PDF 10 集合族の直積 - 東京理科大学

１０ . ^{集合族の直積}

科目： 基礎数学A及び演習（演習）（２‐１組）

担当： 相木

写像のグラフを定義した際に，２つの集合の直積を定義した．A, Bが集合のとき，そ の直積A×Bは

A×B ={(a, b)| a ∈A, b ∈B} (1)

によって定義されるAとBそれぞれに属す要素の「組」全体であった．これを帰納的に 用いてn個の集合A₁, A₂, . . . , A_n の直積は

A1×A2× · · · ×An={(a1, a2, . . . , an) | a1 ∈A1, a2 ∈A2, . . . , an∈An} (2)

と定義される．例えば，線形代数の授業で扱っているユークリッド空間Rⁿは，集合Rの n個の直積である．和集合や共通部分のときと同様の理由から，一般の集合族の直積を定 義するためには(1)や(2) と矛盾しないように，「直積」という概念を集合族に適用できる ような形に表現し直す必要がある．

そこで，改めて「集合A₁ ×A₂ × · · · ×A_nの要素」とは何かを考えてみよう．A₁ × A₂× · · · ×A_nの要素を１つ決めようと思ったら，各A_iに属す要素a_iを選び，順番に並べ てA₁×A₂× · · · ×A_nに属す組を作るであろう．

この操作を以下のように解釈することもできる．

J_n={1,2,3, . . . , n}, B=

∪n

i=1

A_iとおく．A₁×A₂× · · · ×A_nの要素を１つ決めることは，

写像f :J_n →Bで

∀k ∈Jn, f(k)∈Ak

(3)

を満たすものを１つ定めることと同等である．

実際，(a₁, a₂, . . . , a_n)∈A₁×A₂× · · · ×A_nが与えられたとき，k ∈J_nに対して f(k) = a_k

と定めれば，fは(3)を満たすf :J_n →Bなる写像になる．

逆に，(3)を満たす写像f :Jn →Bが与えられたとき，k ∈Jnに対して a_k =f(k)

と定めれば，(a₁, a₂, . . . , a_n)∈A₁×A₂× · · · ×A_nである．

このように，直積の要素を写像によって特徴づけすると，一般の集合族にも通用する ようになり，以下のように定義できる．

集合族の直積１

Λを集合，(A_λ)_λ∈ΛをΛによって添数付けされた集合族とする．このとき，B = ∪

λ∈Λ

A_λ

としたとき

{f : Λ→B | ∀λ ∈Λ, f(λ)∈Aλ} (4)

によって定まる集合を集合族(A_λ)_λ∈Λの直積集合といい，

∏

λ∈Λ

A_λ

で表す．また，λ∈Λに対して

a_λ =f(λ) とa_λを定め，∏

λ∈Λ

A_λの要素を写像にあまり言及せず，(a_λ)_λ∈Λと元の族として表すこ とが多い．

また，添数集合がNのときは集合族の直積を

∏∞ n=1

A_n

と表したりもする．さらに，

∏n

k=1

A_k や

∏∞ k=n

A_k

などの表記も考える直積に応じて使用する．

厳密な定義は(4)であるが，∏

λ∈ΛA_λを集合として扱う際に，その内包的記法を用いた表 現が写像を用いたものしかないのでは使いにくい．そこで，上の定義を踏まえて∏

λ∈ΛAλ

を以下のようにも表すことにする．

集合族の直積２

集合族(A_λ)_λ∈Λに対して∏

λ∈Λ

A_λを

{(a_λ)_λ∈Λ | ∀λ ∈Λ, a_λ ∈A_λ} (5)

とも表現することにする．

Rⁿのような有限個の集合の直積の場合，その要素を(a₁, a₂, . . . , a_n)のように表すことを 考えると，(5)のように∏

λ∈Λ

Aλの要素を元の族とするような表現の方が自然と思えるであ ろう．また，(4)によって定まる「写像の集合」と(5)によって定まる「元の族の集合」に は全単射が存在するので，これら２つは同一視することができる（演習問題）．

集合族の直積の特別な場合

集合族(A_λ)_λ∈Λが与えられたとき，一般にλごとに集合A_λは違う集合である．しか し，集合族の特別なものとして，全てのA_λが同じ集合になっている場合も考えることが できる．つまり，ある集合Aがあり，

∀λ∈Λ, A_λ =A (6)

が成り立っているときである．ここで注意しなければならないのが，(6)が成り立ってい たとしても 集合Aと集合族(A_λ)_λ∈Λは別なものである ということである．

このようなとき，集合族の直積を表す特別な記法を導入する．

同じ集合の直積

Aを集合，(A_λ)_λ∈Λを集合族とする．

∀λ∈Λ, A_λ =A が成り立つとき，直積集合∏

λ∈Λ

A_λを

A^Λ とも表すことにする．

この記法はRのn個の直積をRⁿと表すのを一般化したものである．

以下では断りがない限り，Λは集合であり，(A_λ)_λ∈ΛはΛで添数付けされた集合族である とする．

予約制問題

(10-1) 以下が成り立つことを示せ．

(∃λ∈Λ, Aλ =∅)

⇒ ∏

λ∈Λ

Aλ =∅

(10-2) Bを集合とする．以下を示せ．

(∪

λ∈Λ

A_λ )

×B = ∪

λ∈Λ

(A_λ×B)

(10-3) 直積集合に対して，解説部分の集合(4)と集合(5)の間に全単射が存在すること     を示せ．

(10-4) Λ ={x∈R | x >1}を添数集合とする集合族(A_λ)_λ∈Λをλ∈Λに対して A_λ ={x∈R | 1

λ < x < λ}     によって定める．このとき，

∪

λ∈Λ

A_λ =R₊

    を示せ．ただし，R₊ ={x∈R | x >0}であるとする．

早いもの勝ち制問題

(10-5) Bを集合とする．以下を示せ．

(∩ )

∩

(10-6) Λを集合とする．べき集合P(Λ)と直積集合{0,1}^Λに対して，写像f :P(Λ)→ {0,1}^Λで全単射なものが存在することを示せ．

(10-7) 空でない任意の集合Λに対して，写像f :{0,1}^Λ→ {0,1,2}^Λで単射なものが存     在することを示せ．