高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.10.04 班級
範
圍 1-4平面向量內積
座號
姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)
1、( B ) 如圖每一小格均為正方形，求cosθ =？
(A) 3
− 2 (B) 2
− 2 (C) 1
−2 (D)1
2 (E) 2 2 解析：自訂坐標A(0, 0), B(−3, 1), C(1, −2)
∴AB
K
= −( 3, 1),AC
K
=(1, 2)−∴cos AB AC AB AC
θ = ⋅ =
⏐ ⏐⋅⏐ ⏐
K K K K
105 5− =
⋅
2
− 2
2、( C ) 設aK=(2, )在直線 上的正射影為(3,1)，則
A L: 2x−6y=7 A=(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 解析：直線L: 2x−6y=7法向量nK=(2, 6)− =2(1, 3)− ⇒直線L之方向向量為(3,1)
∴ 2
(2, ) (3,1)
[ ](3,1) (3,1 ( 10)
⋅ =
A ) ∴
第 1 頁
6 1
10 +A
∴A=4
= 3、( D ) 設x>0，y>0，則 1 4
(x 4 )(y ) x y
+ + 之最小值為 (A)8 (B)16 (C)17 (D)25 (E)289
解析： 1 4 2 2 1 2 2 2
4 )( ) [( ) (2 ) ][( ) ( ) ]
x y x y
x y (
x y
+ + = + +
柯西不等式 2 2 1 2 2 2 1 2 2
) (2 ) ][( ) ( ) ] ( 2 )
x y x y
[(
x y x y
+ + ≥ ⋅ + ⋅
1 4 2
(x 4 )(y ) (1 4) x y
+ + ≥ + ，即 1 4
(x+4 )(y )
x+ y 之最小值為25
4、( D ) 設P(x, y)在直線3x−4y− =5 0上，則 (x+3)2+(y+1)2 之最小值為 (A)0 (B)1 (C) 2 (D)2 (E)4
解析：取Q(-3,-1)，P x y( , )⇒PQ= (x+3)2+(y+1)2 (x+3)2+(y+1)2 之最小值 9 4 5
( , ) 2
d Q L − + −5
= = =
二、填充題 (每題 10 分)
1、設△ABC的三頂點為A(6,20), B(13,3), C(-4,-4)，則∠ =A ______。
答案：45°
解析：AB
K
=(7, 17)−, AC
K
= −( 10, 24)−, AB=13 2, AC=26
∴ 338 1
cos 26 13 2 2
| || |
AB AC A
AB AC
= ⋅ = =
×
K K K K
⇒ ∠ = °A 45第 2 頁 0
2、設直線L通過(-2,-3)且與
K
u =(1,2)垂直，則直線L的方程式為______。答案：x+2y+ =8
解析：直線L與
K
u =(1, 2)垂直⇒ 為直線L法向量 (1, 2)u =
K
設L x: +2y=k過(-2,-3) ∴x+2y+ =8 0
3、已知點A(2,5)及一直線 ，試求
(1)A到L的距離為_____，(2)A在L上的正射影為______，(3)A對於L的對稱點為______。 : 4 3 2 0
L x+ y+ =
答案：5; (-2,2); (-6,-1)
解析：(1) ( , ) | 8 15 2 | 5 d A L = + 5 + =
(2)A在L上的正射影為(2, 5) 5 ( , )4 3 ( 2, 2)
− ⋅ 5 5 = − (3)對稱點(2, 5) 2 5 ( , )4 3 ( 6, 1)
− × × 5 5 = − −
4、設
K
a =(2,-1), 且 與( 1, 1
b = x+ x−
K
)
K
a bK
之夾角為45°，則x=______或______。答案：2; 1
−2
解析： 2 2
3 cos 45 5 2 2
a b⋅ = + =⏐ ⏐⏐ ⏐x a b ° = x + × 2
K K K K
8x2−12x− =8 0, (2x+1)(x−2)=0, x=2或 1
−2
5、設 ， ，則
(1) 在 上的投影量為______，(2) (2, 6)
a = −
K
(1, 2) b =
K K
aK
bK
a對於
K
b的對稱向量為______。
答案：−2 5; (-6,-2)
解析： (1) 10 2 5 5
a b b
⋅ =− = −
⏐ ⏐
K K
K
(2)
2
(1, 2)
2( ) 2 ( 2 5) (2, 6) ( 6, 2)
5 a b b a
b
⋅ − = × − × − − = − −
⏐ ⏐
K K K K K
6、A(6,6), B(3,5)，在直線x+2y=8上任取一點P使PA2+PB2最小，則P點坐標為______。
答案：(3, )5 2
解析：x+2y=8，設P點參數式為 0 2 4
x t
y t
⎧ = +
⎨ = −
⎩
2 2 2 2 2
(2 6) ( 2 ) (2 3) ( 1 )
PA +PB = t− + − −t + t− + − −t 2
2 3 2 5
10 30 50 10( )
2 2
t t t
= − + = − + 5
∴ 3
t= 2時PA2+PB2最小，P點為(3, )5 2
7、直線L1: 3x+2y=5, L2:y=3 3x+3 3，則直線L1與L2的夾角為______，或______。
答案：60 ; ° 120°
解析： ( 3, 2) (3 3, 1) 7 1
cosθ = 7 28⋅ − =14= 2 ∴θ = 60°，兩線夾角為60°或120 °
8、設
K
a =(1,2), (2,1)，則( 2 ______，又b =
K K K
a+ b) (2⋅K K
a−b)=
K
a,
K
b之夾角為θ，則 cosθ =_____。
答案：12; 4 5
解析：(
K K
a+2b) (2⋅K K
a−b)=(5, 4) (0, 3) 1⋅ = ，2 cos 4 4
5 5 5 a b
a b
θ = ⋅ = =
⏐ ⏐⏐ ⏐
K K K K
9、過P(0, −1)且與直線L:3x+4y−12=0交成45º之直線方程式為____________________。
0 0
答案：x−7y− =7 或7x+ − =y 1
解析：設直線y=mx−1⇒mx− − =y 1 0，其斜率為m
∴ 2 2 2
3 4
cos45
1 3 4
m m
− = ° ⇒
+ ⋅ +
2 1
5 1
3 4
2 m− = m + ⋅
2 25 2
9 24 16 ( 1)
m − m+ = 2 m + ⇒ 7m2+48m− =7 0，∴ 1 m=7或−7
∴ 1 1
y= 7x− 或y 7x
第 3 頁
= − −1，即x−7y− =7 0或7x+ − =y 1 0。 10、設A(−2, 7), B(3, 4), L:4x−3y+12=0，若L交AB於P，求AP:BP
之比值_____________。
答案：
如圖AP:BP=d(A, L)：d(B, L)
2 2
8 21 12 4 ( 3)
− − +
= + − :
2 2
12 12 12 4 ( 3)
− + =
+ − 17 : 12 17
=12
11、設△ABC之三頂點為A(2, 0),B(4, 1)− ,C(6, 7)，試求△ABC之面積。
答案：AB
K
= − − − =(4 2, 1 0) (2, 1)− ,(6 2, 7 0) (4, 7) AC
K
= − − = 2 2 ( 1) ( 1) 5AB AB
K K
⋅ = × + − × − =,AC AC
K K
⋅ = × + × =4 4 7 7 652 4 ( 1) 7 1
，AB
K
AC⋅
K
= × + − × =， 故△ABC之面積 1 2 2 )2
| | | | (
2 AB AB AB AC
=
K K K K
−⋅ 1 5 65 12 1 324 9
2 2
= × − = =
當然△ABC之面積 1 2 1 1
| | |14 4 |
4 7
2 2
= − = + =9最快
第 4 頁
△ABC
12、設G為 之重心，且GA=2,GB= 2 ,GC= 3 (1)求GB GC
K K
⋅ (2)求cos∠BGC 面積。(3)求△ABC之 為△ABC 重心 ∴
答案：(1)∵G 之 ， GA GB GC
K K K
+ + =K
0∴GB GC
K K K
+ = −GA⇒ GB GC
K K
+ ⏐ =⏐− ⏐2 GAK
2∴GB
K K K K K
⏐ +2 2GB GC⋅ +⏐ ⏐ =⏐ ⏐GC2 GA22 2GB GC 3 4
⇒ +
K K
⋅ + =， 1
GB GC
K K
⋅ = −2 (2)∵GB GCK K K K
⋅ =⏐ ⏐⋅⏐ ⏐⋅GB GC cosθ，∴ 2⋅ 3 cos⋅ θ 1
= −2，∴ 1
cos θ = −2 6 (3) sinθ = 1 cos− 2θ= 1
1−24 = 23 24
∴△ABC= ⋅3 △GBC 1
3 sin
2⏐ ⏐⋅⏐ ⏐⋅GB
K K
GC= ⋅ θ 3 2
2 3
2 2
3
⋅ ⋅ ⋅ 4 = 3 23
= 4
