熊本大学 数理科学総合教育
線形写像 像・核 演習問題１ 解答
問 1. 以下 写像 線形写像 示 ．
(i)f: R2 →R3, f x
y
=
x y 0
. (ii)f: R3 →R, f
x y z
= 2x−y+z.
解答. 写像f: Rn →Rm 線形写像 ， (L1) a,b∈Rn ⇒ f(a+b) =f(a) +f(b), (L2) a∈Rn, k ∈R⇒ f(ka) =kf(a)
成 立 ．上記 2 命題 成立 ，次 命題 成立 同値
．
(L3) a,b∈Rn, k, ℓ∈R ⇒ f(ka+ℓb) =kf(a) +ℓf(b)
写像f: Rn → Rm 線形写像 示 ，(L1),(L2) 成 立
， (L3) 成 立 示 ．
(i) a1 =
"
a1 a2
# ,b=
"
b1 b2
#
∈R2, k, ℓ∈R ．
f(ka+ℓb) =f
ka1+ℓb1
ka2+ℓb2
=
ka1+ℓb1 ka2+ℓb2
0
=k
a1 a2
0
+ℓ
b1 b2
0
=kf a1
a2
+ℓf
b1
b2
=kf(a) +ℓf(b)
成 立 ． ，f 線形写像 ．
(ii) a1 =
a1 a2
a3
,b=
b1 b2
b3
∈R3, k, ℓ∈R ．
f(ka+ℓb) =f
ka1+ℓb1
ka2+ℓb2 ka3+ℓb3
= 2(ka1+ℓb1)−(ka2+ℓb2) + (ka3+ℓb3)
=k(2a1−a2+a3) +ℓ(2b1−b2+b3) =kf
a1
a2 a3
+ℓf
b1
b2 b3
=kf(a) +ℓf(b)
成 立 ． ，f 線形写像 ．
問 2. 写像f: R2 →R2, f "
x y
#!
=
"
x+ 1 y−2
#
，線形写像 ． 理由 述 ．
解答. （(L1)∼(L3) 前問 同 ．(L2) 成 立
(L0) f(o) =o （左辺 o Rn ，右辺 o Rm 零 注意）
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成 立 ． ，f: Rn →Rm 線形写像 示 ，
(L0)∼(L3) 成立 ，
• f(o)̸=o，
• a,b∈Rn ，f(a+b)̸=f(a) +f(b) a,b 見 ，
• a∈Rn, k ∈R 関 ，f(ka)̸=kf(a) a, k ∈R 見 ，
• a,b ∈ Rn, k, ℓ ∈ R ，f(ka+ℓb) ̸= kf(a) +ℓf(b) a,b ∈ Rn, k, ℓ∈R 見
確認 ．）
f(o) = 0
0
=
0 + 1 0−2
= 1
−2
̸
=o
，f 線形写像 ．
問 3. 以下 R2 R2 写像 線形写像（変換） ．各線形写像 2×2行列A
用 f(x) =Ax 表 ，対応 行列A 述 ． ，θ, k ∈R ．
(i)f x
y
= x
−y
(ii)f x
y
= −x
y
(iii)f x
y
= −x
−y
(iv)f x
y
= y
x
(v)f x
y
=
xcosθ−ysinθ xsinθ+ycosθ
(vi)f x
y
= kx
ky
解答.
(i)A =
1 0 0 −1
(ii)A =
−1 0 0 1
(iii)A =
−1 0 0 −1
(iv)A = 0 1
1 0
(v)A=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
(vi)A=
k 0 0 k
注意.
"
x y
#
点(x, y) 位置 同一視 （
"
x y
#
(x, y) 同一視 ），
(i)∼(vi) 線形変換 ，(x, y) x軸 関 対称移動，y軸 対 対称移動，原点
関 対称移動，直線y =x 関 対称移動，原点 中心 θ 回転，各座標k倍，
対応 ．
線形写像f: Rn →Rm 必 m×n行列A 用 f(x) =Ax (x∈Rn) 表 ． 際 A ，定義域Rn 標準基底{e1,e2, . . . ,en} 各 f 写 n個 m次元 f(e1), f(e2), . . . , f(en) ∈ Rm 各列 並 得 行列[f(e1), f(e2), . . . , f(en)]
等 ．
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， m×n行列A ，定義域Rn 標準基底 値域Rm 標準基底 関 f 表現 行列 一致 ．我々 標準的 考 方 空間 眺 ，線形写像f 左 行列
A 掛 操作 見 ．
問 4. 線形写像f: Rn →Rm 対 ， 核Kerf 像Imf 定義 述 ． 解答.
Kerf ={x∈Rn|f(x) =o}, Imf ={f(x)∈Rm|x∈Rn}.
問 5. 線形写像f: R4 → R3, f
x y z w
=
0 −1 3 1 1 3 −4 1 1 2 −1 2
x y z w
対 ，Kerf 1組
基底 dim(Kerf) 求 ． ，Imf 1組 基底 dim(Imf) 求 ． 解答. （Kerf ．）
A=
0 −1 3 1 1 3 −4 1 1 2 −1 2
Kerf ={x∈R4|f(x) =o}={x∈R4|Ax=o}.
，Kerf 同次連立1次方程式Ax=o 解空間 等 ．A 行基本変形
A→ · · · →
1 0 5 4 0 1 −3 −1
0 0 0 0
(0.1)
Ax=o 解
x=c1
−5 3 1 0
+c2
−4 1 0 1
(c1, c2 ∈R)
．
a1 =
−5 3 1 0
, a2 =
−4 1 0 1
，a1, a2 1次結合 表 Ax = o 解 ，逆 1 次結合 表 Ax= o 解 ． ，Kerf = ⟨a1,a2⟩. ，
c1a1 +c2a2 = o ，第3, 4成分 注目 直 c1 = c2 = 0 ．
{a1,a2} 1次独立 ．以上 ，{a1,a2} Kerf 基底 ，dim(Kerf) = 2
．
注意. 同次連立1次方程式Ax=o 基本解 解空間 1組 基底 必 ． 3
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（Imf ．）A i列 bi ．
b1 =
0 1 1
,b2 =
−1 3 2
,b3 =
3
−4
−1
,b4 =
1 1 2
.
Imf ={f(x)∈R3|x∈R4}={Ax|x∈R4}
=
[b1,b2,b3,b4]
x1 x2
x3 x4
x1, x2, x3, x4 ∈R
={x1b1+x2b2+x3b3+x4b4|x1, x2, x3, x4 ∈R}
=⟨b1,b2,b3,b4⟩.
，Imf b1,b2,b3,b4 生成 R3 部分空間 等 ．A 行基本変形 階段行列 結果(0.1) {b1,b2} 1次独立 ． b3 = 5b1−3b2,b4 = 4b1−b2
，Imf =⟨b1,b2,b3,b4⟩=⟨b1,b2⟩ ．以上 ，{b1,b2} Imf 基底
，dim(Imf) = 2.
注意. a1,a2, . . . ,an ∈Rm 対
[a1,a2,· · · ,an]−−−−−−−−→階段行列 変形 [b1,b2,· · ·,bn]
(I) ai1,ai2, . . . ,aiℓ 1次独立（従属） ⇔ bi1,bi2, . . . ,biℓ 1次独立（従属）
(II) aj =k1a1+· · ·+kj−1aj−1+kj+1aj+1+· · ·+knan
⇔ bj =k1b1+· · ·+kj−1bj−1+kj+1bj+1+· · ·+knbn.
成 立 ， 行基本変形 前 行列 列 組 1次関係式 ，行基本
変形 後 行列 対応 列 組 ． 行基本変形 施 ，
正則行列 左 掛 等 利用 証明 ．
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