1. 集合論の復習・ユークリッド空間 R n
科目： 数学演習IIA（ f組）
担当： 相木
集合に関する基本性質の復習，およびユークリッド空間Rn の基本性質に関する問題 を扱う．
集合論の復習 集合の等号
A, Bを集合とするとき，AとBが等しいとは A⊂B かつ B ⊂A が成り立つこと．このとき，A=Bと書く．
写像の定義
A, Bを集合とするとき，Aの元にBの元を対応させる対応fに対して
Aの任意の元aに対して，aに応じたBの元bがただ一つ対応している ときにfを写像といい，aにbが対応していることをf(a) = bなどと表す．また，f がAからBへの写像であることをf :A→Bなどと表す．
写像の像・逆像
f :A→Bを写像とし，A1 ⊂A，B1 ⊂B とする．このとき，
f(A1) ={b ∈B | ∃a∈A1 s.t.b =f(a)}
をfによるA1の像（あるいは単にA1の像）と呼び，
f−1(B1) ={a ∈A |f(a)∈B1} をfによるB1の逆像（あるいは単にB1の逆像）と呼ぶ．
ユークリッド空間Rn
自然数nに対して実数全体Rのn個の直積をRnと書く（Rnと書く文献もある）．つ まり，Rn =R×R× · · · ×Rである．n = 1のときは肩の添え字を省略してRと書く．
1
Rnの元xは実数n個の組で表され，各成分を明示するためにxを(x1, x2, . . . , xn)などと も表す．このとき，xi ∈R (i= 1,2, . . . , n)である．
x,y∈Rnをそれぞれ(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)と表すとき，その間の距離d(x,y) を
d(x,y) = vu ut∑n
i=1
(xi−yi)2 (1)
によって定義する．Rnに対して上のような距離（これをユークリッド距離とよぶ）を導 入したとき，Rnをn 次元ユークリッド空間(n-dimensional Euclidean space)とよ ぶ．また，直交座標を用いた座標空間と対応させてRnの元を点と呼ぶこともある．特に，
n= 1,2,3のときはそれぞれ直線，平面，空間と同一視して“平面R2の点”などの語法も 用いる．また，よく使われる記号としてRnの原点(0,0, . . . ,0)をnの値によらず0と表 すことが多い．
Rnにおける位相構造は，距離の概念によって定義される．
ユークリッド距離の基本性質
1. 任意のx,y∈Rnに対してd(x,y)≥0.
2. x,y ∈Rnに対して「d(x,y) = 0」と「x=y」は同値．
3. 任意のx,y∈Rnに対してd(x,y) =d(y,x).
4. 任意のx,y,z ∈Rnに対して
d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z).
予約制問題
(1-1)A, B, C を集合とするときに次を示せ．
(i)A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (ii) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(1-2)X を集合とし,A, B をその部分集合とするときに次を示せ．
(i) (A∪B)c=Ac∩Bc (ii) (A∩B)c=Ac∪Bc
ただし，Ac = X \A は A の補集合とする．これらの等式をド・モルガンの法則（De
2
Morgan’s law）と呼ぶ．
(1-3)f :A→B を写像とする. A の部分集合 A1, A2 に対して次を示せ．
f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2).
また,f(A1∩A2)⊃f(A1)∩(A2) をみたさない例をあげよ.
(1-4)d(x,y)を(1)で定めたものとする．平面R2の原点を0と置く（つまり，0= (0,0)）．
1≤d(x,0)<2を満たすR2 の点x全体の集合を図示せよ．
早いもの勝ち制問題
(1-5)A, B, C を集合とするときに次を示せ．
(i) (A\B)\C =A\(B ∪C) (ii) A\(B \C) = (A\B)∪(A∩C)
(1-6)f :A→B を写像とする. A の部分集合 A1, A2 に対して次を示せ．
(i)A1 ⊂A2 ならば f(A1)⊂f(A2) (ii) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2)
(1-7) x,y ∈ Rn を (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)と表すとき，以下のシュワルツの不等式 (Schwarz inequality)が成り立つことを証明せよ．
(∑n i=1
xiyi
)2
≤ (∑n
i=1
x2i
)(∑n i=1
yi2 )
(1-8) 問題(1-7)のシュワルツの不等式を用いてユークリッド距離が基本性質４．をみた すことを示せ．
3
