幻灯片 1

16. 1

量子物理学的诞生—— 普朗克量子假设

16. 2

光电效应 爱因斯坦光子理论

16. 3

康普顿效应及光子理论的解释

16. 4

氢原子光谱 玻尔的氢原子理论

16. 6

波函数 一维定态薛定谔方程

第 第 16 16 章 量子物理基础 章 量子物理基础

本章内容：

16. 5

微观粒子的波粒二象性 不确定关系

16.7

电子自旋 四个量子数

16. 8

原子的电子壳层结构

16.1 量子物理学的诞生—— 普朗克量子假设

热辐射

:

由温度决定的物体的电磁辐射。



热辐射的基本概念

入射 反射

透射

吸收

辐射



物体辐射电磁波的同时也吸收电磁波。



辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化，此时

单色辐出度 —

-

在一定温度

T

下，物体单位表面在单位时间 内发射的波长在

λ~ λ +d λ

范围内的辐射能与波 长间隔的比值，

即

 

d ) ( ) d

( M T

T

M 

) (T M _λ

热辐射的特点 :

 (1)

连续

(2)

温度越高 , 辐射越强

(3)

频谱分布随温度变化

(4)

物体的辐射本领与温度、材料有关；

辐射本领越大，吸收本领也越大。



黑体辐射

绝对黑体

(

黑体

)

：能够全部吸收各种波长的辐射且不反射 和透射的物体。

黑体辐射的特点 ：

•

•

与同温度其它物体的热辐射相比，黑体热辐射本领最强

煤烟

约

99%

黑体模型

黑体热辐射

温度 材料性质



经典物理的解释及普朗克公式

M _{B }



瑞利 — 金斯公式

(1900

年

)

维恩公式

(1896

年

)

1 π

2 ) 1

(

2

5  

 _{hc kT}

B e

T hc

M _{ }



普朗克公式

(1900

年

)

实验曲线

普朗克常数

h = 6.626×10 ^-34 J·s

（为得到这一公式，普朗克提出 了能量量子化假设）

电磁 波



普朗克能量子假设

若谐振子频率为

v

，则其能量是 　

hv , 2hv, 3hv , ···, nhv , ··· 　

首次提出微观粒子的能量是量子化的，打破了经典物理学中能量连续的 观念。

普朗克常数

h = 6.626×10 ^-34 J·s

腔壁上的原子

(

谐振子

)

能量

与腔内电磁场交换能量时，谐振子能 量的变化是

hv ⁽ 能量子 )

的整数倍

.



意义

伏安特性曲线

16.2.1

光电效应的实验规律

(1)

饱和电流

i _S (2)

遏止电压

U

a

i _S

^:

单位时间 阴极产生的光电子数…

a

m U

m ² e

2 1 v 

∝ ^I

^（

^{I, v)}

K A

U

16.2 光电效应 爱因斯坦光子假说

i _S3 i _S1 i _S2

I ₁ I ₂ I ₃

-U _a U

i I ₁ >I ₂ >I ₃

 U _a

光电子最大初动能和



_{成线性关系}

遏止电压与频率关系曲线 和

v

成线 性关 系

i

( 实验装置示意 图 )

 ₀

A

)

( _o

a K

U     (    _o )

(3)

截止频率

 ₀

(4)

即时发射

:

迟滞时间不超过

10 ^-9

秒



经典物理与实验规律的矛盾

•

电子在电磁波作用下作受迫振动，直到获得足够能量

(

与

光强

I

有关

)

逸出，不应存在红限

 ₀

_。

•

当光强很小时，电子要逸出，必须经较长时间的能量积累。

•

只有光的频率

   ₀

_{时，电子才会逸出。}

•

逸出光电子的多少取决于光强

I

。

•

光电子即时发射，滞后时间不超过

10 ^–9

秒。



总结

•

光电子最大初动能和光频率



_{成线性关系。}

•

光电子最大初动能取决于光强，和光的频率



_无关。

16.2.2

爱因斯坦光子假说和光电效应方程

光是光子流 ，每一光子能量为

h  ，

^{电子吸收一个光子}

2 2 m

1 m v A

h   

_（

_A

_{为逸出功）}

•

单位时间到达单位垂直面积的光子数为

N

，则光强

I = Nh  .

I

越强

,

到阴极的光子越多

,

则逸出的光电子越多。

•

电子吸收一个光子即可逸出，不需要长时间的能量积累。

•

光频率

 > A/h

时，电子吸收一个光子即可克服逸出功

A

逸出

(  _o = A/h)

。



结论

•

光电子最大初动能和光频率



成线性关系。

一铜球用绝缘线悬挂于真空中，被波长为

 =150 nm

的光照射。已 知铜的逸出功为

4.5eV

。

铜球失去电子后带正电，电势升高，使束缚电子的势 垒也升高，设铜球表面的电势为

U ，

逸出电子的速度 为

v

，铜的逸出功为

A

，爱因斯坦光电效应方程为

逸出电子的最大动能为零时，铜球电势达最高

U _max

，有

A U

m

h   e  2

1 ₂

 v

A U

h   e _max  c U A h  e _max 

 c A

h

U 

  _ ^{( 8 . 3  4 . 5 ) eV} _{ 3 . 8 ( V )}

解

例



铜球因失去电子而能达到的最高电势。

求





 c

h c

m  h ₂ 







h c

c h m

p   

光子动量

16.2.3

光（电磁辐射）的波粒二象性

 c h  m

E  ² 

光子能量

光子质量

粒子性 波动性



光电效应的应用

光电管

:

光电开关 , 红外成像仪 , 光电传感器等 光电倍增管

:

( 微光 ) 夜视仪

光电倍增管

θ 

 ₀

λ 0

 



散射线中有两种波长

 ₀

_、



_，

λ 0



 





_随散射角

_

_{的增大而增大。}

探测器

 ₀

16. 3 康普顿效应及光子理论的解释

16.3.1

康普顿效应

X

光管 光阑

散射物体

( 实验装置示意图）



散射物体不同，

 ₀

_、



_{的强度比不同。}



经典物理的解释



经典理论只能说明波长不变的散射，而不能说明康普顿散射 电子受迫振动 同频率

散射线 单色 发射

电磁波

θ

受迫振动

v 0

0 0 



0 0 



照射

散射物体

16.3.2

光子理论的解释

能量、动量守恒

(1)

入射光子与外层电子弹性碰撞 外层电子

受原子核束缚较弱 动能^＜＜光子能量

近似自由 近似静止

静止 自由 电子



 



 



sin sin

cos cos

0

v

v c m

h

c m h c

h







2 2

0

0 m c h mc

h     

θ 

 0

h

 h

2 0 c m

mc 2

c

h  ₀ ^c

h 

v

m

0



 



 



sin sin

cos cos

0

v

v c m

h

c m h c

h







2 2

0

0 m c h mc

h      )

cos 2

( ₀ ^{2 2} ₀

2 2

2

2 c  h       

m v

2 0 0

2 h ( ) m c

mc     

) cos 1

( )

( _{0 0}

2

0 c     h    

m

sin 2 2

) cos 1

( ²

0 0

0

 



  λ _c

c m

h c

λ c λ

λ       

nm 0024

. 0

/ 

 h m c

 _{（电子的康普顿波长）}

其中

(2) X

射线光子和原子内层电子相互作用

光子质量远小于原子，碰撞时光子不损失能量，波长不变。

自由电子

 ₀  ₀

 ₀ 

内层电子被紧束缚，光子相当于和整个原子发生碰撞。

光子 内层电子

外层电子 波长变大的散射线 波长不变的散射线



波长变化



结论

sin 2 '

2 ₂

0

 

c m λ  h

原子



强度变化

波长

 ₀ 

轻物质（多数电子处于弱束缚状态 ） 弱 强 重物质（多数电子处于强束缚状态 ） 强 弱

吴有 训实 验结 果

例

λ ₀ = 0.02nm

的

X

射线与静止的自由电子碰撞

,

若从与入射线 成

90 ⁰

的方向观察散射线。

求

(1)

散射线的波长

λ; (2)

反冲电子的动能

; (3)

反冲电子的动量。

解

(1)

散射线的波长

λ:

) cos 1

(

0



  

c m

λ h  _c  h / m ₀ c  0 . 0024 nm nm

0224 .

0   0

   



(2)

反冲电子的动能

:



 h h

E _k  ₀ 





hc hc 



0

eV 10

6.8 J

10 08

.

1  ¹⁵   ³

 ^

(3)

反冲电子的动量：

 h

p e

 0

h 

2 2

0

1 1

λ h λ

p _e    4 . 5  10 ^{ 23} kg  m/s  arctan ⁰  42 ^ 18 '



 

16.4.1

氢原子光谱的实验规律

记录氢原子光谱的实验原理

16.4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论

氢放 电管

2~3 kV

光阑

三棱镜 全息干板

（或光栅）

光 源

氢原子线状光谱

（摄谱仪）

1 ) ( 1

~ 1

2

2 n

R _H k 



 



（氢光谱的里德伯常量）

(3) k = 2 (n = 3, 4, 5, ··· ) 谱线系 —— 赖曼系 （ 1908 年）

(2)

谱线的波数可表示为

k = 1 (n = 2, 3, 4, ··· ) 谱线系 —— 巴耳末系（ 1880 年）

(1)

分立线状光谱



实验规律

（氢原子的巴耳末线系）



经典理论的困难

1 7 m 10

8 775 096

.

1  ^

实验



R H

h E E _{k n} |

| 

 

(2)

跃迁假设

n k

E E

16.4.2

玻尔的氢原子理论

(1)

定态假设

原子从一个定态跃迁到另一定态，

会发射或吸收一个光子，频率 稳定

状态

•

这些定态的能量不连续

•

不辐射电磁波

•

电子作圆周运动

v

（

定 态

）

(3)

角动量量子化假设

h

r ₂ =4r ₁ r ₂ =9r ₁

v 

r

向心力是库仑力

₂

2

0 2

π 4

1 r e m r

  v

由上两式得

,

第

n

个定态的轨道半径为

, 

3 , 2 , 1 π )

( ₂ ² ₁

2

2 0  

 n r n

me n h

r _n 

nm 0529

.

1  0 r

2 1 2

0 2

0 2

π 8

1 π

4 1 2

1

n E r

e r

m e E

n n

n     

 v 



能量量子化

-13.6 eV

玻尔半径



轨道半径量子化：

E _n ( eV)

氢原子能级图

-13.6 -1.51 -3.39 0

2 1

n

E _n  E h

E E _{n k}

nk

 

光频



n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6

2 1

2 1 )

( 1 E

k n 



2 2

1 1

) 1 (

) 1 2

(



 





 _

n n

E E n

E

E _{n n}



c

nk nk

nk



 ~   1 



波数

(

与实验对比

)

1 7 m 10

8 775 096

.

1  ^

实验

 R H

当时实验测得

1 ) ( 1

1 ) ( 1

) 1 (

2 2

2 2

1

n R k

n k

hc E E

hc E

H

k n













理论

1 7 m 10

1 373 097

.

1  ^

理论

 R H

其中计算得到

(1)

成功地把氢原子结构和光谱线结构联系起来

,

从 理

论上说明了氢原子和类氢原子的光谱线结构。



意义

(2)

揭示了微观体系的量子化规律，为建立量子力学奠 定了基础。



缺陷

(1)

不能处理复杂原子的问题。

(2)

完全没涉及谱线的强度、宽度等特征。

(3)

以经典理论为基础

,

是半经典半量子的理论。

波动性

( ^ , v)

粒子性

(m , p)

光

+ +

实物粒子

+

？

16.5.1

微观粒子的波粒二象

16.5 微观粒子的波粒二象性

不确定关系

实物粒子具有波粒二象性。

2 2

2 0 2

/

1 c

h

c m h

mc h

E

 v





 

2 2 0

/

1 c

m h m

h p

h v

v

v  



 

 h mc

E  ² 

 m h

p  v 

频率 波长



德布罗意假设

(1924

年

)

：

戴维孙—革末电子散射实验 (1927 年 ) ，观测到电子衍射现象。

电子 束

X

射线 衍射图样

（波长相同）



物质波的实验验证：

2 2 0

/

1 c

m h p

h v

v 



 

计算经过电势差

U ₁ =150 V

和

U ₂ =10 ⁴ V

加速的电子的德 布罗意波长（不考虑相对论效应）。

例

解

^m 0 ^{2  eU}

2

1 v

0

2 m

 eU v

225 nm .

1 1

2 ₀

0 m e U U

h m

h  

 v



nm 1 .

1  0

  ₂  0 . 0123 nm

根据 ，加速后电子的速度为

根据德布罗意关系

p = h /λ

，电子的德布罗意波长为

波长分别为



说明

电子波波长

<<

光波波长

电子显微镜分辨能力 远大于

光学显微镜

16.5.2

不确定关系

(1)

动量 — 坐标不确定关系

微观粒子的位置坐标

x

、

动量 分量

p _x

不能同时具有 确定的值。

p x

x 

 _、

分别是

x ， ^p x

同时具有的不确定量，则其乘积

下面借助电子单缝衍射试验加以说明。

2

  p x

x 



（海森伯坐标和动量的不确定关系）

/  h p 

电子 束

 x

  

x sin

电子经过狭缝，其坐标

x

的不确定量为 △

x

；

电子落在中央大部分 明纹

△ x

动量分量

p _x

的不确定量为

 sin p

x h

p

p _x  

  sin  /

，则

 x  p _x  h

减小缝宽

^△ x, x

确定的越准

确

p _x

的不确定度

,

即

^△ p _x

越 大

粒子的波动性 不确定关系



结论：_（

₁

）微观粒子没有确定的轨道；（ 2 ）微观粒子不可能静止。

子弹（

m = 0.10 g , v ^{= 200 m/s}

）穿过

0.2 cm

宽的狭缝

。

m x  2  10 ^{ 3}



例

解

求 沿缝宽方向子弹的速度不确定量。

子弹速度的不确定量为

m p _x

x

 

v 3 3

34

10 2

10 1

. 0 14 . 3 4

10 63

. 6

2 ^{ }













 

 

x m



s m 10

64 .

2  ^{ 28}





讨论 ^若让

h  6 . 63  10 ^{ 6} ,

_那么

 v _x  ?

原子的线度约为

10 ^{- 10} m

，求原子中电子速度的不确定量。

10 31

34

10 10

1 . 9 14 . 3 4

10 63

. 6

2 ^{ }











 



 m m x p _x

x 

 v  ^

s m 10 8

.

5  ⁵



电子速度的不确定量为

氢原子中电子速率约为

10 ⁶ m/s

。速率不确定量与速率本身 的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时 完全确定，也没有确定的轨道。

原子中电子的位置不确定量

10 ^-10 m

，由不确定关系

2

  p x

x 



例

解



说明

(2)

能量 — 时间不确定关系

反映了原子能级宽度△

E

和原子在 该能级的平均寿命 △

t

之间的关系

。

基态

eV 10

2 ~

 8

 t

E 

 ^

h

 E

 

h

 E

  2

E _  E

2 E _  E

激发态

E

基态 寿命△

t

光辐射

2

  t E 



能级宽度

平均寿命

^△ t ~ 10 ^-8 s

平均寿命

^△ t  ∞

能级宽度

E  0

16.6 波函数 一维定态薛定谔方程

16.6.1

波函数及其统计解释

微观粒子 具有波动性

用物质波波函数描述 微观粒子状态

1925

年薛定谔

h mc h

E  ²

  v

m h p

h 

 

例如自由粒子沿

x

轴正方向运动，由于其能量（

E

）、

动量

( p )

为常量，所以

v

、



不随时间变化，其物质波

是单色平面波，确定其波函数。

类比

) (

2 cos )

,

( x t A  vt  ^x

y  

，亦可写成

^{2  (  )}

vt x

Ae i

y  ^{ }

自由粒子的物质波波函数为

^{( )}

0 )

( π 2

0 e e

) ,

( ^{Et px}

i t x

i Ψ

Ψ t

x

Ψ  ^{   }  ^{  }



波函数的物理意义：

x

| 2

) , (

| —— t Ψ r  t

时刻，粒子在空间

r

处 的单位体积中出现的概率，又称为概率密度

V t

r Ψ t r Ψ V

t r Ψ

W | ( , ) | d ( , ) ( , ) d

d   ²   ^* 

1.

时刻

t ,

粒子在空间

r

处

dV

体积内出现的概率

1 d

d d

| ) , (

| ² 

 ^{Ψ r  t x y z}

2.

归一化条件 ( 粒子在整个空间出现的概率为 1)

3.

波函数必须单值、有限、连续（标准条件）

单个粒子在哪一处出现是偶然事件；

4.

大量粒子的分布有确定的统计规律。

电子数

N=7

电子数

N=100

电子数

N=3000

电子数

N=20000

电子数

N=70000

出现概率小 出现概率大

电 子 双 缝干 涉 图 样

16.6.2

定态薛定谔方程

(1926

年

)

描述低速，在外力场中运动的微观粒子的微分方程

（即对应的波函数满足的微分方程）

质量

m

的粒子在外力场中运动，势能函数

V ( r , t )

，薛 定谔方程为

t t i r

t r t

r z V

y x

m 

 

 

 



  



 







 



 



  ( , )

) , ( )

,

2 ^{2 2} (

2 2

2

2 

 

   



说明

不是由基本原理、定律等严密推导而得，是与波动现象类 比而建立起来的，它正确与否，只能由实验来验证。

粒子在稳定力场中运动，势能函数

V ( r ⁾

、能量

E

不随 时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为

) ( ) ( )

,

( r t Ψ r T t Ψ   



定态、定态波函数、定态薛定谔方程

t t i r

t r t

r z V

y x

m 

 

 

 



  



 







 



 



  ( , )

) , ( )

,

2 ^{2 2} (

2 2

2

2 

 

   

t t i T

r Ψ r

Ψ r

z V y

x t m

T 

 

 

 



  



 







 



 



  ( )

) ( )

( )

2 ( )

( _{2 2}

2 2

2 2

 



 

t t T t

T r i

Ψ r

z V y

x m

r

Ψ 

 

 

 



  



 







 



 



  ( )

) ) (

( )

2 ( )

( 1

2 2

2 2

2

2   

   E

) ) (

( E T t

t i t T

 

 



0 )

( )]

( 2 [

)

2 (

2 2 2

2    



 







 



 



 m E V r Ψ r

r z Ψ

y x









E t

e i

t

T ( ) ~ ^{ }

E t

e i

r Ψ t

T r Ψ t

r

Ψ (  , )  (  ) ( )  (  ) ^{ }

定态薛定谔方程

_粒子能量

^{描述外力场的势}

能函数

(1)

求解

E

（粒子能量）

;  ( r ) （

^{定态波函数）}



说明

(2)

定态时，概率密度在空间上的分布稳定

E t

e i

r Ψ r

Ψ t

r

Ψ (  , ) ²  (  ) ²  (  ) ^{ } (3)

一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动

)

   

2 )

(

d ² Ψ x m

16.6.3

一维无限深势阱中的粒子

 0 < x < a

区域，定态薛定谔方程为

0 a x

V ( x )

 

势能函数

  2   0

d d

2 2

2  mE Ψ x 

x x Ψ

 ²

2 2

 k  mE

令

V (x) = 0 0 < x < a

V (x) = ∞ 0 < x

或

x > a

0 ) ( x  0 Ψ

) ( x  Ψ

 0 > x

或

x > a

区域

Ψ ( x )  0

模型：……

    0

2 d

) ( d

2 2

2  m E  V Ψ x 

x x Ψ



波函数在

x = 0

处连续，有

  ^{0  A sin k  0  B cos k  0  0}

Ψ

在

x = a

处连续，有

  ^{x A kx}

Ψ  sin

  a  A sin ka  0 Ψ

a k  n π

所以

  ^{x A kx B kx}

Ψ  sin  cos

解为

因此

0 

 B

粒子的能量

    0

d

d ₂

2

2  k Ψ x 

x x Ψ

0 a x

V ( x )

 

0 ) ( x  Ψ

0 ) ( x  Ψ

) ( x



2 2

2 h n E

n

E  

量子数为

n

的定态波函数为

  ^x

a A n

x

Ψ _{n n} π

 sin

由归一化条件

1 d

| ) (

| ² 

  ^  ^ Ψ _n x x 2 / a A _n  

a x n x a

Ψ _n π

2 sin )

(  

定态波函数

可得

E 1 1 2

3 3 E

E 

1 2

2 2 E

E 

波函数

1 2 2

2 2

8 n E

ma n h

E _n  



能量量子化和定态波函数

0 a x

概率分布



一维无限深势阱粒子的驻波特征

E 1 1 2

3 3 E

E 

1 2

2 2 E

E 

波函数

0 a x a

1  2



 a

 2

n a

n

 2



1 2 2

2 2

8 n E

ma n h

E _n  

2 2 2

2

8

2 ma

n h m

p _n 

a n h p _n

 2

n a p

h

n

 2

 

*

隧道效应（势垒贯穿）

势能函数

U ⁽ x ⁾ = 0

　

x ^≥ a

（Ⅲ区）

U ( x ) = 0 x ≤ 0

（Ⅰ区 ）

U ⁽ x ⁾ = U ₀ 0 ^≤ x ^≤ a

（Ⅱ区）

    ⁰

2 d

) ( d

2 2

2  m E  V Ψ x 

x x Ψ



（Ⅲ区）

（Ⅰ区）

（Ⅱ区）

x ik x

ik B e

e A x

Ψ ₁ ( )  ₁

¹

 ₁ ^

¹

x

e ik

A x

Ψ ₃ ( )  ₃

¹

x ik x

ik B e

e A x

Ψ ₂ ( )  ₂

²

 ₂ ^

²

₂ ^{2 2 (} ₂ ^{0 )}

 U E k  m 

2 2

1

2

 k  mE

2 2

1

2

 k  mE

波函数

0 a x U ₀

Ⅰ Ⅱ

Ⅲ E

U



结论

0 a U ₀

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

E

反射系数

2 2 2 1 2

2 2

2 2

1

2 2 2

2 2 2

1 2

1 1

4 )

( sin ) (

) (

sin )

(

k k a

k k

k

a k k

k A

R B





 



透射系数

2 2 2 1 2

2 2

2 2

1

2 2 2 1 2

1 3

4 ) (

sin ) (

4

k k a

k k

k

k k A

T A



 



 1

 R T

(1) E > U ₀ , R≠0,

即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并

非全部透射进入

III

区

,

仍有一定概率被反射回

I

区。

(2) E < U ₀ , T≠0,

虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍

（扫描隧道显微镜）

*

一维谐振子

势能函数

² 2 1 ^{2 2} 1 2

)

( x kx m x

U   

m —

振子质量，



_{— 固有频率，}

x —

位移 定态薛定谔方程

能量量子化

) ( 0 , 1 , 2 , ) 1 2

(    

 n h n

E _n 

0 )

( 2 )

( 1 2 d

) (

d _{2 2}

2 2

2  m E  m x Ψ x 

x x

Ψ 





讨论



普朗克量子化假设

^E n =nhv E ₀ = 0



零点能 与 经典物理

E _n = ( n +1/2 )hv E ₀ = hv/ ^{（零点能）} 2

例 设质量为

m

的微观粒子处在宽为

a

的一维无限深方势阱中

,

求

(1)

粒子在

0< x < a/4

区间中出现的概率

,

并对

n = 1

和

n =

的情况算出概率值。

(2)

在那些量子态上

, a/4

处的概率密度 最大

?

解

(1)

概率密度

a x n x a

n

 ² 2 sin ²  )

( 

粒子在

0< x < a/4

区间中出现的概率

a dx x n dx a

x P

a a

n

 ^{4 2} 

0 4

0

2 2 sin

)

( 

 ^

 sin 2

2 1 4

1 



n

 n



 1

n 100

9

1  P





n 100

25

2 

P 0 a

a x n x a

n

 ² 2 sin ²  )

( 

（

2

）

a/4

处的概率密度

4 ) (

2 sin 4 )

( ²

2 a

a n a

a

n   

 2 sin ₂ n 4 

 a

极大值对应

4 1

sin n   

) 2 1 2

4 (



 _{ } n k

n = 2 ， 6 ， 10 ， ···

_等量子态

。

0 a

*

氢原子

  ⁰

) 2

( _{2 2}

2 2

2 2

2   



 



 



 m E V Ψ

z Ψ y

x 

r V e

0 2

4 





球坐标的定态薛定谔方程

0 4 )

2 ( sin

1

) sin (sin

) 1 1 (

0 2 2

2 2 2

2

2 2

2





 

 







 









 









 







r E e

m r

r r r

r r



) ,

,

( r   Ψ

Ψ 

势能函数

定态薛定谔方程

1.

能量量子化 能量

n = 1

，

2

，

3

，

··· （主量子数）

电子云

m r ₁  0 . 529  10 ^{ 10}

1

2 4r

r  r ₃  9r ₁

2 1 2

2 0

4

2 )

( 8 1

n E h

me

E _n   n 



电子在这些地方出现 的概率最大

电子云密度 概率密度 |

ψ

|

²

…

玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置

··· ···



重要结论

eV E ₁   13 . 6

r

r d

4 ²

2.

角动量量子化

l = 0

，

1

，

2

，

··· , n-1 [

角量子数

(

副量子数

)

]

)  1 ( 

 l l L

3.

角动量空间量子化

电子绕核转动的角动量

L

的大小

角动量

L

的在外磁场方向

Z

的投影



l

z m

L 

m _l = 0 , ^± 1 , ^± 2 , ··· , ^± l （磁量子数）



讨论

: l = 0, L = 0 ?



讨论

: 如何观察 ? _磁场 --- 能量、

力

2 

  2 

 0



z

2 

  2 

 0



磁量子数

m _l = 0 , ± 1 , ± 2

L

在

Z

方向的投影

L _z  2  ,  , 0 ,   ,  2  z



 6

) 1 2 (

2  

L  L

的大小

例 求

l = 2

电子角动量的大小及空间取向 ？



z

 

0

若

: l =1,

则 解

取离散值

S

N

F

S

N

z

16.7.1

斯特恩—革拉赫实验

16.7 电子自旋 四个量子数

z F _Z B

d

 d



Ag

原子气体

N S

实验结果

F

取分 立的 值 分立

的沉 积线

μ _Z

取分立的

值

z

F _z B d

 d

 μ

空间 量子 化

m L e

e

 

 2

 

空

间量 子化 角动

量

S

N

F



基态

Ag

原子的磁矩等于最外层价电子的磁矩，其

 _Z

_取（

2l+1

） 个值，则

F

可取（

2l+1

）个值，原子沉积线条数应为奇数（

2l+1

），而不应是两条。

)  1 ( 

 s s S



s

Z m

S 

•

_{电子自旋角动量大小}

• S

_{在外磁场方向的投影}

 ) 

1

( ¹ _{2 4} ³

2 1  

 S

s —

_{自旋量子数}

电子自旋角动量在 外磁场中的取向 自旋磁量子数

m _s

取值个数为

16.7.2

电子自旋

m _s = ±1/2 2 s +1= 2

则

s = 1/2

，



2 1



Z 

S

16.7.3

四个量子数 （表征电子的运动状态）

(1)

主量子数

n ( 1 , 2 , 3, ··· )

(2)

副量子数

l ( 0

，

1

，

2

，

··· , n -1 )

(3)

磁量子数

m _l ( 0

，

^± 1

，

^± 2

，

··· , ^± l )

(4)

自旋磁量子数

m _s ( 1/2 , -1/2 )

大体上决定了电子能量

决定电子的轨道角动量大小，对能量也有稍许影响。

决定电子轨道角动量空间取向

决定电子自旋角动量空间取向

n 1 2 3

l 0 0 1 0 1 2

m _l 0 0 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 m _s

Z 2 8 18

1. 泡利不相容原理 (1925 年 )

在一个原子中

,

不能有两个或两个以上的电子处在完全相 同的量子态 ，即它们不能具有一组完全相同的量子数（

n

，

l

，

m _l

，

m _s

）。

1 2 0

2 )

1 2

(

2 l n

Z _n   ^{n }  

容纳电子的最大数目

16.8 原子的电子壳层结构

原子处于正常状态时，每个电子都趋向占据可能的最低能级

2.

能量最小原理

6 5

4 3

2

1 、 、 、 、 、

 n

5 4

3 2

1

0 、 、 、 、 、

 l

P O

N M

L

K 、 、 、 、 、

h g

f d

p

s 、 、 、 、 、

能级高低 主量子数 决定

角量子数 影响

1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s

1

氢

2

氦

H

He 1

2 3

锂

4

铍

Li Be

2 2

1 2 5

硼

6

碳

10

氖

B C Ne

2 2 2

2 2 2

1 2 6 13

铝

14

硅

18

氩

Al Si Ar

2 2 2

2 2 2

6 6 6

2 2 2

1 2 6 19

钾

20

钙

K

Ca 2

2 2

2 6

6 2

2 6

6 1

2

21

钪

Sc 2 2 6 2 6 1 2

4s

能级 低于

3d

能级

D = n + 0.7 l

部分原子的电子排列