幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 1 1 章 函数与极 章 函数与极 限 限

高等数学 A

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义 1.7.2 函数的间断点及其分类

1.7.3 连续函数的运算 1.7.4 闭区间上连续函数的性

质

1.7.5 函数的一致连续性 1.7.6 压缩映射原理与迭代法

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义 函数在一点处连续的定义

函数在区间上的连续性 间断点的定义

1.7.2 函数的间断点及其分类 连续性讨论习例 2-6

间断点的分类

1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算 初等函数的连续性 习例 7-12

1.7.4 闭区间上连续函数的性质

最值定理

介值定理

1.7.5 函数的一致连续性

有界定理 零点定理

应用习例 14-20

1.7.6 压缩映射原理与迭代法

函

数

的

连

续

性

1. 增量 设变量 u从 u₁ 变到 u₂ ^,则称u₂  u₁为u的增量^,记为

1.

2 u

u u  



. )

( )

( )

( )

(

), (

) (

, ),

(

0 0

0

0 0

0 0

为函数的增量 则称

相应地函数值由

由 当自变量

对于函数

x f x

f x

f x

x f y

x x

f x

f

x x

x x

x f y





























一般地， y随x的变化而变化^.

一、连续函数的定义

x y

0 x₀ x₀  x

) (x f y 

x

y

x y

0 x₀  x x₀

x

y

) (x f y 

0 lim0 



 y

x lim 0

0 



 y

x

) ( .

2 函数y  f x 在x₀处的连续性定义 定义 1

. )

(

, 0 lim

), ,

( )

(

0 0

0

处连续 在

则称 若

定义在 设

x x

f y

y

x U x

f y

x   









. )

(

), (

) ( lim

), ,

( )

(

0 0

0

0

处连续 在

则称 若

定义在 设

x x

f y

x f x

f

x U x

f y

x

x  







:

"

"  

定义

. )

( )

( ,

, 0 ,

0  ₀  ₀ 

       



使当

x x

时 恒有

f x f x

可见， f(x) 在 x₀ 处连续必须满足三个条件：

(1)

_定义在

U x( , )0  ^{(2) lim ( )存在}

0

x

x f

x (3) lim ( ) ( ₀)

0

x f x

x f

x 



3. 左右连续定义

; )

(

), (

) 0 (

, ]

, ( )

(

0

0 0

0

处左连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f x

a x

f  

. )

(

), (

) 0 (

, )

, [

) (

0

0 0

0

处右连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f b

x x

f  

注意 :

(1)f(x)

在

x₀

连续与它在该点左右连续的关系有如下结论

:

) (

) 0 (

) 0 (

) (

) (

lim _{0 0 0 0}

0

x f x

f x

f x

f x

x f

x      



(2)

对于区间的左端点只要右连续则称为连续；

对于区间的右端点只要左连续则称为连续

.

4. 函数在区间上的连续性

在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上 的连续函数 , 或者说函数在该区间上连续

.

. ]

, [ )

(

, ,

, )

, (

上连续 在闭区间

函数

则称 处左连续

在右端点 处右连续

并且在左端点 内连续

如果函数在开区间

b a x

f

b x

a x

b a





对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定

!

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

.

例

1

证明函数

y  sin x

在

(,   )

内连续

.

证

x  (,   )

x x

x

y  sin(   )  sin

  2sin ^₂^x cos(x  ^₂^x ) )

cos(

sin

2 ₂^x x ₂^x

y  ^  ^



1 2 ₂ 

 ^{ x}  x x  0

即

lim 0

0 



 y

x

由

x

的任意性，知

y  sin x

在

(,   )

内连续

.

类似可证

:

函数

y  cos x

在

( ,   )

内连续

.

0

1.

间断点的定义

若

f(x)

至少满足下列条件之一，则称

f(x)

在

x₀

处不连续

, x₀

为

f(x)

的间断点

.

二、函数的间断点及其分类

无意义

)

( ) 1

( f x₀

不存在

)

( lim

) 2 (

0

x

x f

x

) (

) ( lim

) 3

( ₀

0

x f x

x f

x 



2. 连续性讨论习例

. 0

, sgn )

( .

2 设 讨论 处的连续性 例 f x  x x 

. 0

sin , )

( .

3

设 讨论 处的连续性

例

 x 

x x x

f

. 1

, 1

,

2

1

1 , 1 )

( .

4

2

处的连续性 讨论

设

例











 



 x

x x x

x x

f

. 0

1 , )

( .

5

设 讨论 处的连续性 例

 x 

x x f

. 0

1 , sin )

( .

6

设 讨论 处的连续性

例

 x 

x x f

. 0

, sgn )

( .

2 设 讨论 处的连续性 例 f x  x x 

解 : ,

0

, 0

0

, ) 1

( 



 

x x x

 f 又f (0)  0, lim ( ) 1,

0 

 f x

x

), 0 ( )

(

lim0 f x f

x 

但 

. )

( 0

, 0

)

(x 在x 处不连续 x 为f x 的间断点

f  



, 0

) ( ,

1 )

0

( 改变 在 处的定义

若令f  f x x  则f (x)在x  0处连续了. 这种间断点称为可去间断点 .

. 0

sin , )

( .

3

设 讨论 处的连续性

例

 x 

x x x

f

解：

sin 0 ,

)

( 

在

x 

处没有意义

x

x x

 f

. )

(

0

为

f x

的间断点

x 



, sin 1

lim )

(

lim0  0 



 x

x x

f x

又

x

, 0

) ( ,

1 )

0

(

补充 在 处的定义

若令

f  f x x  .

0 )

(

在 处连续了

则

f x x 

这种间断点也称为可去间断点

.

. 1

, 1

,

2

1

1 , 1 )

( .

4

2

处的连续性 讨论

设

例











 



 x

x x x

x x

f

解

:  f (1)  2

有定义

, 1

lim 1 )

0 1

(

2

1 

 

   x f x

x 1

lim 1

2

1 

 

  x x

x lim ( 1) 2,

1  

   x

x

1 lim 1

) 0 1

(

2

1 

 

   x f x

x 1

lim 1

2

1 

 

  x x

x lim ( 1) 2,

1    

   x

x

, )

(

lim1 f x

不存在

x



故

x  1

为

f (x)

的间断点

.

函数图形在间断点

x=1

处发生跳跃，故称跳跃间断点

.

. 0

1 , )

( .

5

设 讨论 处的连续性 例

 x 

x x f

解：

1 0 ,

)

( 

在

x 

处没有意义

x x

 f

. )

(

0

为

f x

的间断点

x 



1 , lim )

(

lim0  0  



 f x x

x

又

x

这时称

x=0

为

f(x)

的无穷间断点

.

. 0

1 , sin )

( .

6

设 讨论 处的连续性

例

 x 

x x f

解

: 1 0 ,

sin )

( 

在

x 

处没有意义

x x

 f

. )

(

0

为

f x

的间断点

x 



1 , sin lim

) (

lim0 0

不存在

又

f x x

x

x  

, 1

1 1 sin ,

0

时 在 与 之间振动无限多次 且当

 

x x

这时称

x=0

为

f(x)

的振荡间断点

.

3. 间断点的分类

间断点是根据左右极限是否存在进行分类的 ! ,

)

0为 ( 的间断点

设x f x

; ,

) 0 (

) 0 (

) 1

( 若f x₀  与f x₀  都存在 则称x₀为第一类间断点

;

, )

0 (

) 0 (

) 2 (

0

0 0

为第二类间断点 则称

至少有一个不存在 与

若

x

x f x

f  

可去间断点 ( 左右极限存在且相等的间断点 ) 跳跃间断点 ( 左右极限存在但不相等的间断点 ) 无穷间断点 ( 极限为无穷大的间断点 )

振荡间断点 ( 极限不确定的间断点 )

各类间断点示意图

第

可去型

一 类 间 断

点

^跳跃型

无穷型 振荡型

第 二 类 间 断 点

o y

x

x0

o y

x

x0

o y

x

x0

1. 连续函数的运算

定理 1 （连续函数的和差积商还是连续函数）

. )

0 )

( ) (

( ) ), (

( )

(

), (

) ( ,

) ( ),

(

0 0

0

处也连续 在点

则 处连续

在点 若函数

x x

x g g

x x f

g x

f

x g x

f x

x g x

f







证明：

lim ( ) ( ₀ ), lim ( ) ( ₀ ),

则

0 0

x g x

g x

f x

f x x

x

x  



 

) ( lim

) ( lim

)]

( )

( [ lim

0 0

0

x g x

f x

g x

f x x x x

x

x       f (x₀)  g(x₀)

) ( lim

) ( lim

)]

( )

( [ lim

0 0

0

x g x

f x

g x

f x x x x

x

x       f (x₀)  g(x₀ )

三、连续函数的运算与初等函数的连续性

即，严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 .

)].

( lim

[ )

( )]

( [ lim

, )

( ,

) ( lim

0 0

0

x f

a f x

f

a u

f a

x

x x x

x x x



















则有

连续 在点

函数 若

证明 :

, )

(u

在点

u a

连续

f 



. )

( )

(

, ,

0 ,

0

成立 恒有

时 使当

























a f u

f

a u

定理 2 （连续函数的反函数连续）

定理 3 （复合函数的连续性）

, )

( lim

0 x a

x

x 

 

又



, 0

, 0 ,

0

使当

₀

时

对于

      x  x   .

)

(

成立

恒有

 x  a  u  a  

将上两步合起来

:

, 0

, 0 ,

0 

使当

₀ 

时

      

 x x

) ( )]

( [ )

( )

(u f a f x f a

f      

成立

.

) ( )]

( [ lim

0

a f x

x f

x 

   ^{[ lim ( )].}

0

x f x x 

 

当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。

定理 4 （连续函数的复合函数是连续函数）

2. 初等函数的连续性

(1) 基本初等函数在其定义区间内是连续的 . 三角函数的连续性 :

) ,

(

sin 在   内连续

 x

y

) ,

(

cos 在   内连续

 x

y ----

由连续的定义可证

.





x x x

y cos

tan  sin



x x x

y sin

cot  cos



x x

y cos

sec  1



x x

y sin

csc  1

 ^













----

由连续性的四则运算可证

.

反三角函数的连续性 : 由反函数的连续性得到 . 对数函数的连续性 :

内连续 在

(0, )

ln 

 x

y ^----

已证

内连续 也在

(0, )

ln

log  ln 

 a

x x

y _a

指数函数的连续性 :

x

x y e

a

y  ,  ^----

由反函数的连续性得到

.

幂函数的连续性 :

e x

x

y  ^  ^{ ln} _----

由复合函数的连续性得到

. (2)

定理

5

初等函数在其定义区间内是连续的

.

注意 :

(1)

弄清楚定义域

,

定义区间

,

连续区间的关系

;

并会求 求函数的连续区间

.

(2)

记住初等函数的连续区间即为定义区间

;

而分段函 数需考虑分段点的情况

.

(3)

利用函数的连续性可求极限    

₀ .

0

lim f x f x

x

x 



3.

习例

? ,

sin sin

.

7

求 的定义域 有连续区间吗 例

y  x   x

. 0

, 1

0

sin , .

8

2

连续区间 求

例











 

x x

x x x y

. , 0

0 ,

, 0 ,

) cos (

, .

9

处连续 在

函数 取何值时

当 例

 







  x

x x

a

x x x

f a

).

1 ,

0 (

) 1

( lim log

.

10 0   

 a a

x

a x

计算

x

例

1. )

lim ln(

.

11 0 x

e x

x





计算



例

1. )

1 lim ( .

12 0 x

x ^a

x





计算



例

思考题

若f(x)_在x_{0连续，则}|f(x)|_、f²(x)_在x_{0是否连续？}

又若|f(x)|_、f²(x)_在x_0连续，f(x)_在x_{0是否连续？}

? ,

sin sin

.

7

求 的定义域 有连续区间吗 例

y  x   x

解：









0 sin

0 sin

x

 x  sin x  0,

) ,

2 , 1 , 0 (

   



 x k k

_{为所求函数的定义域}

_.

故没有连续区间

.

. 0

, 1

0

sin , .

8

2

连续区间 求

例











 

x x

x x x y

解：

^{f (x)}

^{的定义域为}

^{(,),}

; sin ,

) ( ,

0

时 为初等函数 连续

当

x

x x f

x  

; ,

1 )

( ,

0

时

²

为初等函数 连续 当

x  f x  x 

, 1 )

0

(  

而

f sin 1,

lim )

( lim

) 0 0

(   0  0 



 

 x

x x f

f x x

, 1 )

1 (

lim )

( lim

) 0 0

( ²

0

0    



   f x   x

f x x

. 0

, )

(

lim0

不存在 即



为间断点

  f x x

x

).

, 0 [ ) 0 , (

 



连续区间为 和

. , 0

0 ,

, 0 ,

) cos (

, .

9

处连续 在

函数 取何值时

当 例

 







  x

x x

a

x x x

f a

解

:

x x

f x

x ( ) limcos

lim0^  0^  1, ) (

lim )

(

lim0 f x 0 a x

x

x _  _ 



  a,

, )

0

( a

f 



), 0 ( )

0 0

( )

0 0

( f f

f    

要使

, 1

时

故当且仅当

a 

函数

f (x)

在

x  0

处连续

.

,

 1

 a

).

1 ,

0 (

) 1

( lim log

.

10 0   

 a a

x

a x

计算

x

例

a x x

a

x x

x

x ¹

0

0log (1 ) lim log (1 )

lim   





] ) 1

( lim [ log

1 0

x

a x  x

  .

ln log 1

e a

a 



1. )

lim ln(

.

11 0 x

e x

x





计算



例

解 :

x e x

x

) 1

ln(

lim0

 

原式  ^{x e} e

x e

x ¹

0ln(1 )

lim ^

 



x e

x e

x e lim ln(1 ) 1

0 

  1 ln[lim(1 ) ]

0

x e

x e

x

e 

  1.

1ln e e

e 



解 :

1. )

1 lim ( .

12 0 x

x ^a

x





计算



例

解： 令

(1  x)^a  1  u, (1  x)^a  1 u, ),

1 ln(

) 1

ln(

a  x   u

则

. 0 ,

0 

 u

x

时

且

x u x

x

x a

x 0 (1 ) 1 lim0

lim    

 ln(1 )

) 1

lim ln(

0 u

x a

x u

x 

 

 

x x u

a u

x

) 1

ln(

) 1

lim ln(

0

 

 

   a.

若f(x)_在x_{0连续，则}|f(x)|_、f²(x)_在x_{0是否连续？}

又若|f(x)|_、f²(x)_在x_0连续，f(x)_在x_{0是否连续？}

故|f(x)|_、f²(x)_在x_0都连续.

但反之不成立 .









 

0 ,

1

0 ,

) 1

( x

x x

如 f _在x₀0_不连续

但|f(x)|_、f²(x)_在x₀0_连续

解： f(x)_在x_0连续，^{lim ( ) (} 0⁾

0

x f x

x f

x 

 

) ( )

( )

( )

(

0  f x  f x₀  f x  f x₀ 且

) ( )

(

lim ₀

0

x f x

x f

x 

 

) ( lim

) ( lim

) ( lim

0 0

0

2 x f x f x

f x x x x

x

x      f ²(x₀)

思

考

题

定义

2

. ) (

) ( )

(

)) (

) ( ( )

( )

(

,

), (

0

0 0

0

值 小

上的最大 在区间

是函数 则称

都有 使得对于任一

如果有

上有定义的函数 对于在区间

I x

f x

f

x f x

f x

f x

f

I x

I x

x f I









并不是每一个函数都有最值 .

. 1 ,

1 ]

2 , 0 [

sin 

 x

在闭区间



上有最大值 最小值

y

. )

1 , 0

(

内没有最值 在开区间

而

y  x

定理

6

( 最大值和最小值定理

)

在闭区间上连续的函数一定能取得它的最大值和最小值 .

四、闭区间上连续函数的性质

 

_{ }



^f

 

^x

  

^f _{ }



^f

 

^x



f xmaxa,b , xmina,b



 

 



此定理的证明要用实数理论 , 从略 .