年班座號姓名

(1)

數學 B( 高版 )

年班座號姓名

總分

一、單選題 (25題每題0分共0分)

（　　　）1.某拳擊比賽，規定每位選手必須和其他所有選手各比賽一場，如果賽程共有105場，則選手共有　(A)12人 (B)14人　(C)15人　(D)16人

　解答　 C

解析設選手共有n個人，因每兩個選手均須比賽一場，所以賽

程共有C²ⁿ場，

亦即C²ⁿ105，則

( 1) 2 1 105 n n

  ，

整理得n²  n  210  0，

因式分解得(n  15)(n + 14)  0，故n  15或n   14，

但n為正整數，因此，n  15

（　　　）2.設大禮堂共有10個門，老張由不同的門進出禮堂，共有方法　(A)100種　(B)90種　(C)20種　(D)19種　解答　 B

解析進有10種方法，出有9種方法，

由乘法原理知：共有10  9  90種方法

（　　　）3.10件相同的東西，任意分給甲、乙、丙、丁四人，則每人至少得1件的分法有　(A)48種　(B)60種　(C)84 種　(D)96種

　解答　 C 解析

4 4 9 9

10 4 6 6 3

9 8 7 3 2 1 84 H _ H C C    

 

（　　　）4.將(a + b)  (m + n + p)  (x + y + z)展開，共可得多少個不同的項？　(A)18　(B)12　(C)10　(D)8

　解答　 A

解析由乘法原理知：共可得2  3  3  18個不同的項

（　　　）5.某次考試由13題選做10題，但規定前5題中至少選做3題，則共有多少種選做方法？　(A)80　(B)220　 (C)252　(D)276

　解答　 D

解析 C⁵³C⁸⁷+C⁵⁴C⁸⁶+C⁵⁵C⁸⁵  + 10 8 5 28 1 56 276+   種

（　　　）6.7本不同的書排放在書架上，其中A、B二本必相鄰的排法有　(A)720種　(B)1440種　(C)2520種　(D)5040 種

　解答　 B

解析 6!  2!  1440

（　　　）7.5個桃子、4個梨子任意分給兩位兒童，若每位兒童至少得到桃子或梨子1個，則共有多少種給法？　(A)28 (B)30　(C)58　(D)60

　解答　 A

解析 H²⁵H²⁴ 2 C⁶⁵C⁵⁴ 2 28

（即任意給法，減去其中1人均未分得的方法）

（　　　）8.用0、1、2、3、4、5排成三位數，數字不可重複使用，

其中5的倍數有　(A)52個　(B)48個　(C)40個　 (D)36個

　解答　 D

解析個位數為0的情形：

個位數為5的情形：

所以5的倍數有5  4 + 4  4  36個

（　　　）9.設m ³ 5，若C⁶²⁰C²⁰_m₊²0，則C⁵^m　(A)504　 (B)720　(C)792　(D)840

　解答　 C

解析因為C²⁰⁶ C²⁰_m₊²0，又m ³ 5，

則6 + (m + 2)  20，即m  12，

所以

12

5 5

12 11 10 9 8 5 4 3 2 1 792 CmC      

   

（　　　）10.方程式x + y + z + u  13的非負整數解有a組，又正整數解有b組，則(a,b)  　(A)(560,220)　(B)(540,210) (C)(462,216)　(D)(432,186)

　解答　 A

解析非負整數解有

4 16 16

13 13 3

16 15 14 3 2 1 560

H C C  

   

  組，

正整數解有

4 4 12 12

13 4 9 9 3

12 11 10 3 2 1 220

H _ H C C  

    

  組，

即a  560，b  220 所以(a,b)  (560,220)

（　　　）11.(x + y)ⁿ展開式中，第5項與第20項係數相等，則n  (A)22　(B)23　(C)24　(D)25

　解答　 B

解析第5項係數為C⁴ⁿ、第20項係數為C¹⁹ⁿ ，已知第5項係數

和第20項係數相等，故C⁴ⁿC¹⁹ⁿ 因此n  4 + 19  23

（　　　）12.將1張100元鈔票兌換成50元、10元及5元的硬幣，

共有多少種兌換方法？　(A)15　(B)16　(C)18　(D)20 　解答　 C

解析設兌換成50元硬幣x個、10元硬幣y個、5元硬幣z個，

依題意得50x + 10y + 5z  100（其中x、y、z為非負整

數），

化簡得10x + 2y + z  20，

當x  0時：2y + z  20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 y

z 有11組解，

當x  1時：2y + z  10 0 1 2 3 4 5 10 8 6 4 2 0 y

z 有6組解，

當x  2時：2y + z  0，即y  z  0有1組解，

由加法原理知：共有11 + 6 + 1  18種兌換方法

（　　　）13.若有相同的玩具8個分裝於3個相同的箱子，每箱至少1個，則共有多少種裝法？　(A)5　(B)6　(C)7　 (D)8

　解答　 A

解析 8  1 + 1 + 6  1 + 2 + 5  1 + 3 + 4  2 + 2 + 4  2 + 3 + 3，

相同的8個玩具分裝於3個相同的箱子，每箱至少1個，

其裝法有{1,1,6}、{1,2,5}、{1,3,4}、{2,2,4}、{2,3,3}共 5種

（　　　）14.一家族7人分乘二部車，每部車限乘5人，則乘車方法有　(A)108種　(B)112種　(C)114種　(D)120種　解答　 B

解析乘車方法共有

7 5 7 4 7 3 7 2

2 5 3 4 4 3 5 2 21 35 35 21 112 C C +C C +C C +C C  + + +  種

2 5

3 4

4 3

5 2

第一部車第二部車

人人

（　　　）15.若6對夫婦排成一列，且每對夫婦必須相鄰，則共有幾種不同的排法？　(A)2  6!　(B)(3!)²  2⁶　(C)2  (3!)²  2⁶　(D)2⁶  6!

　解答　 D

解析每對夫婦必須相鄰，故視為一個單位，6對夫婦視為6個

單位，其排列數為6!，

又每對夫婦互換位置，方法有2種，6對夫婦共有2  2

 2  2  2  2  2⁶種，

(2)

故所求排法共有2⁶  6!種

（　　　）16.

12 2

(x 1 )

x

展開整理後，x⁶項的係數為　(A)220　(B)

 220　(C)66　(D)  66 　解答　 C

解析

12 2

(x 1)

x

展開式的一般項為

12 12 12 12 3

2

( 1 ) ( 1)

r r r r

r r

C x C x

x

    

，因所求為x⁶項係數，

故得12  3r  6，即r  2，則x⁶項係數為

12 2

2

12 11

( 1) 66

C   2 1 



（　　　）17.5男3女圍一圓桌而坐，女生全部相鄰的坐法有　 (A)720種　(B)840種　(C)1440種　(D)2160種　解答　 A

解析女生全部相鄰，視3女為一單位，

與5男共6個單位的環狀排列數為

6! 5! 120 6  

，又3女互換位置的排列數為3!  6，

故所求坐法共有120  6  720種

（　　　）18.大小相同的跳棋，紅色棋子4個、黃色棋子3個、白色棋子5個，今由其中任意取之，但規定每次至少取一個，則取法共有　(A)120種　(B)119種　(C)60種　 (D)59種

　解答　 B

解析利用n件不盡相異物組合總數公式：

取法共有(4 + 1)(3 + 1)(5 + 1)  1  119種

（　　　）19.一元硬幣3枚、五元硬幣2枚，分給7個兒童，每人至多得1枚，方法有　(A)210種　(B)360種　(C)420 種　(D)480種

　解答　 A

解析所有分給的方法

相當於3個「一元」、2個「五元」及2個「0」的直線排列數，

即

7! 210 3!2!2!

種

（　　　）20.設a > 0，若

6

(a2 3 ) x  x

展開後常數項為270，則a  (A) 6　(B) 5　(C) 3　(D) 2

　解答　 D 解析

6

(a2 3 ) x  x

展開後一般項為

6 6 6 6 3 12

( 2) (^r 3 )^r ^r( 3)^r ^r

r r

C a x C a x

x

     

，令3r  12  0，即r  4，

因此常數項為C a⁶⁴ ²( 3)⁴270，故得15  a²  9  270，

但a > 0，所以a 2

（　　　）21.

1 2

0 7 72 7

n

n n

n

C

C C

C + + + +

的值為　(A) ( )8

7

n

　(B) 8 1

( )7

n

(C)

( )8 1 7

n

　(D)

( )8 1 7

n+

　解答　 A

解析利用二項式定理

1 2 2

0 1 2

(x y+ )ⁿC xⁿ ⁿ+C x y C xⁿ ⁿ^ + ⁿ ⁿ^ y + + C xⁿ_r ^{n r}^ y^r+ +，C yⁿ_n ⁿ

以x  1，

1 y7

代入得

1 2

0 2

( )8

7 7 7 7

n

n n

n n n

n

C C C

C + + + +

（　　　）22.5男4女排成一列，男女相間的排法有　(A)5760種 (B)2880種　(C)1440種　(D)1080種

　解答　 B 解析

所求排法共有5!  4!  2880種

（　　　）23.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，若甲不排首且乙不排末，則排法有　(A)96種　(B)84種　(C)78種　 (D)72種

　解答　 C

解析（所求排法）

（任意排法）（甲排首）（乙排末）+（甲排首且乙排末）

 5!  4!  4! + 3!  78種

（　　　）24.用0、1、2、3、5五個數字，數字可以重複使用，排成不同的四位數，其中偶數有　(A)120個　(B)180個 (C)200個　(D)250個

　解答　 C 解析

因為首位數不得排0，個位數只能排0、2，

所以偶數有4  5  5  2  200個

（　　　）25.5件不同的獎品任意分給甲、乙、丙、丁四個人，其中甲至少分得1件的方法有　(A)1024種　(B)781種　 (C)630種　(D)243種

　解答　 B

解析（甲至少分得1件的方法）

（任意給法）（甲均未分得的方法）

 4⁵  3⁵  781種

二、計算題 (159小題每小題0分共0分) 1.試求下列各值：

(1)C⁶³ (2)C⁹⁴ (3)C²ⁿ 　解答　 (1)20;(2)126;(3)

( 1) 2 n n

解析 (1)

6 3

6! 6! 6 5 4

3!(6 3)! 3!3! 3 2 1 20

C  

   

   。

(2)

9 4

9! 9! 9 8 7 6 4!(9 4)! 4!5! 4 3 2 1 126

C       

    。

(3) ²

! ( 1) ( 2)! ( 1)

2!( 2)! 2!( 2)! 2

n n n n n n n

C n n

    

  

  。

2.福利社冷飲部有巧克力、香草及草莓3種口味的冰淇淋，且每種口味至少都有5個，試問買5個冰淇淋，有多少種買法？

　解答　 21種

解析由題意知：

所有可能的買法有H³⁵種，但H³⁵到底是多少呢？

考慮將所買各種口味的冰淇淋分置三區，並以分割線

「∣」隔開，

第一區放置巧克力口味，第二區放置香草口味，第三區放置草莓口味，

並以「」個數之多少，表示冰淇淋的個數。

例如：

「巧克力口味2個，香草口味1個，草莓口味2個」

可表示為「 ∣ ∣ 」

可表示為「 ∣∣ 」

可表示為「 ∣ ∣」

上面的幾種方法，都是由5個「」及2個「∣」組成的排列

而每種排列方式對應1種買法，

由1-2.2節中的不盡相異物之排列公式知：

5個「」及2個「∣」的排列數為 7!

5!2!，而

7!

5!2!恰好等於C⁷⁵，

所以3種口味的冰淇淋，任意選買5個的方法有

(3)

3 7

5 5

7! 21 H C 5!2!

種。

3.寫出(x + y)⁵的展開式。

　解答　 x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵ 解析 (x + y)⁵ 

5 5 5

0

r r r r

C x^ y





C x⁵⁰ ⁵+C x y C x y⁵¹ ⁴ + ⁵² ^{3 2}+C x y⁵³ ^{2 3}+C xy⁵⁴ ⁴+C y⁵⁵ ⁵  x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵。

4.用1、2、3、4、5五個數字，數字不可重複使用，共可組成多少

個不同的五位數？

　解答　 120個

解析此問題即為從五個不同的事物中，全取排成一列的排列數，

其排列數為P⁵⁵      5! 5 4 3 2 1 120，所以，共可組成120個不同的五位數。

5.下圖為每邊邊長都是1單位的道路分布圖，鈞昊由A點出發走4 單位長到達H點，試利用樹狀圖描述所有可能的路徑。

　解答　見解析

解析由樹狀圖中得知，從A點走4單位長到達H點的所有路徑

如下：

A→D→E→G→H，

A→D→E→F→H，

A→B→E→G→H，

A→B→E→F→H，

A→B→C→F→H。

6.四對情侶手拉手圍成一個圓圈，有多少種不同的排法？

　解答　 5040種

解析四對情侶共有8人，由公式知：

其環狀排列數為

8! 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 8         

，故所求排法有5040種。

7.某圖書公司出版5種數學參考書，每種皆至少有8本，張老師欲

選購8本當獎品，有幾種選購方法？

　解答　 495種

解析此題相當於自5類不同的事物中選取8件的重複組合，

其重複組合數為

5 5 8 1 12

8 8 8

12! 12 11 10 9 8!4! 4 3 2 1 495

H C ^{+ } C   

    

   ，

所以，張老師有495種選購方法。

8.某建材行有大理石地磚6種款式、木質地磚2種款式、塑膠地磚4 種款式，某甲欲選購一種鋪在他的客廳，方法有多少種？

　解答　 12種

解析依題意知選購方法有3個途徑：

第1個途徑：選購大理石地磚，方法有6種，

第2個途徑：選購木質地磚，方法有2種，

第3個途徑：選購塑膠地磚，方法有4種，

由加法原理知：

共有6 + 2 + 4  12種選購方法。

9.試求(3x  y)⁴的展開式。

　解答　 81x⁴  108x³y + 54x²y²  12xy³ + y⁴

解析先把3x及  y分別各看成一個項，即

(3x  y)⁴  [3x + (  y)]⁴ 

4 4 4

0

(3 ) (^r )^r

r r

C x ^ y







4 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4

0(3 ) 1(3 ) ( ) 2(3 ) ( ) 3(3 )( ) 4( )

C x C x y C x y C x y C y

 +  +  +  + 

 1(81x⁴) + 4(27x³)(  y) + 6(9x²)y² + 4(3x)(  y³) + 1(y⁴)  81x⁴  108x³y + 54x²y²  12xy³ + y⁴。

10.平面上相異8個點，其中無三點共線，以這些點為頂點，可作成幾個不同的三角形？又可決定幾條直線？

　解答　 56個，28條

解析在平面上，不共線三點可決定一個三角形，又A、B、C

三點所決定的△ABC與△ACB是同一個三角形，沒有次序可言，所以這是組合的問題。

由組合公式知：

共可作成

8 3

8! 8 7 6 3!5! 3 2 1 56 C     

  個三角形，

又任二相異點可決定一直線，

故可決定

8 2

8! 8 7 2!6! 2 1 28

C 

  

 條直線。

11.甲、乙、丙、…等七人排成一列，規定甲、乙、丙必須排前三位，問排法有多少種？

　解答　 144種

解析前三位排甲、乙、丙三人，方法有P³³    3! 3 2 1 6種，

其餘四人，排剩下四個位置，方法有

4

4 4! 4 3 2 1 24 P       種，

由乘法原理知：所求排法共有6  24  144種。

12.從7個人中選出5個人圍圓桌而坐，方法有多少種？

　解答　 504種

解析從7個人中選出5個人的直線排列數為P⁷⁵，又每次選定的5個人作環狀排列時，

有5種直線排列形成同一種環狀排列，

因此所求坐法共有

7

5 7 6 5 4 3 5 5 504

P      

種。

13.(1)滿足3x + y  10的正整數x、y有多少組？

(2)滿足3x + y £ 10的正整數x、y有多少組？

(4)

　解答　 (1)3組;(2)12組

解析 (1)當x  1時：3  1 + y  10，得y  7。

當x  2時：3  2 + y  10，得y  4。

當x  3時：3  3 + y  10，得y  1。

所以滿足條件的正整數x、y共有3組。

(2)當x  1時：y £ 7，得y  1、2、3、4、5、6、7，有

7組解。

當x  2時：y £ 4，得y  1、2、3、4，有4組解。

當x  3時：y £ 1，得y  1，有1組解。

由加法原理知：

滿足條件的正整數x、y共有7 + 4 + 1  12組。

14.某次數學抽考，由10題中任意選做6題，共有多少種選做方法？

若規定前2題必須做答，則有多少種選做方法？

　解答　 210種，70種

解析因為試題選做的方法與次序無關，由10題選做6題的方

法就是10中取6的組合數，即

10 6

10! 10 9 8 7 6!4! 4 3 2 1 210

C   

  

   。

又規定前2題必須做答，相當於後面8題選做4題，即

8 4

8! 8 7 6 5 4!4! 4 3 2 1 70 C      

   。

所以，10題任意選做6題的方法有210種，

前2題必須做答的選做方法有70種。

15.試求下列各值：

(1)P¹⁰⁴ (2)P⁸³+P⁶⁶

　解答　 (1)5040;(2)1056

解析 (1)P¹⁰⁴     10 9 8 7 5040。 (2)

8 6

3 6 8 7 6 6! 336 (6 5 4 3 2 1) 336 720 1056 P +P    +  +       + 

。

16.甲、乙、丙、…等9個人圍圓桌而坐，若規定甲、乙、丙3個人

均不得相鄰而坐，則方法有多少種？

　解答　 14400種

解析除甲、乙、丙3個人外，剩下6個人先作環狀排列，其排

列數為

6! 5! 120 6  

，

又在每種環狀排列中，選3個間隔位置「╳」排甲、乙、

丙3個人，則甲、乙、丙3個人均不相鄰，其排列數為

6

3 6 5 4 120 P     ，

由乘法原理知：所求方法共有120  120  14400種。

17.同時擲4顆相同的骰子（骰子為正六面體，分別刻上

1、2、3、4、5、6點），則4顆骰子所出現點數的各種可能情形

有多少種？

　解答　 126種

解析因4顆骰子相同，故投擲時沒有次序可言，屬於組合問題，

所以出現點數的各種可能情形，相當於自6類不同的點數中任取4個點數（可重複）的組合數，即

6 6 4 1 9

4 4 4

9! 9 8 7 6 4!5! 4 3 2 1 126 H C ^{+ } C      

   ，

所以，4顆骰子出現點數的各種可能情形有126種。

18.利用巴斯卡三角形，寫出(2x + 3y)⁴的展開式。

　解答　 16x⁴ + 96x³y + 216x²y² + 216xy³ + 81y⁴ 解析由巴斯卡三角形知：

4次方展開的係數為1、4、6、4、1，故得

(2x + 3y)⁴  (2x)⁴ + 4  (2x)³  (3y) + 6  (2x)²  (3y)² + 4  (2x)  (3y)³ + (3y)⁴

 16x⁴ + 4  (8x³)  (3y) + 6  (4x²)  (9y²) + 4  (2x)  (27y³) + 81y⁴

 16x⁴ + 96x³y + 216x²y² + 216xy³ + 81y⁴。

19.將6盤不同的菜端放在桌上圓形轉盤的邊緣上，可有多少種不同的排法？

　解答　 120種

解析 6盤不同的菜端放在桌上圓形轉盤的邊緣上，為環狀排列，

故所求不同的排法共有

6! 5! 120 6  

種。

20.設P⁵ⁿ⁺¹110P³ⁿ^¹，試求自然數n的值。

　解答　 10

解析已知P⁵ⁿ⁺¹110P³ⁿ^¹，

亦即(n + 1)  n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  110  (n  1)  (n  2)  (n  3)……(A) 在Pⁿ^m中，n ³ m，

故得n + 1 ³ 5且n  1 ³ 3，即n ³ 4，

所以(n  1)  (n  2)  (n  3) ¹ 0，

(A)式兩邊同除以(n  1)  (n  2)  (n  3)，

得(n + 1)  n  110，

故n² + n  110  0，

因式分解得(n  10)  (n + 11)  0，

但n ³ 4，故得n  10。

21.由7個男生、5個女生中，選出5個人組成啦啦隊，若規定男、

女生至少各有2人，則有多少種選法？

　解答　 560種

解析按照題目規定，分兩種情形來計算：

選出3男生、2女生的方法有

7 5

3 2

7 6 5 5 4 3 2 1 2 1 350 C C      

   種。

選出2男生、3女生的方法有

7 5

2 3

7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 210 C C      

   種。

故所求的選法共有350 + 210  560種。

22.一飾品店中有5種不同款式的皮包，6種不同花色的圍巾，今要在此飾品店中任意選購一個皮包及一條圍巾，共有多少種選購方法？

　解答　 30種

解析把選購皮包及圍巾看成兩個步驟：

第一步驟：選購皮包，有5種方法，

第二步驟：選購圍巾，有6種方法，

由乘法原理知：

共有5  6  30種選購方法。

23.試求

2 1 8

(3x )

 x

展開式中x⁴項的係數。

　解答　 5670

(5)

解析

2 1 8

(3x )

 x

展開式的一般項為

8 2 8 1 8 8 16 2 8 8 16 3

(3 ) (^r )^r 3 ^r ^r[( 1)^r ^r] ( 1) 3^r ^r ^r

r r r

C x C x x C x

x

          

，因所求為x⁴項的係數，

故得16  3r  4，即r  4，

所以，x⁴項的係數為

8 4 8 4

4

8 7 6 5

( 1) 3 1 81 5670

4 3 2 1

C ^   

     

   。

24.方程式x + y + z + u  10有多少組非負整數解？

　解答　 286組

解析由上面的公式知：

x + y + z + u  10的非負整數解有

4

H10（即n  4、m  10）

4 10 1 13

10 10

13! 13 12 11 10!3! 3 2 1 286

C ^{+ } C  

    

  組。

25.試求392的正因數個數。

　解答　 12個

解析將392質因數分解得392  2³  7²，因此392的正因數必為2^a  7^b的形式，

其中a  0，1，2，3；b  0，1，2，

所以a有4種選擇，b有3種選擇，

392的正因數共有4  3  12個。

26.由9本不同的書中，任選出4本，試求滿足下列條件各有多少種選法？

(1)必含某指定本 (2)不准含某指定二本　解答　 (1)56種;(2)35種

解析 (1)因所選必含某指定本，

故只需從剩餘8本中任選3本即可，

所求選法有

8 3

8! 8 7 6 3!5! 3 2 1 56

C  

  

  種。

(2)因所選不准含某指定二本，

故必須從剩餘7本中任選4本，

所求選法有

7 4

7! 7 6 5 4!3! 3 2 1 35 C     

  種。

27.由10位工作人員中安排4人，在4天連續假期輪流值班，每人值班一天，問有多少種排班方式？

　解答　 5040種

解析此問題即為從10個不同的事物中任選4個排列的排列數，

其排列數為P¹⁰⁴     10 9 8 7 5040，所以，共有5040種排班方式。

28.用8種顏色去塗有6個葉片的風車，每個葉片顏色不同，問可得多少種不同的圖案？

　解答　 3360種

解析此題相當於由8件不同的事物中，

任意取6件作環狀排列的排列數，

所以共可得

8

6 8 7 6 5 4 3 6 6 3360

P       

種不同的圖案。

29.5個相同的玩具，任意分給3位兒童（即每位兒童不一定要分得，

也可能不只分得1個），問可能的分法有幾種？

　解答　 21種

解析因為玩具相同，所以分法的不同在於每位兒童得到玩具個數的不同

設3位兒童分得的玩具個數分別為x、y、z，則 x + y + z  5（其中x、y、z為正整數或0），

因此，所求的分法相當於x + y + z  5的非負整數解個數，

所以，可能的方法共有

3 3 5 1 7

5 5 5

7! 7 6 5!2! 2 1 21 H C ^{+ } C    

 種。

30.試求(2x²  y)⁸展開式中x⁴y⁶項的係數。

　解答　 112

解析 (2x²  y)⁸展開式的一般項為

8(2 ) (2 8 ^r )^r 828 ^r 16 2^r( 1)^r ^r 8( 1) 2^r 8 ^r 16 2^r ^r

r r r

C x ^ y C ^ x ^  y C  ^ x ^ y，因所求為x⁴y⁶項的係數，故得r  6，

所以，x⁴y⁶項的係數為

8 6 2 8

6 2

( 1) 2 4 8 7 4 112

C C 2 1

      

 。

31.試求(41)⁴⁸除以100的餘數。

　解答　 21

解析利用二項式定理

48 48 48 48 48 2 48 3 48 48

0 1 2 3 48

(41)  +(1 40) C +C 40+C 40 +C 40 + +，C 40 因為C⁴⁸² 40²+C³⁴⁸40³+ + C⁴⁸⁴⁸40⁴⁸為100的倍數，

又C⁴⁸⁰ +C¹⁴⁸40 1 48 40 1921 +   ，

而1921 ¸ 100的餘數為21，

所以(41)⁴⁸除以100的餘數為21。

32.父母與子女共6個人圍圓桌而坐，若父母不得相鄰，則方法有多少種？

　解答　 72種

解析先由子女4個人作環狀排列，其排列數為

4

4 4!

4 4 3! 6 P   

，又在每種環狀排列中，4個間隔選2個分別排入父母，

其方法有P⁴²  4 3 12種，

故所求方法共有6  12  72種。

33.下圖是由5條橫線與7條直線所構成，問共有多少個長方形？

　解答　 210個

解析圖中長方形是由2橫線與2直線所圍成，

而2橫線的選法有C⁵²種，2直線的選法有C⁷²種，

所以，共有

5 7

2 2

5 4 7 6 2 1 2 1 210 C C     

  個長方形。

(6)

34.福利社冷飲部有巧克力、香草及草莓3種口味的冰淇淋，且每種口味至少都5個，如果我們限制巧克力、香草及草莓口味的冰淇淋，

每種至少各買1個，則要買5個冰淇淋的方法又有幾種呢？

　解答　 6種

解析以x、y、z分別表示買到巧克力、香草、草莓3種口味冰

淇淋的個數，現在限制每種口味的冰淇淋至少各買1個，

故得

x + y + z  5且x ³ 1、y ³ 1、z ³ 1，

換句話說，就是求x + y + z  5的正整數解個數。

令x¢  x  1、y¢  y  1、z¢  z  1，

則方程式x + y + z  5且x ³ 1、y ³ 1、z ³ 1，

變成x¢ + y¢ + z¢  5  3且x¢ ³ 0、y¢ ³ 0、z¢ ³ 0，

此即求x¢ + y¢ + z¢  2的非負整數解個數。

又其非負整數解的個數為H³^{5 3}_ H³²C^{3 2 1}²^{+ } C⁴²6，故所求買法有6種。

35.下圖中僅有A、D及B、C不相鄰，現在用5種不同的顏色去塗

A、B、C、D四個區域，規定顏色可重複使用，但是相鄰的兩個區

域顏色不得相同，問共有幾種塗法？

　解答　 260種

解析因為相鄰區域顏色不得相同，

但不相鄰的區域顏色可以相同也可以不同，

我們從A先塗（本題由A、B、C、D任一區域先塗均可），

考慮不相鄰區域A、D是否同顏色，依序塗 A、D、B、C。

當A、D同色時：其塗法有5  1  4  4  80種。

當A、D異色時：其塗法有5  4  3  3  180種。

因此，所求塗法共有80 + 180  260種。

36.(1)用1、2、3、4、5、6、7七個數字排成四位數，數字不可重複使用，共有多少種不同的排法？

(2)用0、1、2、3、4、5、6七個數字排成四位數，數字不可重複

使用，共有多少種不同的排法？

　解答　 (1)840種;(2)720種

解析 (1)此問題相當於從7個不同的事物中任選4個的排列數，

其排列數為P⁷⁴    7 6 5 4 840，故所求排法共有840 種。

(2)因為首位數字不能排0，否則即為三位數，

先由1、2、3、4、5、6六個數字中，任選一個排首位，

方法有P¹⁶6種，

再從剩下的六個數字（包含0）中，任選三個，排在末

三個位置，

方法有P⁶³   6 5 4 120種，

由乘法原理知：共有6  120  720種排法。

　《另解》

　利用反面思考：

　由0、1、2、3、4、5、6七個數字，任選四個數字排

成四位數，

　其排列數為P⁷⁴    7 6 5 4 840種，

　但其中含有千位數字為0的數，

　此種數其實是三位數，必須除去，

　又千位數字為0的數，其百位數字、十位數字與個位數字由

　1、2、3、4、5、6六個數字組成，

　其方法有P⁶³   6 5 4 120種，

　故所求的四位數有P⁷⁴P⁶³840 120 720  種。

37.試求1!、2!、3!、4!、5!、6!的值。

　解答　 1，2，6，24，120，720 解析 1!  1，

2!  2  1  2，

3!  3  2  1  6，

4!  4  3  2  1  24，

5!  5  4  3  2  1  120，

6!  6  5  4  3  2  1  720。

38.試求下列各值：

(1)C¹⁰¹ +C¹⁰² +C¹⁰³ + + C¹⁰¹⁰ (2)C¹⁰⁰ +C¹⁰² +C¹⁰⁴ +C¹⁰⁶ +C¹⁰⁸ +C¹⁰¹⁰ 　解答　 (1)1023;(2)512

解析 (1)由公式知：

C¹⁰⁰ +C¹⁰¹ +C¹⁰² +C¹⁰³ + + C¹⁰¹⁰2¹⁰，

所以C¹⁰¹ +C¹⁰² +C¹⁰³ + + C¹⁰¹⁰2¹⁰C¹⁰⁰ 1024 1 1023  。 (2)由公式知：

C¹⁰⁰ +C¹⁰² +C¹⁰⁴ +C¹⁰⁶ +C¹⁰⁸ +C¹⁰¹⁰2^{10 1}^ 2⁹512。

39.試計算C³³+C⁴³+C⁵³+C⁶³+ + C¹¹³ 的值。

　解答　 495

解析因為C³³ 1 C⁴⁴，

利用公式Cⁿ^m^¹+Cⁿ^m^_¹¹Cⁿ^m，

3 4 5 6 11

3 3 3 3 3

C +C +C +C + + C

4 4 5 6 11 5 5 6 11

4 3 3 3 3 4 3 3 3

C C C C C C C C C

 + + + + +  + + + +

6 6 11 7 11

4 3 3 4 3

C C C C C

 + + +  + + 

11 11 12

4 3 4

12! 12 11 10 9 4!8! 4 3 2 1 495

C C C   

 +    

   。

40.甲、乙、丙、…等七人排成一列，試求下列各排列數：

(1)任意排法

(2)規定甲、乙、丙三人必須相鄰 (3)規定甲、乙、丙任二人均不得相鄰　解答　 (1)5040;(2)720種;(3)1440種

解析 (1)此問題相當於從7個不同的事物中，全取排成一列的排

列數，

即P⁷⁷       7 6 5 4 3 2 1 5040。

所以任意排法的排列數為5040。

(2)因甲、乙、丙必須相鄰，故可視甲、乙、丙三人為一單位，

與其他四人組成五個單位做全取排列，其排列數為 P⁵⁵      5! 5 4 3 2 1 120。

在上面的每一種排法中，甲、乙、丙三人排入三個相鄰的位置其排列數為

P³³    3! 3 2 1 6。由乘法原理知：

甲、乙、丙三人必須相鄰的排法有

5 3

5 3 120 6 720 P P    種。

(3)甲、乙、丙任二人不得相鄰，可利用插空法，

先將甲、乙、丙除外剩下之四人做全取排列，其排列數為

P⁴⁴    4 3 2 1 24。

再將甲、乙、丙排入，其排列數為 P⁵³   5 4 3 60。

甲、乙、丙任二人均不得相鄰的排法有

(7)

4 5

4 3 24 60 1440 P P    種。

41.一家庭有父母及子女共8人，圍一圓桌而坐，坐法有多少種？若父母必須相鄰，則坐法有多少種？

　解答　 5040種，1440種

解析父母及子女共8人圍一圓桌而坐，坐法有(8  1)!  7! 

5040種。

又父母必須相鄰，可視父母為一體，

與子女的環狀排列數為(7  1)!，

而父母互換位置的方法有2!種，

所以父母必須相鄰的坐法有(7  1)!  2!  1440種。

42.方程式x + y + z  10的正整數解有幾組？

　解答　 36組

解析 x + y + z  10的正整數解個數，

相當於自3類不同的事物中任意選出10個，

且每類至少選取1個的重複組合，

其重複組合數為H^{10 3}³_ H³⁷C^{3 7 1}⁷^{+ } C⁹⁷C⁹²36，故方程式的正整數解共有36組。

43.有11個選舉人，3個候選人，以不記名投票方式（只考慮候選人的得票數，而不問其為何人所投的票），每人一票（無廢票情形），則可能的結果有多少種？又每個候選人至少得一票的情形有幾種？

　解答　 78種，45種

解析因採不記名投票方式，故本題相當於以相同的11件東西

全部分給3個候選人，且每人可兼得，也可不得。其方法有

3 3 11 1 13

11 11 11

13! 13 12 11!2! 2 1 78

H C ^{+ } C 

    

 ，

又每個候選人至少得一票的方法有

3 3 3 8 1 10

11 3 8 8 8

10 9 45 H _ H C ^{+ } C 2 1

    

 ，

所以，11個人隨意投給3個候選人可能的結果有78種，

又每個候選人至少得一票的情形有45種。

44.設n為正整數，若2000C¹ⁿ+C²ⁿ+C³ⁿ+ + Cⁿ_n3000，試求n 的值。

　解答　 11

解析利用C¹ⁿ+C²ⁿ+C³ⁿ+ + Cⁿ_n2ⁿ1，故得2000  2ⁿ  1  3000，

即2001  2ⁿ  3001，

但是2¹⁰  1024、2¹¹  2048、2¹²  4096，

所以，合於條件的n為11。

45.試求滿足下列各式的k值：

(1)

8 7 6 8!

!

  k

(2)10! + 8!  k  8!

　解答　 (1)5;(2)91 解析 (1)

8 7 6 5 4 3 2 1 8!

8 7 6

5 4 3 2 1 5!

      

   

    ，

故得k  5。

(2)10! + 8!  10  9  8! + 8!  (10  9 + 1)  8!  91  8!，

故得k  91。

46.已知C¹⁰ⁿ C⁸ⁿ，試求C²⁰ⁿ 的值。

　解答　 190

解析因為C¹⁰ⁿ C⁸ⁿ中，10 ¹ 8，

故得n  10 + 8  18，

所以，

20 20 20

18 2

20 19 2 1 190

Cn C C 

   

 。

47.由A、B、C、D、E、F六個字母排成一列，若規定A不排首位，

且B不排末位，則其排法有多少種？

　解答　 504種

解析 A排首位的方法（即由B、C、D、E、F全取排末五位）

有

5

5 5! 5 4 3 2 1 120 P        種，

B排末位的方法（即由A、C、D、E、F全取排前五位）有

5

5 5! 5 4 3 2 1 120 P        種，

A排首位且B排末位的方法（即由C、D、E、F全取排中間四位）有

4

4 4! 4 3 2 1 24 P       種，

又A、B、C、D、E、F全取排成一列，其方法有

6

6 6 5 4 3 2 1 720 P        種，

A排首的排列數中，包含了A排首且B排末的排列數；

B排末的排列數中，也包含了A排首且B排末的排列數。

A不排首且B不排末的排列數

（全取排列的排列數）（A排首的排列數）

（B排末的排列數）+（A排首且B排末的排列數），

故所求排法共有

6 5 5 4

6 5 5 4 720 120 120 24 504 P P P +P    +  種。

48.7位同學去冷飲店，店中供應4種不同的飲料，且每種飲料均不少於7份，每位同學任意點1種飲料，問店員端出飲料的方法數。

　解答　 120種

解析此題相當於自4類不同的事物中，選取7件的重複組合數，

即

4 4 7 1 10 10

7 7 7 3

10 9 8 3 2 1 120 H C ^{+ } C C    

  ，

所以店員端出飲料的方法有120種。

49.寫出(1 + x)⁴的展開式。

　解答　 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴ 解析

4 4

4 4 4 4

0 0

(1 ) _r1 ^r ^r _r ^r

r r

x C ^ x C x

 

+ 







C x⁴⁰ ⁰+C x¹⁴ ¹+C x⁴² ²+C x³⁴ ³+C x⁴⁴ ⁴  1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴。

50.袋中裝有紅、白、黃球各一個，今由袋中每次取出1球，取出後不放回，連續取3次，試利用樹狀圖描述所有可能的結果。

　解答　見解析解析

(8)

由樹狀圖中得知，連續取3次出現的所有可能結果依序為：

紅球→白球→黃球

紅球→黃球→白球

白球→紅球→黃球

白球→黃球→紅球黃球→紅球→白球

黃球→白球→紅球

51.已知P⁴ⁿ⁺¹84C³ⁿ^¹，試求自然數n的值。

　解答　 6或7

解析 P⁴ⁿ⁺¹、C³ⁿ^¹有意義，則必n + 1 ³ 4且n  1 ³ 3，即n ³ 4。

因為P⁴ⁿ⁺¹84C³ⁿ^¹，故得

( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1) ( 2) 84

6

n n n

n+     n n n       

…

…(A)

但n ³ 4，即(n  1)  (n  2) ¹ 0，

(A)式兩邊同除以(n  1)  (n  2)得(n + 1)  n  14  (n  3)，

整理得n²  13n + 42  0，

因式分解得(n  6)  (n  7)  0，

所以，n  6或7。

52.將a、b、c、c、c五個字母排成一列，問有多少種不同的排法？

　解答　 20種

解析假設所求的排法有x種，

顯然，accbc為其中的一種排法，

對於此種排法，若將3個「c」看成不同的字母，分別以 c1、c2、c3來表示，則可得到下邊3!  6種排法：

ac1c2bc3 ac1c3bc2 ac2c1bc3 ac2c3bc1 ac3c1bc2 ac3c2bc1

換句話說，對於每一種排法，若將3個「c」看成不同的 c1、c2、c3，則c1、c2、c3在所占的三個位置中共有3!種排法，由乘法原理知：a、b、c1、c2、c3的排列數為x  3!，

又a、b、c1、c2、c3五個不同事物全取的排列數為5!，

故得x  3!  5!，

所以，

5! 20 x3!

，即所求排法共有20種。

53.試求(x²  2y)⁵的展開式。

　解答　 x¹⁰  10x⁸y + 40x⁶y²  80x⁴y³ + 80x²y⁴  32y⁵ 解析

2 5 2 5 5 5 2 5

0

( 2 ) [ ( 2 )] _r( ) ( 2 )^r ^r

r

x y x y C x ^ y



  +  





5 2 5 5 2 4 5 2 3 2 5 2 2 3

0( ) 1( ) ( 2 ) 2( ) ( 2 ) 3( ) ( 2 )

C x C x y C x y C x y

 +  +  + 

+C x⁵⁴( )( 2 )²  y ⁴+C⁵⁵( 2 ) y ⁵

 x¹⁰  10x⁸y + 40x⁶y²  80x⁴y³ + 80x²y⁴  32y⁵。

54.某飲料店供應3種果汁、4種咖啡、3種茶，曉華任意點購一種飲料，方法有多少種？

　解答　 10種

解析依題意知點購方法有3個途徑：

第1個途徑：點購果汁，方法有3種，

第2個途徑：點購咖啡，方法有4種，

第3個途徑：點購茶，方法有3種，

由加法原理知：共有3 + 4 + 3  10種點購方法。

55.將a、b、b、c、c、c六個字母排成一列，問有多少種不同的排法？

　解答　 60種

解析假設所求的排法有x種，

在每種排法中，將3個「c」看成不同的字母，分別以 c1、c2、c3來表示，而c1、c2、c3在所占的三個位置中有

3!種排法，所以a、b、b、c1、c2、c3的排列數為x  3!，

在a、b、b、c1、c2、c3的每種排列中，再將2個「b」

看成不同的字母，分別以b1、b2來表示，而b1、b2在所占的兩個位置中有2!種排法，所以

a、b1、b2、c1、c2、c3的排列數為x  3!  2!又 a、b1、b2、c1、c2、c3六個不同事物全取的排列數為 6!，故得x  3!  2!  6!，

所以，

6! 60 x3!2!

，即所求排法共有60種。

56.從5本不同的雜誌中，每次至少選取1本（即可選取1本、2本、

3本、4本或5本）的選法有多少種？

　解答　 31種

解析解一

由5本不同的雜誌中，

任取1本的方法有C¹⁵種；任取2本的方法有C⁵²種；

任取3本的方法有C⁵³種；任取4本的方法有C⁵⁴種；

任取5本的方法有C⁵⁵種，

所以每次至少選取1本的選法共有

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 5 10 10 5 1 31 C +C +C +C +C  + + + +  種。

解二

每1本雜誌均可「選取」或「不選取」兩種方式，

而5本雜誌任意選取的方法有2  2  2  2  2  2⁵種，

所以每次至少選取1本的選法共有2⁵  1  31種。

57.4種不同的西裝布料，每種均不少於5件，任意選購5件的方法有幾種？

　解答　 56種

解析由重複組合公式知：

選購方法有

4 4 5 1 8 8

5 5 5 3

8 7 6 3 2 1 56 H C ^{+ } C C    

  種。

58.箱子中裝有編號1～9的號碼球各10個，鈞昊從箱子中取出4個球，則取出球的號碼可有多少種不同的組合？

　解答　 495種

解析此題相當於自9類不同的事物中，任取4件的重複組合數，

即

9 9 4 1 12

4 4 4

12 11 10 9 4 3 2 1 495 H C ^{+ } C     

   ，

所以取出球的號碼共有495種不同的組合。

59.用「0、0、1、1、1、2、3」七個數字，可排成多少種不同的七位數？

　解答　 300種

解析「0、0、1、1、1、2、3」中有兩個「0」，三個「1」，

由不盡相異物之排列公式知：

__________年__________班 座號__________姓名__________

數學 B( 高版 )