３ . 基本行列と掃き出し法による逆行列の 計算
科目： 線形代数学IB及び演習（１‐１組）
担当： 相木
列基本変形
前回のプリントで行基本変形というものを定義したが，同様に行列の列に対しても定 義する．
列基本変形
行列に対する以下の３つの操作を列基本変形という．
(i) ２つの列を入れ替える．
(ii) ある列の何倍かを他の列に加える．
(iii) ある列に0でない数をかける．
基本変形
行基本変形と列基本変形を総称して基本変形という．
行基本変形と列基本変形の関係
行列Aに対して行基本変形を行うのと，tAに対して列基本変形を行うのは同等であ る．つまり，行列Aに対してある一定の行基本変形を行って行列Bができたとする．
このとき，tAに対して同じ操作を列に対して行う（これは列基本変形）とtBを得る．
例えば，以下のように行列の第１行目と２行目を入れ替えたものと
1 0 −1 2 −3 4
0 8 9
→
2 −3 4 1 0 −1
0 8 9
転置行列の第１列目と２列目を入れ替えたもの
基本行列
基本行列
以下の３種類のn次正方行列をn次基本行列とよぶ．以下ではcはスカラーであると する．
1. P(i, j;c) = n次単位行列の(i, j)-成分をcに取り替えたもの. (i̸=j) 2. Q(i, j) = n次単位行列の第i列と第j列を入れ替えたもの.
3. R(i;c) = n次単位行列の(i, i)-成分をcに取り替えたもの. (c̸= 0)
このように定義すると，m×n行列Aの行基本変形はAに左からm次基本行列をかける ことで得られる（演習問題）．例えば，Aの1行目と2行目を入れ替えた行列をB とす ると
B =Q(1,2)A
と表せる．したがって，「Aに対していくつかの行基本変形を行って得られる行列」は「A に左からP, Q, Rを適当な組み合わせでかける」ことで得られる．
基本行列の正則性
n次基本行列は正則行列であり，その逆行列もまたn次基本行列である．
このことから特に，行基本変形は可逆であることが分かる．つまり，行列Aに対して行 基本変形を行って行列Bが得られたとすると，その「逆」に相当する行基本変形を行っ てBをAに戻すことができる．例えば，
P(i, j;c)Q(j, k)A =B となっていたとすると，
Q(j, k)−1P(i, j;c)−1B =A となる．
逆行列の計算
一般に，n次正方行列Aがdet(A)̸= 0を満たせばAは正則行列であり，逆行列A−1は A−1 = 1
det(A)Cof(A)
で与えられることはすでに見た．しかし，行列のサイズが大きくなると余因子行列Cof(A) を求めるための計算量が大幅に増える．そこで，逆行列の別な求め方を解説する．それが 掃き出し方による計算法である．
掃き出し法による逆行列の計算
n次正方行列Aとn次単位行列Enを
[A | En]
のように並べてできるn×2n行列に対して行基本変形を行い，
[En | B]
と変形できたとき，A−1 =Bである．
なぜこのようにして逆行列が求まるのか考えてみよう．
[A |En] に対して行基本変形を行って
[En | B]
が得られたとしよう．また，[En | B]に変形するために行った行基本変形の全行程にfと 名前をつけておく（[A |En]はfを行った結果[En | B]に変形された，などと表現したい のと，同じ変形を別な行列にも適用したいので名前をつけた）．ここで１つ注目して欲し いのは，[A | En]にfを行い，[En | B]が得られたということは
A に f を行うと En が得られ，
En に f を行うと B が得られる
ということである．さらに，1≤j ≤nに対して行列Bの第j列目をb とおく．
を考える．ここで，ekは第k成分が1，他が0の基本単位ベクトルである．前回のプリン トで見たように，このような連立方程式は，拡大係数行列に対して行基本変形を行って解 を求めることができる．この拡大係数行列を
[A |ek] とおく．
さて，[A | ek]に対してfを行うとどうなるであろうか？Aにfを行うとEnになる．
また，Enにfを行うとBになるので，特に第k列目だけに着目すると，ekはbkになる ことが分かる．したがって，
[A | ek]に f を行うと [En | bk]になる
ということが分かる．行基本変形を行った結果，拡大係数行列が[En | bk]になったとい うことは，連立方程式(1)の解はbkである．つまり，
Abk =ek (2)
が成り立つ．kは任意だったので，1≤k ≤nを満たす全てのkに対して(2)が成り立つ．
すると，行列の積ABの第k列目はAbkで与えられるので，(2)からAB=Enである．
次に，連立方程式
Bx=ek
(3)
を考え，その拡大係数行列[B |ek]を見る．行基本変形は可逆であったので，fに対して その「逆」となるf−1という行基本変形が存在する．f−1は
[En | B] に f−1 を行うと [A | En]になる
という行基本変形である．このことから特に，Bにf−1を行うとEnになり，Enにf−1を 行うとAになる，ということなので
[B | ek]に f−1 を行うと [En | ak]になる
ということが分かる．ただし，akは行列Aの第k列目を表す．これはつまり，(3)の解は akで与えられるということである．さらに，行列の積BAの第k列目はBakで与えられ るので，(3)からBA =Enである．
以上からAB=BA=Enであることが示され，A−1 =Bであることがわかった．
予約制問題
(3-1)n次基本行列の逆行列を求めよ．
(3-2) m×n行列Aの行基本変形は，Aにm次基本行列を左からかけることで得られる
ことを示せ．
(3-3) 以下の行列が逆行列を持つならば，掃き出し法により逆行列を求めよ．
1 −1 1
2 1 0
1 −2 3
(3-4) 以下の行列が逆行列を持つならば，掃き出し法により逆行列を求めよ．
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
早いもの勝ち制問題
(3-5) m×n行列Aの列基本変形は，Aにn次基本行列を右からかけることで得られる
ことを示せ．
(3-6) 以下の行列が逆行列を持つならば，掃き出し法により逆行列を求めよ．
1 2 3 6 5 4 7 8 9
(3-7) 以下の行列が逆行列を持つならば，掃き出し法により逆行列を求めよ．
(3-8) 以下の行列が逆行列を持つならば，掃き出し法により逆行列を求めよ．
2 −1 0 0 0 2 −1 0
0 0 2 −1
−1 0 0 2
