{a1,a2} 1次独立 ．以上 {a1,a2} R2 基底 ． 問 2. (i)
A=
1 1 3 4 1 1 5 6 2 2 7 9
．rankA 求 ． 解答. 行基本変形
A → · · · →
1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
rankA = 2.
(ii) 同次連立1次方程式
x1 +x2 +3x3 +4x4 = 0 x1 +x2 +5x3 +6x4 = 0 2x1 +2x2 +7x3 +9x4 = 0 解 ．
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解答. 与 連立1次方程式 係数行列 (i) A ，(i) 結果 方程式 解
x=c1
−1 1 0 0
+c2
−1 0
−1 1
(c1, c2 ∈R)
．
(iii) (ii) 同次連立1次方程式 解空間 W ．
W =
x=
x1 x2
x3 x4
∈R4
x1 +x2 +3x3 +4x4 = 0 x1 +x2 +5x3 +6x4 = 0 2x1 +2x2 +7x3 +9x4 = 0
．W 基底 dimW 求 ． 解答.
a1 =
−1 1 0 0
, a2 =
−1 0
−1 1
．(ii) 結果 同次連立1次方程式Ax=o 解 a1,a2 1次結合 表
，逆 a1,a2 1次結合 表 ，方程式Ax= o 解 ． W = ⟨a1,a2⟩， {a1,a2} W 生成系 ． ，k1a1 +k2a2 = o
k1
−1 1 0 0
+k2
−1 0
−1 1
=
0 0 0 0
，第2, 第4成分 注目 k1 =k2 = 0 ． {a1,a2} 1次独立
．以上 {a1,a2} W 1組 基底 ，dimW = 2 ．
注意. • 部分空間 対 ， 基底 方 無数 ，基底 求 問題 答
1通 ．大事 ， 基底 選 基底 構成
個数 一定 ， 次元 呼 ．
• 一般 未知数n 同次連立1次方程式Ax=o 基本解 ，解空間W 1組 基底
，dimW =n−rankA 成立 ．
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