熊本大学 数理科学総合教育
連立１次方程式 解 構造 演習問題１ 詳解
以下詳解 ，階段行列
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗
0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗
... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
形 行列 *1．
，連立 1 次方程式 係数行列 拡大係数行列 復習 ．n個 未知数 x1, x2, . . . , xn 関 m個 方程式 連立1次方程式
a11x + a12x2 + · · ·+a1nxn =b1
a21x + a22x2 + · · ·+a2nxn =b2
· · ·
am1x + am2x2 + · · ·+amnxn=bm
(1)
，行列
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... am1 am2 · · · amn
, x=
x1
x2
... xn
, b =
b1
b2
... bm
用 Ax= b 表 ．A，x, b 連立1次方程式(1) 係数行列，未知数
，定数項 ． 連立1次方程式 行列 用 列 関 方
程式 見 ， 解 x= · · · 述 多 ． ，A b 列 付
加 m×(n+ 1)行列
[A,b] =
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2 ... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm
連立1次方程式(1) 拡大係数行列 ． ，拡大係数行列[A,b] 適当 行基本変形 行
[A,b]→ · · · →[B,c] =
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · β1
0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · β2
... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · βk
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · βk+1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · βm
*1本 ， 形 行列 簡約（階段）行列 呼 ． ，1 成分 0 実数，0 成分 任意 実
数 許 行列 階段行列 呼 本 ．
1
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第1列 第n列 階段行列 変形 ． ，階段行列
B =
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · ·
0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · ·
... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · ·
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · ·
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · ·
，係数行列A 階段行列 一致 注意 ． ，2 連立1次方程式 Ax=b Bx=c 同 解 ．階段行列B 段 成 列，
1 0 ... 0 0 ... 0
,
0 1
0 0 ... 0
, . . . ,
0 0
1 0 ... 0
第 p1, p2, . . . , pk 列（1 ≤ p1 < p2 < · · · < pk ≤ n, k = rankA）， 他 列 第 q1, q2, . . . , qn−k 列（1 ≤ q1 < q2 < · · · < qn−k ≤ n） ，Bx = c 表 連立
1次方程式
xp1 + (xq1, xq2, . . . , xqn−k 関 1 次式 ) = β1
xp2 + (xq1, xq2, . . . , xqn−k 関 1 次式 ) = β2
· · ·
xpk + (xq1, xq2, . . . , xqn−k 関 1 次式 ) = βk
0 = βk+1
... 0 = βm
(2)
． 連立1次方程式Bx= c 解 （結果 Ax=b 解 ）必要十分
条件 ，βk+1 =βk+2 =· · ·=βm = 0 ，
[A,b]→ · · · →[B,c] =
0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · β1
0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · β2
... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · βk
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
．階数 用 言 ，
rank [A,b] = rankA
2
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意味 ． Ax= b 解 xp1, xp2, . . . , xpk 除 未知数xq1, xq2, . . . , xqn−k 任意 定数c1, c2, . . . , cn−k (2)
xp1 = β1 + (c1, c2, . . . , cn−k 関 1 次式 ) xp2 = β2 + (c1, c2, . . . , cn−k 関 1 次式 )
· · ·
xpk = βk + (c1, c2, . . . , cn−k 関 1 次式 ) xq1 = c1
xq2 = c2
· · · xqn−k = cn−k
,
成分間 表 ．任意定数 個数
n−k =n−rankA
，連立1次方程式 Ax=b 解 自由度 呼 ． 自由度 0， rankA =n
，連立1次方程式Ax=b 1 解 ．
上記連立1次方程式 解 導出 ，少 具体的 説明 ．例 3個 未知数x, y, z
関 4個 方程式 連立1次方程式Ax = b 与 ， 拡大係数行列 [A,b] 行基本変形 行列
[A,b]→ · · · →
1 1 0 2
0 0 1 −1
0 0 0 2
0 0 0 0
(3)
得 ． 結果 rank [A,b] ̸= rankA ，与 連立 1次方
程式 解 ．実際，(3) 最後 行列 第3行 表 式 0 = 2 ，矛 盾 等式 ．
今度 [A,b] 行基本変形
[A,b]→ · · · →
1 0 0 2
0 1 0 −1
0 0 1 2
0 0 0 0
(4)
．rank [A,b] = rankA = 3 （未知数 個数） ， 場合Ax=b
1 解 ．実際(4) 最後 行列 表 連立1次方程式（ 解）
{x = 2 y = −1
z = 2
， 表
x=
x y z
=
2
−1 2
．
3
熊本大学 数理科学総合教育 最後 例 ，[A,b] 行基本変形 施 結果
[A,b]→ · · · →
0 1 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(5)
．rank [A,b] = rankA = 1 < 3 (未知数 個数) ，連立1次方程式
Ax=b 無数 解 ．実際，(5) 最後 行列 表 連立1次方程式
y+ 2z = 2
，（(5) 最後 行列 ，段 成 列 第1, 3列 ，第1, 3変数
）x, z c1, c2 ，Ax=b 解
x=
x y z
=
c1 2−2c2
c2
=
0 2 0
+c1
1 0 0
+c2
0
−2 1
(6)
（c1, c2 任意定数） 表 ．確 (未知数 数)−rankA = 3 −1 = 2 個 任意定数 用 ， 解 表 ． ，(6) 最右辺 ，連立 1 次方程式 Ax = b 無数 解 場合，各任意定数c1, c2, . . . , cℓ(ℓ = n−rankA) 括 解 x=x0+c1x1+c2x2+· · ·+cℓxℓ(c1, c2,· · ·cℓ 任意定数) 表 ， 解 構造
見 ．実際 x0,x1,x2, . . . ,xℓ 特別 意味 ，x0 Ax =b 1
解，各xi(1≤i≤ℓ) Ax=o 解 （問4 見 ）． 以上 議論 結果 定理 ．
定理. 未知数n 連立1次方程式Ax=b 対
rank [A,b] = rankA ⇔ Ax=b 解 ．
rank [A,b] = rankA =n ⇔ Ax=b 1 解 ．
rank [A,b] = rankA < n ⇔ Ax=b 無数 解 ．解全体 ，n−rankA 個 任意定数 用 表 ．
4
