K K K K - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.11.29 班級

範

圍 CHAP2空間

座號

姓 名 一、填充題 (每題 10 分)

1、 平面E₁: 3x+ +y 2kz=5與平面E₂:kx−2y+kz=1互相垂直，則k =________或________。

答案：1 2; −2

解析：E₁ ⊥E₂, (3,1, 2 ) ( , 2, )k ⋅ k − k =0 ∴ 1 2 2 k = 或−

2、 設兩平行線 ₁ 1 3 ₂ 5 4

: , :

2 1 2 2 1 2

1

x y z x y z

L − − L − +

= = = =

− − −

+ ，則由直線L1與L2所決定的平面

方程式為________；又兩平行線間的距離為________。

答案：x+ =z 4; 4 3 2

解析：P(1,0,3)在L1上，Q(5,−4,−1)在L2上，

K

v =(2, 1, 2)− −

，PQ

K

=(4, 4, 4),− −

4 4 4 4 4 4

(4, 4, 4) (2, 1, 2) ( , , ) (4, 0, 4)

1 2 2 2 2 1

PQ v − − − −

× = − − × − − = =

− − − −

K K

;∴平面之方程式為 4(x 1) 0(y 0) 4(z 3) 0

⇒ − + − + − = x+ =z 4；

平行線間距離為

⇒ 4² 0² 4² 4

3 3 2

| v |

+ +

= =

K

.

3、 設x, y, z∈\，若2x−3y+ =z 3，則x²+(y−1)²+z²之最小值為________，又此時 ________。

y= 答案：18

7 ; 2

−7

解析： ^{2 2 2 2 2 2 2} 36 ^{2 2 2}

(2 3 3 ) [ ( 1) ][2 ( 3) 1 ] [ ( 1) ]

x− y+ +z ≤ x + y− +z + − + ⇒14≤ x + y− +z

∴x²+(y−1)²+z²最小值18 7 此時 1

2(2 ) 3( 3 1) 3

2 3 1

x y z

t t t t

= − = = ⇒ − − + + =

− ； 3

t= 7， 2 y= −7

4、 在空間坐標中，設x y平面為一鏡面，有一光線通過點P(1,2,1)，射向鏡面上的點 O(0,0,0)，經鏡面反射後通過點R。若OR=2PO則R點的坐標為________。

答案：(-2,-4,2)

解析：P對xy平面之對稱點為P′(1,2,-1)，∴OR

K K

=2P O′ ⇒ R( 2, 4− − , 2) 5、 設a, b, c均為正數，且a+2b+3c=2，則1 2 3

a+ +b c 之最小值為________，此時

a=________。

答案：18; 1 3 解析：

2 2 2 2 2 2

2

1 2 3 1 2

( 2 3 ) [( ) ( 2 ) ( 3 ) ][( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

(1 2 3) [ 2 3 ][ ] 36 2[ ]

a b c a b c

a b c a b

a b c

a b c a b c

⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ + + + +

⇒ + + ≤ + + + + ⇒ ≤ + +

3 2

c ]

∴ 1 2 3

( )

a+ +b c ≥18，最小值為18 此時 2 3

1 2 3

a b c

t

a b c

= = = ，∴a= = =b c t，又a+2b+3c=2 ， ∴ 1 a=3

6、 設

K

a⏐= ⏐ ⏐=2, 1,

K

b

K K

a b⋅ = − 3

，則

K

a 與

K

b

之夾角為______；又

；又 (3

K K K K

a−b) (⋅ a+2 )b =____

2 a+ b⏐=

K K

________。

答案：150°; 10 5 3− ; 6− 2

解析： 3

cos 2 1

a b a b θ = ^⋅ = ⁻

⏐ ⏐⏐ ⏐ ⋅

K K

K K

^{，∴θ =150°}

2 2

(3

K K K K

a−b) (⋅ a+2 )b = ⏐ ⏐ +3

K

a 5

K K K

a b⋅ − ⏐ ⏐ =2b 12 5 3− − =2 10 5 3−

2 2 2

2 4 4 8 4 3

a+ b⏐ =⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ +a b a b = −

K K K K KK

⇒

K K

a+2b⏐= 8 4 3− = 8 2 12− = 6− 2 7、 設A(-2,1,4), B(4,3,2)，則AB的垂直平分面方程式為_________。

答案：3x+ − =y z 2

解析：AB之中點(1,2,3)，AB

K

=(6, 2, 2) / /− nK⇒6(x− +1) 2(y− −2) 2(z− =3) 0

∴平面為：3x+ − =y z 2

8、 空間中二直線 _{1 2} 1

: 1 2 , : 1 8

2 2

x x

L y z L − y z

= − = − = + = −

(1) 則L L₁, ₂的最短距離 =______。(2) 包含直線L₁和L₂的平面方程式為______。

答案：(1) 35 (2) 4x−13y−5z+23=0 解析：參閱2

9、 設平面E上有兩點A(2,−3,1), B(4,1,2)且平面E與平面F: 7x− +y 2z=5垂直，則平面E 的方程式為________。

答案：3x+ −y 10z= −7

解析：AB

K

=

(2, 4,1)，n

K

_F =(7, 1, 2)−

平面E法向量AB n

K K

× _F =(2, 4,1)×(7, 1, 2)

− = (3,1, 10)− ；

∴平面E:3x+ −y 10z= −7

10、由A(3,1,1)對平面E的投影點為H(1,2,1)，則平面E的方程式為________。

答案：2x− =y 0

解析：法向量HA

K

=(2,−1,0) ∴平面E為2(

1) ( 2) 0 2 0

x− − y− = ⇒ x− =y

11、設空間中有一平面E:2x− +y 3z=7，及兩點A(1,3,2),B( 2,1, 5)− ，若直線AB交平面E 於C，則AC BC: =________。

答案：2 : 3

解析： : ( , ) : ( , ) ^{2 3 6 7} : ^{4 1 15 7} 2 : 3

14 14

AC BC d A E d B E − + − − − + −

= = =

12、在第一卦限內有一點P，P到x軸，y軸及yz平面之距離分別為3 5, 2 10, 2，則P 點坐標為_______。

答案：(2,3,6)

解析：設P a b c( , , ) 且a＞0, b＞0, c＞0

∴ b²+c² =3 5, 2 10a²+c² = ，a =2，

∴a=2,，c=6, b=3⇒P(2,3,6)

13、設平面E: 2x− +y 2z=3，若平面F與平面E平行，且與平面E之距離為2，則平面F 之方程式為________或________。

答案：2x− +y 2z=9; 2x− +y 2z= −3

解析：設平面F：2x− +y 2z=k； ( , ) ³ 2 9 d E F −k

= = ∴k− =3 6, k =9

或

−3 即方程式為2x− +y 2z=9, 2x− +y 2z= −3

14、設 : , : ，求

(1)若 ⊥ 時，則 ______。(2)若 與 之夾角為60º時，求 ______。

E1 x+ky+ −z 12=0 E₂ x+ +y kz=5

E1 E₂ k = E₁ E₂ k =

答案：(1) 1

−2 (2) 0或4或−2

解析：(1) E₁⊥E₂ ⇒ n n

K K

₁⋅ ₂ =(1, ,1) (1,1, ) 1k ⋅ k = + + =k k 0

⇒k = 1

−2 (2) cos60º 1

= =2

2 2

1

1 1 1 1

k k

k k

+ +

+ + ⋅ + + ⇒k²+ = ±2 2(1 2+ k)

∴k²−4k =0或k²+4k+ =4 0，∴k=0或4或−2。

15、設平面E，包含直線 3 1

: 2 2 3

x y z

L + = − =

− 並且垂直平面F x: −2y+ =z 5，則平面E之方 程式為_________。

答案：4x+ −y 2z+ =11 0

解析：

K

v =(2, 2, 3),−

K

n =(1, 2,1)−

(2, 2, 3) (1, 2,1) (4,1, 2)

v × n = − × − = −

K K

∴平面E之方程式為4(x+ +3) (y− −1) 2(z− = ⇒0) 0 4x+ −y 2z+ =11 0

16、設直線L過A(1,−5,−2), B(−2,−5,−3)兩點，若點P(3,3,2)，則AP

K

在AB

K

上之正射影為 ________，P對直線L之投影點為_________；P對直線L之對稱點為________。

答案：(3,0,1); (4,-5,-1); (5,−13,−4)

解析：HJJGAB x: = +1 3 , t y= −5, z= − +2 t P, (3, 3, 2 )

2

(2,8, 4), ( 3, 0, 1) ( ) ( 10) (3, 0,1) 10

AP AB

AP AB AB AB

AB

⋅ −

= = − − ⇒ ⋅ = =

⏐ ⏐

K K K K K K

K

∴設AD

K

=(3, 0,1)，則D為P對 之投影點(

L 1, 5, 2, ) (3, 0,1)− − + =(4, 5, 1)− − ⇒D(4,−5,−1) P對L之對稱點為P′，則PP′

K

之中點為D，∴P′(5,−13,−4)

17、設

K

a =(2, 5, 4), (2, 2,1)−

K

b = − ，當

a t b+ ⏐

K K

最小時，t=________；又其最小值為________。 答案：−2; 3

解析：若

K K

a t b+ ⏐

最小時，(

K K K

a t b+ )⋅ =b 0 18

9t 0

+ = ∴t = −2 其

K K

a t b+ ⏐

之最小值為(2, 5, 4) 2(2, 2,1)− − − =3

18、若L為 2x+3y−2z+ =5 0 和5x−2y+ =z 0兩平面的交線 (1) 求P(7, 6, 9) 到L的最短距離=______。

(2) 求過P(7, 6, 9)而與L垂直的直線為______。

答案：(1) 51 (2) 10

7 5 1

x z

y −

= − =

− 解析： (1) 2 3 2 5 0

, 5 12 , 10 19 ; (1,12,19)

5 2 0

x y z

x t y t z t v

x y z + − + =

⎧ ⇒ = = + = + =

⎨ − + =

⎩

K

設P在L上的投影點H(t, 5 12 ,10 19+ t + t⇒PH

K

= −(t 7,12t−1,19t+1) ) PH v

K K

⋅ = ⇒ ⋅ − + ⋅0 1 (t 7) 12 (12t− +1) 19(19t+ =1) 0,

0 (0, 5,10) t= ⇒H

P(7, 6, 9) 到L的最短距離=d P L( , )=PH = (0 7)− ²+ −(5 6)²+(10 9)− ² = 51

(2) PH

K

= − −( 7, 1,1)⇒ ₁₀

7 5 1

x z

y −

= − =

−

19、設平面E與平面x−2y+5z=2及2x−3y+ =z 3相交於一直線，又點A(−4,1,2)在平面E 上，則平面E的方程式為________。

答案：8x−15y+31z−15=0

解析：設平面E為k x( −2y+5z− +2) (2x−3y+ − =z 3) 0

A(−4,1,2)在平面E上⇒2k−12=0，k =6，∴平面E為8x−15y+31z−15=0 20、過A(3,−2,−2), B(−1,0,−2)兩點的直線L與平面E: 2x− −y 2z=7之交點為________，又

直線L與平面E之銳夾角為θ ，則cosθ =_______。 答案：(1,−1,−2); 2

3

解析：HJJGAB x: = − +1 4 , 2 , 2t y= − t z= − 2(4t− − −1) ( 2 ) 2( 2)t − − =7 ∴ 1

t= 2 ∴交點為(1,−1,−2) (2, 1, 2) (2, 1, 0) 5

cosα = ^{− − ⋅}3 5 ⁻ = 3

× ∴ 2

cos sin θ = α = 3

21、兩平行線 ₁ 1 3 2 ₂ 3 1

: , :

1 3 2 1 3 2

x y z x y z

L − − + L + − −

= = = =

− −

6，點P(1,3,−2)在直線L1上，對直 線L₂之投影點為________；又兩平行線之距離為________。

答案：(−2,−2,4), 70

解析：L₂:x= − −t 3, y= +3t 1, z=2t+6，P(1,3,-2) (− −t 4, 3t−2, 2t+ ⋅ −8) ( 1, 3, 2)=0 , t= −1

∴投影點為(−2,−2,4) d L L( ,_{1 2})= 70

22、正四面體ABCD的三頂點為A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)，求D的坐標為____________。 答案：D( 1

−3, 1

−3, 1

−3)或D(1, 1, 1) 解析：令D(a, b, c)，∴AD=BD=CD=AB

∴(a−1)²+b²+c²=a²+ −(b 1)²+c²=a²+b²+ −(c 1)² =2

∴ 0

2 2 2

( 1) 2

a b b c

a b c

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ + − + =

⎩

⇒3a²−2a− =1 , a 1

= −3或1，D( 1

−3, 1

−3, 1

−3)或D(1, 1, 1)。

23、設直線 ₁ 2 1 1 3

: 4 1 1

x y z

L + = − = + ，直線 ₂ 2

: 1 4 2

1

x y z

L − = = +

− ，則直線L₁與直線L₂之交點為

________，又由直線L1與直線L2所決定的平面方程式為________。

答案： 3 ( , 2, 2)

2 − ; 6x−7y−17z=29

解析： ₂ 2(2 ) 1 4 1 1

: 2 , 4 , 1 2 ,

4 1

t t

L x t y t z t t

2 + + − −

= + = − = − + ⇒ = = − ⇒交點為 3

( , 2, 2)

2 −

(4,1,1) (1, 4, 2)× − =(6, 7, 17)− − ，∴平面方程式為6x−7y−17z=29

24、設A(3,1,4)，直線 1 1

: 4 3 2

x y z

L − +

= =

− ，則由點A與直線L所決定之平面方程式為________。 答案：8x+6y−7z=2

解析：B(1,−1,0)在L上，又A(3,1,4)，故AB

K

=(2, 2, 4)

(2, 2, 4) (4, 3, 2) (16,12, 14)

⇒ × − = − ，

平面方程式為16(x− +3) 12(y− −1) 14(z− = ⇒4) 0 8x+6y−7z=2

25、若空間中有三點A(3,1,0), B(1,5,2), C(5,2,1)，則平面ABC的方程式為________，又△ABC 的面積為________，若點D(1,0,a)落在平面ABC上，則a=________。

答案：x+3y−5z=6 ; 35 ; −1

解析：AB

K

= −( 2, 4, 2), (2,1,1), AC

K

= AB AC

K K

× =(2, 6, 10)−

∴平面ABC為x+3y−5z=6, 2 1

cosθ = 2 6 6 =6，∴ 35 sinθ = 6

∴△ABC面積 1 35

2 6 6 35

2 6

= × × × = 1 5− a=6 ∴a= −1

26、設點A(3,1,−1)，平面E: ，則A在平面E上之投影點為________，對稱點

為________。

2

x− y+ =z 4 答案： 11 1 1

( , , )

3 3 3

− − ; 13 5 1 ( , , )

3 3 3

−

解析：投影點 ( 4) (1, 2,1) 11 1 1

(3,1, 1) ( , , )

3 3 3

6 6

− − − −

− − =

對稱點 ( 4) (1, 2,1) 13 5 1

(3,1, 1) 2 ( , , )

3 3 3

6 6

− −

− − × × = −

27、設P(3, 1, 4), Q(1, 0, 2), R(−1, 2, 3)，求PR

K

在PQ

K

上之投影量為______；又正射影為 __________。

答案：3 ; ( 2, 1, 2)− − − 解析：PR

K

= −( 4,1, 1)− ,

( 2, 1, 2) PQ

K

= − − −

∴投影量=⏐ ⏐⋅PR

K

cos

θ 9

18

18 9

= ×

⋅ =3 正射影

2

(PR PQ) PQ PQ

= ⋅ ⋅ =

⏐ ⏐

K K K

K

⁹ ( 2, 1, 2)

9⋅ − − − = − − −( 2, 1, 2)。

28、設

K

x =(k−2, 3,1),

K

y =(6, 2k+1, 3 ，若 )

K K

x// y

，則k =_________，若

K K

x ⊥ y

，則

k =_________。

答案：4; 1 2 解析：

//

x y

K K

∴ 2 3 1

, 4

6 2 1 3

k k

k

− = = =

+ x ⊥ y

K K

∴ 1

0, 6 12 6 3 3 0, x y⋅ = k− + k+ + = k= 2

K K

29、如圖所示設一正立方體的中心為O，而A B, 為此正立方體同一面上的兩個對頂點，則

cos∠AOB=______。(以最簡分數表示) 答案： 1

−3

解析：設一坐標系，並令正立方體之稜長為2，

取P=(0, 0, 0), A=(0, 0, 2), (2, 2, 2)

B=

如 ，則圖 O=(1,1,1)⇒OA

K

=( 1− −, 1,1) , (1,1,1)

OB

K

=

，

1 1 1 1

cos 3 3 3

OA OB AOB

OA OB

⋅ − − +

∠ = = = −

⏐ ⏐⏐ ⏐ ×

K K K K

0 0

30、設兩平面x−5y+2z+ =11 與4x+ +y 2z−13= 之交線為 1 7 x a y b z

m

− = − = −

A ，則

數對( , )a b =________，數對( , )A m =________。

答案：(2,3); ( 4, 2)−

解析：(1, 5, 2) (4,1, 2)− × = −( 12, 6, 21)；∴ 7

12 6 21

l =m =

− ∴A= −4, 2, 1m= z=

∴x−5y+13=0, 4x+ − =y 11 0 ∴x=2, 3y= ∴( , )a b =(2, 3), ( , )A m = −( 4, 2)

31、設直線 2 3 5則直線L的方向比為________。(以簡單整數比做答)

: 2 1

x y z

L x y z

− − =

⎧⎨ + − =

⎩ 答案：1：−1：1

解析：(1, 2, 3) (2,1, 1)− − × − =(5, 5,5)− ∴直線L的方向比為1: (−1):1

32、設直線L過A(−1,1,2), B(3,−1,8)兩點，若點P(3,−2,3)，則P在L之垂足為_________；

又P到直線L之距離為________。

答案：(1,0,5); 2 3 解析：

: 1 2 , 1 , 2 3 , (3, 2, AB x= − + t y= −t z= + t P − HJJG

3)，設垂足為H( 1 2 ,1− + t −t, 2 3 )+ t

，

∴ (2 4, 3, 3 1)

HP

K

= t− − +t t−

(2, 1, 3) vL = −

K

(2t− − +4, t 3, 3t− ⋅1) (2, 1, 3)− =0 t=1，垂足H(1,0,5),

2 2 2

( , ) 2 2 2 2 3

d P L = + + =

33、設L₁: 2 1

x− 1

1 y−

= =

−

1 4 z−

, L₂: 5 4

x− 3

1 y−

= =

3 z ，則

(1)L₁與L₂的交點坐標為___________。(2)包含L₁與L₂之平面方程式為_____________。 答案：(1) P(1, 2,−3) (2) − +7x 13y+5z=4

解析：

(1)交點P(2+t,1−t,1 4 )+ t ，代入L₂， 3 4

t− 2

1

− −t

= =1+4 3

t ⇒t = −1，交點P(1, 2,−3)。

(2)設

K

n = × v1

K

v

K

2 _{1 4}

( 1 3

= − , 4 1

3 4 ,1 1

4 1

− )= −( 7,13, 5 )

∴E: 7(− x− +1) 13(y− +2) 5(z− = ⇒3) 0 − +7x 13y+5z=4

34、設OA

K

=(2, 6, 2), (1, 1,1)OB

K

= −

，若OC

K

平分∠AOB且OC

K K K

=OB t OA+

，則t=________。 答案：1

2

解析：∵OA

K

⏐=2 3, 3⏐ ⏐=OB

K

，又OC

K K K

=OB t OA+ 當|OB

K K

|=|t OA 時，OC平分

|

K

∠AOB⇒ 1 t=2

35、設A(2,5,1)在平面E上，且平面E與二平面3x−y+5z=7, x− +y 2z=11 0

均垂直，則平 面E的方程式為________。

答案：3x− −y 2z+ =1 解析：

平面E法向量(3, 1,5) (1, 1, 2)− × − =(3, 1, 2)− − 3(x− −2) (y− −5) 2(z− = ⇒1) 0 3x− −y 2z+ =1 0

36、設P點坐標(-3,1,4)，則P到xz平面之距離為_______，P到y軸之距離為_______。

答案：1; 5

解析：P點到xz平面之距離為1，P點到y軸之距離為 ( 3)− ²+4² =5

37、若直線 2 3

: 2 1 3

x y z

L + = − = 在平面E:x+ay−2z=b上，則a=________, b=________。

答案：4; 10 解析：

2 3

2 1 3

x y z

+ = − = =t ∴x= − +2 2t, y= +3 t, z=3t

∴( 4 無限多解

∴ ,

( 2 2 )− + t +a(3+ −t) 2(3 )t =b

) 2 3

a− t= + −b a 4 0

a− = b+ −2 3a=0⇒a=4,b=10

38、設平面E與平面2x−2y+ =z 9平行且與三坐標軸之截距和為12，則平面E的方程式為 ________。

答案：2x−2y+ =z 12

解析：設平面E: 2x−2y+ =z 2k，三軸截距分別為 k,−k, 2k

∴k+ − +( k) 2k =12⇒ k=6 ∴平面E: 2x−2y+ =z 12

39、設 為平面θ x−2y+ =z 7與kx− −y 2z=11的夾角，若 5 3

sinθ = 9 ，則k =_____或______。 答案：±2

解析： 2

(1, 2,1) ( , 1, 2) 6

cos , 2

6 5 9

k k

k

θ = ^{− ⋅ − −} = ±

+ = ±