2 数式処理

(1)

前回は主にMathematica^{の基本操作，および四} 則演算と初等関数の使い方について解説した．今回はもう少し複雑な計算について解説するとともに，いくつかMathemmatica^{の内部で行われ} ている処理に関して解説する．

2.1 Mathematica内の扱い

これまでに解説した関数，変数，記号，数字な

どはMathematica内部では全て「式」として扱

われている．Head関数を使うと様々な関数，変

数等がMathematica内でどのような「もの」と

して扱われているかが分かる．例えば

Head[E]

Head[2+I]

Head[2.1]

を実行してみよう．すると

In[1]:= Head[E]

Head[2+I]

Head[2.1]

Out[1]:= Symbol Out[2]:= Complex Out[3]:= Real

のようになる．それぞれ，ネピア数eは記号，2+i は複素数，2.1は実数であることを示している．

Symbol, Complex, Real^{などに分類される基本} 要素を総称して「原子式」という．

Head[a+b]

を実行してみよう．ただし，a, b^{は数字を入れる} のではなく，アルファベットのまま実行する．す

ると，

In[1]:= Head[a+b]

Out[1]:= Plus

となる．実は，足し算も関数の形式で表すことができ，a+b^は Plus[a,b] ^とPlus^{関数を用い} て表すこともできる．ただ，足し算や掛け算などの単純な演算は初回のプリントで解説したように省略された記法の方が入力が簡単であるし，

数学の記法に近いので省略形を使うことをおすすめする．

Mathematicaは，変数を記号として計算する

こともできる．例えば，

Expand[(1+x)^3]

Factor[x^2-1]

を実行すると

In[1]:= Expand[(1+x)^3]

Factor[x^2-1]

Out[1]:= 1+3x+3x² + x³ Out[2]:= (-1+x)(1+x)

と出力される．

Plus^やHead，初回のプリントで解説したAbs やLogなど

h[a] やh[a,b]

などの形をしたものを「通常の式」という．hが関数の名前で，式h[a]^のHead^{でもある．}a, b^は数値であるとは限らず，関数h ^{次第では，変数} や他の関数を交えた「表現」が引数として入る．

ドキュメントセンター内の解説でもそうだが，このような「表現」のことを総称して「expr」と

expressionを省略して表記することが多い．

(2)

2.2 関数

Sineやcosineなどの数学的な意味での関数に限

らず，Mathematicaに評価をさせるには様々な

「関数」を所定の形式で入力して実行する．

例えばDivisors^{関数を使ってみよう．}

Divisors[105]

を実行すると

In[1]:= Divisors[105]

Out[1]:={1,3,5,7,15,21,35,105}

のように105の約数が出力される．

これら関数をいかにして組み合わせるかが

Mathematicaの全てであると言っても過言では

ない．当然，Mathematica^{で使える関数全てをプ} リントに載せることはできないので，適宜ドキュメントセンターやインターネットで調べよう．

2.3 List

Listとは読んで字のごとく，値のリストである．

先ほど使ったDivisors^{関数の評価結果も}105^の約数をリスト形式で出力している．見たままのリストとしてだけでなく，Mathematica ではリストを用いて集合，ベクトル，行列なども表現する．

{1,2,3}+{a,b,c} {1,2,3}.{a,b,c} {1,2,3}x

上の例を実行して，ベクトルの演算ができることを確かめてみよう．なお，２つ目のセルに書いてある「点」はピリオドである．

また，行列はリストの中にリストを組み込ん

で表現する．

a={{1,2},{3,4}}

MatrixForm[a]

上の例を実行すると，変数「a^{」が右辺の行列に} よって定義されて，２行目で関数MatrixFormの引数としてaを代入して評価する．MatrixForm は「いわゆる行列の形」に視覚上見せるための関数である．この出力結果から行列を入力するためには，行ごとにリストの中にリストを入力すれば良いことが分かる．

課題 2.1. Mathematicaに以下の行列の掛け算を計算させ，行列の形に表示させよ．





1 2 0

3 −1 2 0 5 −3









2 1 7

11 −4 ¹₃ 0 3 ²₅





リストを「集合の外延的記法」とみなして和集合や共通部分を求めることもできる．

Intersection[{1,2,3},{3,4,5},{1,3}]

あるいは整理して

a={1,2,3}

b={3,4,5} c={1,3}

Intersection[a,b,c]

などを実行すれば共通部分を出力する．

関数によってはリストを引数として使えるものもある．例えば

Sin[{0,(1/2)Pi, Pi}]

を実行すると，リストの各要素をSineに代入し

(3)

て得られた値がリスト形式で出力される．ある関数がリストを引数として使えるかを確認するには

Attributes[関数名]

を実行し，出力されたリストの中にListableがあればリストを引数にできる．

その他List^{と関連のある関数：}

Length, Part, Take

2.4 Range, Map, Nest, Fold

リストの応用および作成法として４つの関数を解説する．

Range

Rangeは引数をいくつ入れるかで意味が変わる．

課題 2.2. 以下の例を実行してRangeが引数の数に応じて何をする関数か推測せよ．

Range[7]

Range[3,11]

Range[2,51,3]

Map Map は

Map[ f, {a,b,c}] の形式で入力し，

{ f[a], f[b], f[c]}

というリストを出力する．f ^{は適当な関数であ} る．例えば，Map[ Sin,{0, Pi, (3/2)Pi}]を実行

すると

In[1]:= Map[Sin,{0,Pi,(3/2)Pi}] Out[1]:={0,0,-1}

のように，入力したリストの左から順にSin ^へ代入した値がリストとして出力された．

Nest

Nestは計算結果を関数に逐次的に代入して反復計算をする関数である．

Nest[f,x,n]

の形式で入力し，実行すると x ^を f ^{に代入し，}

その結果をまたf に代入する，という操作を n 回繰り返し，最後に得られる値を出力する．例えば，

Nest[Sin,1,3]

は

Sin[Sin[Sin[1]]]

と同じことである．また，NestでなくNestList にすると最後の値だけでなく，各繰り返しのステップで得られた値をリスト形式で出力する．

Fold

Fold は「引数を２つとる関数 f」，「初期値 x」

，「適当なリスト」の計３つの引数をとる関数である．

Fold[ f, x,^リスト]

の形式で入力する．入力したリストを{a,b,c}^とおいたとき，

Fold[f,x,{a,b,c}] は

f[f[f[x,a],b],c]

と同じである．もちろん，リストの長さが３である必要はない．Nest の２変数バージョンのようなものである．これも，FoldList にすると各ステップでの結果も含めたリスト形式で出力する．

(4)

課題 2.3. Mathematicaで以下の値を計算せよ．

∑20 n=1

1 n²

ただし，和は Sum という関数を使えば簡単に計算できるが，この課題においてはこれを使わずに，ここまでに解説した関数を組み合わせて計算させよ．（ヒント：足し算も通常の式（h[a,b]

という形式）として表せたことを思い出そう）．

2.5 微積分，極限

計算機を使った計算においては，一般的に「無限」や「極限」といった概念が絡む計算は取り扱いが非常に難しい．それは，最終的に計算結果を出力するためにはどこかで計算を終了しなくてはならず，そうするためには計算を有限回しかできないからである．当然，有限回で計算を止めれば得られる値は基本的に「近似値」となる．

しかし，Mathematicaは，これら抽象的概念

をある程度は厳密に扱うことができる．その例として微分，積分，極限の計算を挙げる．

微分

Mathematicaでは多変数関数の偏微分を扱える

が，状況を簡略化するためにここでは，１変数関数の微分のみ扱う．

D[Sin[x],x]

を実行すると

In[1]:= D[Sin[x],x]

Out[1]:= Cos[x]

のように微分が計算できる．上の例から関数D の一般的な入力形式は明らかであろう．なお，n 階の導関数を計算するためには

D[f(x),{x,n}]

とすればよい．

積分

積分を計算するにはIntegrate^{関数を使う．}

Integrate[x^2,x]

を実行すると

In[1]:= Integrate[x^2,x]

Out[1]:= ^x₃³

となる．当然，これは不定積分なので任意定数差は無視されている．区間[a, b]上での定積分を計算するためには

Integrate[f(x),{x,a,b}] の形式で入力する．

極限

極限を計算させるためにはLimit ^{関数を使う．}

Limit[x^2, x->0]

Limit[(1+(x/n))^n, n->Infinity]

を実行すると

In[1]:= Limit[x^2, x->0]

Limit[(1+(x/n))^n, n->Infinity]

Out[1]:= 0 Out[2]:= e^x

と出力される．特に，変数が無限に発散するときの極限も扱える．

(5)

2.6 関数の定義

数学においては sine, cosine などの初等関数とは別に頻出する関数を独自に定義し，その関数に特定の記号を割り当てたいことがしばしばあ

る．Mathematica にもそのような機能が備わっ

ている．例えば関数f(x)を f(x) =x³+ 3 と定義したいときは

f[x_] = x^3 + 3

と入力し，実行すれば以後は関数 f ^{が上で定義} され，予めMathematica^{に用意されている関数} と同様に扱える．例えば

f[x_] = x^3 + 3 f[3]

を実行すると

In[1]:= f[x_] = x^3 + 3 f[3]

Out[1]:= 3 + x³

30

となる．

課題 2.4. x²+ 3x−1^に1^から30^{の自然数を代} 入して得られる値をリスト形式で出力せよ．