次形式 演習問題1 - 熊本大学

熊本大学 数理科学総合教育センター

2 ^{次形式 演習問題１}

n個の変数x₁, x₂,· · · , x_n に関する係数が実数であるような2次の同次式，すなわち

f(x1, x2,· · · , xn) =

∑n i=1

∑n j=1

aijxixj, (aij ∈R, i, j = 1,2,· · · , n)

を2次形式という．

以下では

x=





 x1

x₂ ... x_n







と度々おくことにする．また，A = [a_ij]とおくと

f(x₁, x₂,· · · , x_n) =^txAx と表せることにも注意せよ．

問 1. (i) A, B は2次正方行列で，どんなx∈R^{2に対してもt}xAx=^txBxが成立するとき，

A=Bが成り立つかどうか答えよ．

(ii) A, B はn次実対称行列で，どんなx ∈ R^{n に対してもt}xAx = ^txBxが成立するならば A=Bであることを示せ．

問 2. 2次形式

f(x₁, x₂,· · · , x_n) =

∑n i=1

∑n j=1

b_ijx_ix_j, (b_ij ∈R, i, j = 1,2,· · · , n)

が与えられたとする．このとき，ある実対称行列A = [a_ij]がただ1つ存在して，

f(x₁, x₂,· · · , x_n) =^txAx

と表せることを示せ．

(Hint: 各i, j についてf(x1, x2,· · · , xn)のx²_i の係数はbii, xixj の係数はbij +bjiである．

一方，実対称行列A = [aij]を用いてf(x1, x2,· · · , xn) =^txAxと表せたとするとき f(x₁, x₂,· · ·, x_n) =^txAx=

∑n i=1

∑n j=1

a_ijx_ix_j

である．このときx²_i の係数はa_ii, x_ix_j の係数はa_ij +a_ji = 2a_ij である．)

以下では，与えられた2次形式f(x₁, x₂,· · · , x_n)に対して，問2によって定まる実対称行列A

（すなわちf(x1, x2,· · · , xn) = ^txAxをみたす実対称行列A）をその2次形式f(x1, x2,· · · , xn) の行列と呼ぶことにする．

問 3. ^次の2次形式に対して，それぞれの行列を答えよ．

(i) f(x1, x2) = 4x²₁−6x1x2−x2x1+ 3x²₂ 1

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(ii) f(x₁, x₂) =x²₁−2x₁x₂+ 3x²₂

(iii) f(x1, x2, x3) = 2x²₁−3x²₂+ 2x1x2+ 6x2x3−4x1x3

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